12.3角平分線的性質（2）P到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點知識回顧幾何語言：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。角平分線的性質：不必再證全等ODEPACB反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？P思考已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，PD＝PE．求證：點P在∠AOB的平分線上PC證明:經過點P作射線OC∵

PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠PDO＝∠PEO＝90°在Rt△PDO和Rt△PEO中

PO＝PO

PD=PE

∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴∠POD＝∠POE∴點P在∠AOB的平分線上已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點D、E為垂足，PD＝PE．求證：點P在∠AOB的平分線上．PC

角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。∵PD⊥OA，PE⊥OB，

PD＝PE．∴OP平分∠AOB．用數學語言表示為：角平分線性質的逆定理（角平分線的判定）總結角的平分線的性質圖形已知條件結論PCPCOP平分∠AOBPD⊥OA于DPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分線的判定歸納、比較

如圖，要在S區建一個貿易市場，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建在何處？（比例尺為1︰20000）思考DCS解：作夾角的角

平分線OC，截取OD=2.5cm,

D即為所求。ABCEFD

如圖，△ABC中，D是BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，且BE＝CF。求證：AD是△ABC的角平分線課堂練習

已知：如圖,在△ABC中，BD＝CD,∠1=∠2.求證：AD平分∠BACDEFABC12課堂練習已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上

∴PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點P到邊AB、BC、CA的距離相等ABCMNPDEF怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點？三角形內到三邊距離相等的點只有一個，就是三角形三條角平分線的交點三角形的三條角平分線相交于一點，這點到三角形

的距離相等。三邊證明：過點F作FG⊥AE于G，FH⊥AD

于H，FM⊥BC于M，GHM∵點F在∠BCE的平分線上，

FG⊥AE，FM⊥BC，∴FG=FM.又∵點F在∠CBD平分線上，FH⊥AD，FM⊥BC.∴FM=FH.∴FG=FH，∴點F在∠DAE的平分線上.

如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．課堂練習∵FG⊥AE,FH⊥AD小結

在一個角的內部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。1、角平分線的判定：2、三角形角平分線的交點性質：

三角形的三條角平分線交于一點。3、角的平分線的輔助線作法：見角平分線就作兩邊垂線段。如圖，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，BD=CD。求證：AD平分∠BACABCFED課堂練習

如圖，O是三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OD=3，△ABC的周長為15，求S△ABC

ABCOMNGD課堂練習已知:BD⊥AM于點D,CE⊥AN于點E,BD,CE交點F,CF=BF,求證:點F在∠A的平分線上.AAAAAAADNEBFMCA課堂練習

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC。求證：AM平分∠DABDABC