第二章微積分學的創始人:德國數學家Leibniz微分學導數描述函數變化快慢微分描述函數變化程度都是描述物質運動的工具(從微觀上研究函數)一元函數微分學英國數學家Newton2.1導數的概念2.1.1引例2.1.2導數的定義2.1.3導數的幾何意義2.1.4函數的連續性與可導性的關系2.1.1引例1.變速直線運動的速度設描述質點運動位置的函數為則到的平均速度為而在時刻的瞬時速度為自由落體運動以自由落體運動為例，則物體在時刻t0

的瞬時速度為速度反映了路程對時間變化的快慢程度2.切線問題曲線在M

點處的切線割線MN

的極限位置MT(當時)割線MN

的斜率切線MT的斜率兩個問題的共性:瞬時速度切線斜率所求量為函數增量與自變量增量之比的極限.2.1.2導數的定義定義1.

設函數在點存在,并稱此極限為記作:則稱函數若的某鄰域內有定義,在點處可導,在點的導數.(2-1)若上述極限不存在,在點不可導.若也稱在注意:就說函數的導數為無窮大.(2-1)(2-1)在上式中，令，則可得導數定義的等價形式：設函數f(x)在[x0,x0+

)內有定義，若即極限存在，則稱a為f(x)在點x0處的右導數.記為單側導數設函數f(x)在(x0–

,

x0]內有定義，若即極限存在，則稱a為f(x)在點x0處的左導數.記為定理.函數在點且可導的充分必要條件是應用情境：主要用于分段函數在分段點處的可導性判斷。導函數若

x(a,b),函數f(x)皆可導，則說f(x)在(a,b)內可導.這時f(x)是關于x的一個新函數，稱之為f(x)在(a,b)內的導函數，通常我們仍稱之為f(x)在(a,b)內的導數：記作:若f(x)在(a,b)內可導，且存在，則稱f(x)在[a,b]上可導，f

(x)稱為f(x)在[a,b]上的導函數。由定義求導數（三步法）步驟:例1：求函數y=x2的導函數y'，并計算x=2處的導數值。解：因此，例2：血藥濃度減少的問題：藥物一次靜脈注射后，時刻t的血藥濃度有以下規律：其中C0為靜脈注射后藥物達到擴散平衡時的血藥濃度。k為參數，依賴于個體和藥物的特性，可有實驗測定。求血藥濃度減少的瞬時速度。解：2.1.3導數的幾何意義切線方程:法線方程:函數f(x)在點x0的導數f

(x0)就是對應的平面曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的切線的斜率k:曲線y=f(x)在點x0處的切線可能垂直于x軸、平行于x軸、或不存在，這些反映出的導數值是：切線平行于x軸：即k=tg

=0切線垂直于x軸：即k=tg

=，曲線為連續曲線;在點x0處無切線：f

(x0)不存在.

y

O

xx0

y=cf

(x0)=0

yO

xf

(x0)=

x0

O

xyx0

y

O

xx0例4.問曲線哪一點有垂直切線?哪一點處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對應則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(0,0)有垂直切線2.1.4函數的可導性與連續性的關系定理.證:設在點x

處可導,存在,因此必有其中故所以函數在點x

連續.注意:

函數在點x連續未必可導.即例5解例6.已知y=a+bx,x≤0在x=0可導，求a,b之值.e-x,x>0解：

f(x)在x=0可導，

f(x)在x=0連續，f(0)=a又從而f(x)=1+bx,x≤0e-x,x>0故a=1.由可導性：故b=–1內容小結1.導數的實質:3.導數的幾何意義:4.可導必連續,但連續不一定可導;5.