2.1圓的標準方程第一章內容索引0102自主預習新知導學合作探究釋疑解惑自主預習新知導學一、圓的標準方程1.(1)平面內到

定點

的距離等于

定長

的所有點的集合(或軌跡)叫作圓,其中定點是圓心,定長就是半徑.(2)圓的標準方程設圓C的圓心為C(a,b),半徑為r,則圓C的標準方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2;圓心在坐標原點,半徑為r的圓的標準方程為

x2+y2=r2.2.一圓的標準方程為x2+(y+1)2=8,則此圓的圓心與半徑分別為(

).

答案:D二、點與圓的位置關系1.點與圓的位置關系圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心A(a,b),半徑為r.設所給點為M(x0,y0),則位置關系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓上|MA|=r?點M在圓A上點M(x0,y0)在圓上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2點在圓內|MA|<r?點M在圓A內點M(x0,y0)在圓內?(x0-a)2+(y0-b)2<r2點在圓外|MA|>r?點M在圓A外點M(x0,y0)在圓外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2表1-2-12.點P(m2,5)與圓x2+y2=24的位置關系是(

).A.在圓外 B.在圓內 C.在圓上 D.不確定解析:把點P(m2,5)的坐標代入x2+y2,得m4+25>24,故點P在圓外.答案:A合作探究釋疑解惑探究一用直接法求圓的標準方程【例1】

寫出下列各圓的標準方程.(1)圓心在原點,半徑為8;(2)圓心為(2,3),半徑為2;(3)圓心為(2,-1)且過原點.解:設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)∵圓心在原點,半徑為8,即a=0,b=0,r=8,∴圓的標準方程為x2+y2=64.(2)∵圓心為(2,3),半徑為2,即a=2,b=3,r=2,∴圓的標準方程為(x-2)2+(y-3)2=4.(3)∵圓心為(2,-1)且過原點,∴圓的標準方程為(x-2)2+(y+1)2=5.1.用直接法求圓的標準方程,關鍵是確定圓心坐標與半徑,注意結合圓的幾何性質以便簡化計算過程.2.求圓的標準方程時常用的幾何性質:(1)弦的垂直平分線必過圓心;(2)圓的兩條不平行的弦的垂直平分線的交點必為圓心;(3)圓心與切點的連線長為半徑;(4)圓心與切點的連線垂直于圓的切線;(5)圓的半徑r、半弦長d、弦心距h滿足r2=d2+h2.探究二點與圓的位置關系【例2】

已知圓C的標準方程為(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)若點M(6,9)在圓上,求半徑a;(2)若點P(3,3)與Q(5,3)有一點在圓內,另一點在圓外,求a的取值范圍.判斷點與圓的位置關系的方法(1)確定圓的方程:化為標準方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)將點的坐標代入代數(shù)式(x-a)2+(y-b)2,比較代數(shù)式的值與r2的大小.(3)下結論:若(x-a)2+(y-b)2=r2,則表示點在圓上;若(x-a)2+(y-b)2>r2,則表示點在圓外;若(x-a)2+(y-b)2<r2,則表示點在圓內.此外,也可以利用點與圓心的距離d與半徑r的大小關系來判斷.當d>r時,點在圓外;當d=r時,點在圓上;當d<r時,點在圓內.探究三用待定系數(shù)法求圓的標準方程【例3】

求圓心在直線2x-y-3=0上,且過點A(5,2)和B(3,-2)的圓的標準方程.解:因為圓心在直線2x-y-3=0上,所以可設圓心坐標為(a,2a-3),則圓的方程可設為(x-a)2+(y-2a+3)2=r2.又因為圓過點A(5,2)和B(3,-2),所以所求圓的標準方程是(x-2)2+(y-1)2=10.若把本例中的條件“圓心在直線2x-y-3=0上”換成“圓心在直線x-y=0上”,其他條件不變,求圓的標準方程.用待定系數(shù)法求圓的標準方程的步驟(1)根據(jù)題意設所求圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)根據(jù)已知條件建立關于a,b,r2的方程組.(3)解此方程組,求得a,b,r2的值.(4)將求得的值代回所設方程,即得所求的圓的標準方程.

思想方法利用數(shù)形結合思想求有關圓的最值問題【典例】

如圖1-2-1,圓C:(x-8)2+(y-6)2=1,點A(0,-1),B(0,1).設P是圓上的動點,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值和最小值.分析

本題考查點與圓的位置關系及數(shù)形結合思想,可先列出函數(shù)關系式,然后借助圖形特點解決問題.圖1-2-1因為原點O在圓外,點C的坐標