2021年遼寧省百校聯(lián)盟高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（3月份）

一、單頁(yè)選擇題（共8小題）.

2+3i

15.15.15.

-----F----Z----+-----1

131313131317

2.已知集合4={-1,0,2],B={0,1,2},則4U8=（）

A.{-1,0,I,2}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{0,2}

3.函數(shù)f（x）=h2的圖象在點(diǎn)（1,/（1））處的切線方程為（）

X

A.2x+y+e-4=0B.2x+y-e+4=0C.2x-y+e-4=0D.2x-y-e+4=0

4.《算法統(tǒng)宗》中有一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，出行健步不為難，次日腳痛減一半，

六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”，意思是有一個(gè)人要走378里路,

第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)

目的地，問(wèn)第三天和第四天共走了（）

A.36里B.70里C.72里D.124里

5.已知直線/：x-2y+6=0與圓C：N+y2_4y=o相交于A,8兩點(diǎn)，則以,連=（）

A.迫B.-些C.空D.-絲

5555

22

6.設(shè)雙曲線C：9-4=1">°，人>。）的右焦點(diǎn)為尸2,過(guò)尸2且垂直于x軸的直線與C

相交所得的弦長(zhǎng)為]；,則C的離心率為（

Va2+b2

c.a

7.如圖，無(wú)人機(jī)在離地面高300,"的M處，觀測(cè)到山頂A處的俯角為15°、山腳C處的

俯角為60°,已知A8=8C,則山的高度AB為（）

CB

A.150^2^77B.200mC.200揚(yáng)?D.300機(jī)

8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/（尤）的導(dǎo)函數(shù)為r（x）,且^（x）-"（1）=必巴若/

(1)=e+2,則方程/(x)=4的實(shí)根個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

二、多項(xiàng)選擇題(共4小題).

9.下列函數(shù)中，在(2,4)上是減函數(shù)的是()

A.y=(―)*B._y=log2(d+3》)

3

C.y=——D.y=cosx

x-2

10.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足42=4,n(n-1)an+i=(n-1)an-nan-\(n>l且nGN*),數(shù)列

｛斯｝的前〃項(xiàng)和為S〃，則()

A.〃]+。3=2

B.。1+。3=4

C.2020S2021-〃2020=8080

D.2021S2021_〃2020=4040

11.甲箱中有3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一

球放入乙箱中，分別以4,A2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S

機(jī)取出一球，以3表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是()

A.Ai,A2兩兩互斥

B.P(用心)=—

3

C.事件8與事件上相互獨(dú)立

Q

D.P(B)=—

14

12.如圖，矩形ABC。中，AB=4,AO=2,1外尸分別為邊A8,BC的中點(diǎn)，將該矩形沿

對(duì)角線BD折起，使平面ABZ)_L平面BCD,則以下結(jié)論正確的是()

ut

15rLfRr

A.EF〃平面AC。

B.AC=

5

C.BD1.AC

D.三棱錐A-BCD的體積為學(xué)返

15

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

已知函數(shù)/(x)=<x+1',則八-4)

f(x+2),x40

14.若拋物線V=8x上有兩點(diǎn)A,B,且直線A8垂直于x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若4。48的

面積為8,則點(diǎn)A,B到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和為.

JT

15.將函數(shù)/(x)圖象向左平移g個(gè)單位，再把所得的圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)

到原來(lái)的4倍得到y(tǒng)=sin('與)，則/(x)的解析式是.:函數(shù)/(無(wú))在區(qū)間

16.已知三棱錐S-ABC外接球的球心O在線段SA上，若aABC"SBC均為面積是、的

等邊三角形，則三棱錐S-ABC的體積為.

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在①siMA+siMB-sin2C=sinAsinB,②2〃=J^csinA+4cosC,(3)(2sirk4-sin8)a=2csinC+

(sinA-2sinB)。這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答.

已知△ABC的角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,且c=6,.

(1)求C；

(2)求aABC面積的最大值.

18.已知已為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和,已知的+。2=-20,52+S3=-47.

(1)求數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式：

(2)求S”并求S,的最小值.

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB,AC,4尸兩兩互相垂直，AB=2AC=2AP,CD±PB.

(1)證明：AD_LPB且BD=4PD；

(2)求直線與平面尸8c所成角的正弦值.

20.2020年11月22日，第29屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克決賽舉行，若將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為

百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭冢?0,100］

之內(nèi)，將數(shù)據(jù)按照［60,70),170,80),［80,90),［90,100］的分組作出頻率分布直

方圖，如圖所示.已知a,b,c成等差數(shù)列且a-c=0.008.

(1)求頻率分布直方圖中a,匕，c的值；

(2)并估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)；

(3)若按照分層抽樣從成績(jī)?cè)冢?0,80),180,90)的兩組中抽取了6人，再?gòu)倪@6人

中隨機(jī)抽取3人，記X為3人中成績(jī)?cè)冢?0,90)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

八頻率

0.040------

6070?)i)100^(5>)

21.已知橢圓C：(">方>0)的離心率等于1橢圓C與拋物線C'：產(chǎn)=皋

a2b222

交于P，。兩點(diǎn)(P在x軸上方)，且PQ經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)A,8是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足直線AP與直線關(guān)于直線產(chǎn)。對(duì)

稱，試問(wèn)直線4B的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)/(x)=a"nx-L.

X

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(x)<1+上3在(1,+8)上恒成立，求整數(shù)a的最大值.(參考數(shù)據(jù)：

X

45

<—,//?4>—)

34

參考答案

一、單頁(yè)選擇題(共8小題).

--K^-ZB.----zC.---t^-zD.-———

131313131313

故選：D.

2.已知集合4={-1,0,2},8={0,1,2},則AUB=()

A.{-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1,2}D.{012}

解：；A={-1,0,2},8={0,1,2),

.\AUB={-1,0,1,2).

故選：A.

3.函數(shù)f(x)=之2的圖象在點(diǎn)(1,/(I))處的切線方程為()

X

A.2x+y+e-4=0B.2x+y-e+4=0C.2x-y+e-4=0D.2x-y-e+4=0

解：f(x)=式二2的導(dǎo)數(shù)為#(x)=量4+2,

XX”

可得了(X)的圖象在點(diǎn)(1,/(1))處的切線的斜率為2,

切點(diǎn)為(1,e-2),

則切線的方程為y-(e-2)=2(x-1),

即為2x-y+e-4=0.

故選：C.

4.《算法統(tǒng)宗》中有一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，出行健步不為難，次日腳痛減一半，

六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還”，意思是有一個(gè)人要走378里路,

第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)

目的地，問(wèn)第三天和第四天共走了()

A.36里B.70里C.72里D.124里

解：由題意得，每天走的路程構(gòu)成?!?為公比的等比數(shù)列，設(shè)為{斯}

則三

.=378,

解得，d=192,

故此人第二天走96里，第三天走48里，第四天走24里,

故第三天和第四天共走了72里.

故選：C.

5.已知直線/：%-2y+6=0與圓C：N+V-4y=0相交于A,3兩點(diǎn)，則區(qū)?溫=（）

A.久

5BY

解：圓的解析式為/+），2-4）=0

圓心坐標(biāo)為（0,2）,半徑為r=2,

6

x=

x-2y+6=0x*2或?

聯(lián)立得92解得

x^+y-4y=0y=2_18’

y~

不妨設(shè)A(-2,2),B,

55

則取=（-2,0）,通=(68)

所以瓦?溫：-2X-^+0X8_12

555

故選：D.

x2_y~2.

6.設(shè)雙曲線C：=1（〃>0,b>0）的右焦點(diǎn)為22,過(guò)尸2且垂直于X軸的直線與C

2,2

ab

4b2

相交所得的弦長(zhǎng)為/；則。的離心率為（）

B.2c.aD.3

解：由題意可知點(diǎn)尸（c,0）,—2~-1，

.b2

??y=±?

a

24b2

所以弦長(zhǎng)為2互K_=7等=w，

E2

解得氣=3,

7.如圖，無(wú)人機(jī)在離地面高300〃?的M處，觀測(cè)到山頂A處的俯角為15°、山腳C處的

俯角為60°,已知4B=BC,則山的高度AB為()

C.200揚(yáng)?.300，”

解：Rt^AMNC中，NMCN=60°,MN=300,

所以MC=.理。=200?；

sinoO

又△ACM中，ZMAC=150+45°=60°,

所以NACM=180°-60°-45°=75°,

所以NAMC=180°-75°-60°=45°,

由正弦定理得一繪;_AC

sin60sin450'

200V3X返

2=200&；

解得AC=------

2

RtZXABC中,A8=BC=ACsin45。=200&X亨

200,

所以山的高度42為200，〃.

故選：B.

8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為r(x),且41'(x)-4f(x)若/

(1)=e+2,則方程f(x)=4的實(shí)根個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3E4

解：由(x)-4f(x)=xV,可得Wf(x)-4x3f(x)=好外

則￡13善。_=/即(瑪一)，?，

X8X4

f(x)

則^~=ev+C,f(x)=/(e'+C),

x

又/(1)=e+2,所以e+2=e+C,

所以C=2,所以/(x)=d(ev+2),

f(x)=4x3(ev+2)+Xl^ex=x3(xe'+4鏟+8),

令g(x)=叱+4/+8,

g'(x)=e'c+xex+4ex=(x+5)eS令g'(x)=0,得x=-5,

當(dāng)xW(-8,-5)時(shí)，/(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xW(-5,+8)時(shí)，g’(x)

>0,g(x)單調(diào)遞增，

所以g(x)的最小值為g(-5)=-”5+8>O,

則對(duì)于(x)=犬3(xev+4ev+8),

令/(x)<0,可得xVO,令/(x)>0,可得x>0,

所以f(元)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(X)的最小值為了(0)=0,當(dāng)-8時(shí)，f(x)—+<?,當(dāng)“f+8時(shí)，f(x)f

+8,

所以函數(shù)y=/(x)與y=4有2個(gè)交點(diǎn)，

即方程/(x)=4的實(shí)根個(gè)數(shù)為2.

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9,下列函數(shù)中，在(2,4)上是減函數(shù)的是()

A.y=(—)]B.y=log2(x2+3x)

3

C.v=——D.y=cosx

x-2

解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，y=(義)*在(2,4)上是減函數(shù)，符合題意；

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，y=log2(N+3X)在(2,4)上是增函數(shù)，不符合題意；

根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移得，y=±在(2,4)上是減函數(shù)，符合題意;

x-2

根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)得，y=cosx在(2,4)上先減后增，不符合題意.

故選：AC.

10.已知數(shù)列｛斯｝滿足及=4,n(n-1)an+\=(n-1)an-nan-1(n>l且n€N*),數(shù)列

｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，則()

A.。1+。3=2

B.。|+。3=4

C.202052021-?2O2O=8O8O

D.2021S2021-〃202O=4040

解：因?yàn)椤?=4,干(n-1)期+1=(H-1)an-nan.\,

令n=2,則2a3=6-2〃],2〃3=4-2〃|,所以。1+。3=2,故A正確，B錯(cuò)誤;

因?yàn)椤?〃-1)如+1=(n-1)an-na,i-1(zi>l且〃eN*),

an_an-l

nn-l

a

所以為=「nT.一年0-2,…，_2

n-ln-22

C^_1an-2+an-3a-i

Sn=Cl1+。2+俏+…+Cln=.n上+…+品-。1+。2+。1=n+。2—

n-ln-2n-3n-22n-1

4

所以$2021=a2g20.+4,

2020

即2020S2021=3)20+8080,故C正確，。錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.甲箱中有3個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙箱中有2個(gè)白球和4個(gè)黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一

球放入乙箱中，分別以Ai,A2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再?gòu)囊蚁渲须S

機(jī)取出一球，以8表示從乙箱中取出的球是黑球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）

A.Ai,A?兩兩互斥

2

B.P（B|A）=—

23

C.事件8與事件4相互獨(dú)立

解：因?yàn)椴豢赡芡瑫r(shí)從甲箱中取出白球和黑球，故4,4不可能同時(shí)發(fā)生，故4,4

互斥，故選項(xiàng)A正確；

P（8小）=￡、?=1■，故選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

2+4+17

事件4是否發(fā)生會(huì)影響事件B發(fā)生的概率，故事件B與事件A2不相互獨(dú)立，故選項(xiàng)C

錯(cuò)誤：

p(B)=《X?Wx,々，故選項(xiàng)。正確.

故選：AD.

12.如圖，矩形48CD中，AB=4,A￡>=2,E,F分別為邊A5,BC的中點(diǎn)，將該矩形沿

對(duì)角線BO折起，使平面ABO,平面8CQ,則以下結(jié)論正確的是()

B.心醇

C.BDLAC

D.三棱錐A-BCQ的體積為學(xué)返

15

解：因?yàn)镋,尸分別為邊AB,BC的中點(diǎn)，所以E尸〃AC,

又平面AC。，ACu平面4CD,所以￡7%平面4CD,故選項(xiàng)A正確;

作AH1.B。于點(diǎn)H,連結(jié)C7/,因?yàn)槠矫鍭8OJ_平面BCD,平面ABOC平面

A”u平面ABD,

所以AH_L平面BCD,CHu平面BCD,故AH_LCH,

因?yàn)镾2UBD=1X4X2=/XJ^7，AH，解得

—由2C四翁/解得j金

2452X4X,5

所以點(diǎn)喈衿

AC=JAH2KH2=■,故選項(xiàng)B正確;

V33?

建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C(0,0,0),B(2,0,0),D(0,4,0),

因?yàn)镈H二答，DB=2泥，所以瞿］，

bUDD

故普，0),所以Af1,華，羋),

DD555

故正=([，T，￥),麗=(-2,4.0)，

555

因?yàn)槲?而4-獸=-12卉0,故M與而不垂直，即AC與8。不垂直，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

55

16

三棱錐A-BCD的體積為V』.SAECD-AH=—X—X2X4X幺導(dǎo)=^，故選項(xiàng)D

332515

正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x>04

13.已知函數(shù)/(x)={x+1,則八-4)=_￡_?

f(x+2),x=C0

解：根據(jù)題意，函數(shù)/(冗)=?x+1,

f(x+2),x《0

則/(-4)=/(-2)=f(0)=/(2)=y,

故答案為：寺

14.若拋物線V=8x上有兩點(diǎn)A,B,且直線AB垂直于x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的

面積為8,則點(diǎn)A,B到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和為」

解：由題意設(shè)直線A8的方程為：x=a,a>0,代入拋物線的方程可得y=±2缶，

所以弦長(zhǎng)|A8|=4缶，O到直線A8的距離為a,

而拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2

所以5&4。8=當(dāng)48卜”=￡?4&^4=2&^?=8,解得a—2,

所以|AB|=2[a-(-2)]=2X(2+2)=8,

故答案為：8.

JT

15.將函數(shù)/(x)圖象向左平移爭(zhēng)單位，再把所得的圖象保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)

到原來(lái)的4倍得到y(tǒng)=sin（激―-），則〃x）的解析式是f（x）=sin（2—哈）

函數(shù)/（X）在區(qū)間TT三TT■】上的值域是「1,-

812

解：由題意，把尸sin（巨二）的圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的g縱坐標(biāo)不變，可得y

244

TT

=sin（2x+--）的圖象；

4

再把所得圖象向右平移等個(gè)單位，可得F（X）=sin（級(jí)-亭+丁）=sin（"-*）

0O1L乙

的圖象.

當(dāng)ur兀兀］o5兀-2兀K5K

當(dāng)在［-丁'五］,2x-R［-丁‘-丁，仙（女-年）曰-1,-與］,

故答案為：,f（x）=sin（2苫-帶）；［-1,-苧.

16.已知三棱錐S-ABC外接球的球心。在線段SA上，若aABC與△SBC均為面積是的

等邊三角形，則三棱錐S-ABC的體積為‘巫

-3

解：如圖，

?.,三棱錐S-ABC外接球的球心0在線段SA±,：.OS=OA=OB=OC,

又△ABC與ASBC均為面積是?的等邊三角形，

設(shè)BC=“，則!a?X^^=、氏，得。=2,B|JAB—BS—AC—SC—BC—2,

22YJ

可得80J_SA,COJ_SA,進(jìn)一步求得NAB=NACS=90。，

得到SA=2&，

設(shè)BC中點(diǎn)￡),連接40，SD,求得AO=SD=E.

S.BCLAD,BCLSD,又SDCA￡)=。，.,.BCJ-平面SZM,

在中，???SQ=AQ=百，SA=2V2)???SADSA-|X2V2XVT2=V2'

則VS-ABC寺3SAxBC《x在x2考.

故答案為：2叵.

3

四、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在①sin24+sin2B-sin2C=sin4sinB,②2。=J^csinA+“cosC,③(2sinA-sinB)a=2csinC+

(siM-2sinB)匕這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答.

已知AABC的角A,B,C對(duì)邊分別為a,b,c,且c=6,.

(1)求C；

(2)求△ABC面積的最大值.

解：若選條件①，sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB,

(1)利用正弦定理可得cfi+kr-d=ab,

由余弦定理可得cosc=.2也.=曰=上,

2ab2ab2

因?yàn)镃G(0,it),

所以c=2K了.

兀

(2)因?yàn)镃=yc=6,

所以在AABC中，由余弦定理可得36=〃+〃-岫，

所以"+36=涼+6》2時(shí),解得abW36,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以△ABC面積的最大值S,?at=X/teinC=—X36X卓=9仃

222

若選條件②，2〃=J?csinA+〃cosC,

(1)由正弦定理可得2sinA=J^inCsiM+sinAcosC,

因?yàn)閟irtAWO,所以J^inC+cosC=2,即sin(C+尚-)=1,

TTTT7IT

因?yàn)镃G(0,IT),CH■——€(——,---),

666

所以C+二TT二二TT冬，可得IT

623

71

(2)因?yàn)镃=F，c=6,

所以在△ABC中，由余弦定理可得36=“2+6-岫，

所以解得abW36,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào),

所以△ABC面積的最大值S皿=//b$inC=/x36X亨=9小豆

若選條件③，(2sinA-sinB)a=2csinC+(sinA-2sinB)b,

(1)由正弦定理可得：(2a-b)。=2/+(a-2b)b,整理可得原+〃-/=",

由余弦定理可得cosC=a+b-c=/=4,

2ab2ab2

因?yàn)镃G(0,TT),

TT

所以c=v

TT

(2)因?yàn)镃=——,c=6,

3

所以在△ABC中，由余弦定理可得36=。2+/-帥，

所以ab+36=a2+b22ah,解得abW36,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

所以△43。面積的最大值S,Wat=XzfesinC=-^X36X浮=9百，

222

18.已知已為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和,已知“1+42=-20,52+53=-47.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

(2)求S“,并求S,的最小值.

解：(1)等差數(shù)列｛“"｝中，(71+42=-20,Sl+S3=-47,

'2a1+d=-20

所以，

2aj+d+3aj+3d=-47

a<=_11

解得，\1,

ld=2

故an=ai+(?-1)d=2n-13,

=2

(2)由(1)得，Snna\1'：=-11〃+〃2_〃=〃2_\2n=(?-6)-36,

2

故當(dāng)n=6時(shí)，S,的最小值-36.

19.如圖，在三棱錐P-ABC中，AB,AC,AP兩兩互相垂直，AB=2AC=2AP,CDLPB.

(1)證明：ACPB且BC=4P￡>；

(2)求直線A。與平面PBC所成角的正弦值.

【解答】(1)證明：因?yàn)锳C_LA8,ACA.AP,ABHAP=A,AB,APu平面A8P,

所以AC_L平面ABP,又P8u平面A2P,

所以4C_LP8,又因?yàn)镃￡?_LP8,AC^CD=C,AC,CQu平面AC。,

所以P8_L平面AC。，又AOu平面4C￡),所以AO_LP8,

因?yàn)閠an/A8P=￡J^」~,所以8O=2A￡>,

ABBD2

由題意可得△AOPS^BDA,所以ERM」，所以AO=2P。，

ADBD2

故BD=4PD；

(2)解：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)AC=2,則AB=4,AP=2,

4.R

則點(diǎn)A(0,0,0),P(0,0,2),8(0,4,0),C(2,0,0),D(z0,等，刈),

55

則拜=(0,4,-2),PC=(2,0,-2),AD=(O.4-T-)1

D5

設(shè)平面PBC的法向量為二=(x,y,z)，

tn*PC=2x-2z=0

令y=l,則x=2,z=2,所以］=(2,1,

設(shè)直線AD與平面PBC所成的角為9,

416

l5V5

WiJine=|cos<；,7D>|-,L?；e

S|n|1|AD|,

所以直線AD與平面PBC所成角的正弦值為返.

3

20.2020年11月22日，第29屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克決賽舉行，若將本次成績(jī)轉(zhuǎn)化為

百分制，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)吭赱60,100]

之內(nèi)，將數(shù)據(jù)按照[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分組作出頻率分布直

方圖，如圖所示.已知小b,c成等差數(shù)列且〃-c=0.008.

（1）求頻率分布直方圖中a,b,c的值；

（2）并估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)；

（3）若按照分層抽樣從成績(jī)?cè)冢?0,80）,［80,90）的兩組中抽取了6人，再?gòu)倪@6人

中隨機(jī)抽取3人，記X為3人中成績(jī)?cè)冢?0,90）的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

本頻率

■w

0.040-----

%.Iinoo成績(jī)（嘉）

解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得（0.04+a+8+c）X10=l,

"."a,b,c成等差數(shù)列，.,.2b=a+c,

又a-c=0.008,

聯(lián)立解得：4=0.024,fe=0.02,c=0.016.

（2）眾數(shù)即頻率分布直方圖圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故估計(jì)這100名學(xué)生成

績(jī)的眾數(shù)是75.

（3）由題意可得：成績(jī)?cè)冢?0,80）共有0.040X10X100=40人，在［80,90）共有0.020

X10X100=20人，

.?.在［70,80）抽取了4人,在［80,90）中抽取了2人,

.??隨機(jī)變量X的取值為0,1,2.

「3尸2「1尸1尸2

則尸（X=0）=T=2，P（X=l）P（X=2）

555

v6v6v6

；.x的分布列為：

X012

P3_工

~5~5

E(X)=0xi-lX-^+2X—=1.

555

/v?IQ

21.已知橢圓C：三三=1(a>b>0)的離心率等于！，橢圓C與拋物線C'：y2^x

a2b222

交于P，。兩點(diǎn)（P在x軸上方），且PQ經(jīng)過(guò)C的右焦點(diǎn).

(I)求橢圓c的方程;

(2)已知點(diǎn)48是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足直線4P與直線BP關(guān)于直線尸。對(duì)

稱，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c,設(shè)點(diǎn)P(c,州)，

22

c9cc9c

消去yo得：F+---5-=1，即9"(——號(hào)〒=1①,

a?2bza22(a2-c2)

因?yàn)闄E圓的離心率等于所以工4，即。=2。②，

2a2

將②代入①得:----------T--------------------------]

(2c)22[(2C)2-C2]

化簡(jiǎn)得：[-k-^—=1>

42c

解得：c=2.

22

所以a=4,b=^a_c=2^3,

22

所以橢圓。的方程為“工

1612

(2)將P(2,yo)代入拋物線C'：)2=*中，得丫譽(yù)會(huì)？，解得yo=3(取正值)，

則P(2,3),Q(2,-3),

當(dāng)AP與BP關(guān)于直線PQ對(duì)稱時(shí)，PA,PB的斜率之和為0,

設(shè)直線PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,

設(shè)A(xi,yi),B(及，*),

設(shè)直線PA的方程為y-3=k(x-2),

<y-3=k(x-2)

由1/2,消去)，得:

(3+4R)/+8(3-2%)日+16/-4弘-12=0,

—4^—=1

[1612

8(2k-3)k

所以xi+2=

3+4k2

設(shè)PB的直線方程為y-3=