第四章三角函數(shù)、解三角形第六講解三角形知識(shí)梳理·雙基自測(cè)名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容__________________＝2R(其中R是△ABC外接圓的半徑)a2＝_____________________b2＝_____________________c2＝_____________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2accosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理常見(jiàn)變形①a＝_________，b＝__________，c＝____________②sinA＝____，sinB＝____，sinC＝____③a:b:c＝__________________④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝__________cosB＝__________cosC＝__________2RsinA2RsinB2RsinCsinA：sinB：sinC定理正弦定理余弦定理解決解斜三角形的問(wèn)題(1)已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角(1)已知三邊，求各角(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角知識(shí)點(diǎn)二在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下

A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a<bsinAa＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)無(wú)解一解兩解一解一解無(wú)解知識(shí)點(diǎn)三三角形常用面積公式知識(shí)點(diǎn)四實(shí)際問(wèn)題中的常用術(shù)語(yǔ)術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角．方位角α的范圍是0°≤α<360°術(shù)語(yǔ)名稱術(shù)語(yǔ)意義圖形表示方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)××度知識(shí)點(diǎn)五實(shí)際測(cè)量中的常見(jiàn)問(wèn)題在△ABC中，常有以下結(jié)論1．∠A＋∠B＋∠C＝π.2．在三角形中，大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊．3．任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．5．tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．6．∠A>∠B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB．7．三角形式的余弦定理sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinB·sinCcosA，sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB，sin2C＝sin2A＋sin2B－2sinAsinBcosC．題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)在△ABC中，a

b

c＝A

B

C.()(2)在△ABC中，A>B必有sinA>sin B．()(3)在△ABC中，若b2＋c2>a2，則△ABC為銳角三角形．()(4)在△ABC中，若bcosB＝acosA，則△ABC是等腰三角形．()×√×××題組二走進(jìn)教材2．(必修2P44T1改編)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC＝()CB7．(2019·全國(guó)卷Ⅱ，5分)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，則B＝______.考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究例1考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形——自主練透CD(3)(2023·河南南陽(yáng)期中)在△ABC中，a＝8，b＝10，A＝45°，則此三角形解的情況是()A．一解 B．兩解C．一解或兩解 D．無(wú)解(4)(2022·南陽(yáng)四校聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b＝8，c＝3，A＝60°，則此三角形的外接圓的半徑R＝______.B(2)正、余弦定理可將三角形邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可將角(三角函數(shù))的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系．(3)在三角形的判斷中注意應(yīng)用“大邊對(duì)大角”．(4)已知邊多優(yōu)先考慮余弦定理，角多優(yōu)先考慮正弦定理．例2考點(diǎn)二判斷三角形的形狀——師生共研若選①△ABC為等邊三角形．由a(sinA－sinB)＝(c－b)(sinC＋sinB)及正弦定理，得a(a－b)＝(c－b)(c＋b)，即a2＋b2－c2＝ab.若選②△ABC為等腰直角三角形，判斷三角形形狀的2種途徑〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2022·長(zhǎng)春調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，則△ABC的形狀是()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形(2)(2023·開(kāi)封調(diào)研)已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，則△ABC的形狀是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形BD(2)解法一：已知等式可化為a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.由正弦定理知上式可化為sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA，∴sin2A＝sin2B，由0<2A<2π，0<2B<2π，解法二：同解法一可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB．例3考點(diǎn)三與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題——師生共研(2022·上海卷)為有效塑造城市景觀、提升城市環(huán)境品質(zhì)，上海市正在努力推進(jìn)新一輪架空線入地工程的建設(shè)．如圖是一處架空線入地的矩形地塊ABCD，AB＝30m，AD＝15m，為保護(hù)D處的一棵古樹(shù)，有關(guān)部門劃定了以D為圓心，AD為半徑的四分之一圓的地塊為古樹(shù)保護(hù)區(qū)．若架空線入線口為AB邊上的點(diǎn)E，出線口為CD邊上的點(diǎn)F，施工要求EF與古樹(shù)保護(hù)區(qū)邊界相切，EF右側(cè)的四邊形地塊BCFE將作為綠地保護(hù)生態(tài)區(qū)．例4考點(diǎn)四解三角形應(yīng)用舉例——師生共研(1)若∠ADE＝20°，求EF的長(zhǎng)．(結(jié)果精確到0.1m)(2)當(dāng)入線口E在AB上什么位置時(shí)，生態(tài)區(qū)的面積最大？最大面積是多少？(結(jié)果精確到0.01m2)[解析]

(1)作DH⊥EF，垂足為H，如圖．∵DH＝DA＝15，DA⊥AE，DH⊥HE，∴Rt△DHE≌Rt△DAE，∴∠HDE＝∠ADE＝20°，∠HDF＝90°－20°－20°＝50°，∴EF＝EH＋HF＝15tan20°＋15tan50°≈23.3(m)．解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的類型及解題策略求距離、高度問(wèn)題(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．求角度問(wèn)題(1)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫(huà)出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步，畫(huà)圖時(shí)，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能準(zhǔn)確找到這些角．(2)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，注意正、余弦定理的綜合應(yīng)用〔變式訓(xùn)練3〕(2021·全國(guó)乙，9)魏晉時(shí)期劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)量海島的高．如圖，點(diǎn)E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB＝()A[分析]

根據(jù)題意作輔助線，選擇合適的參數(shù)，將所求的量與已知的“表高”“表距”“表目距的差”聯(lián)系起來(lái)，從而求得海島的高度．名師講壇·素養(yǎng)提升角度1測(cè)量距離問(wèn)題(2023·武漢模擬)如圖，一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔時(shí)，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔時(shí)，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()例5三角形中的實(shí)際測(cè)量問(wèn)題A[解析]

過(guò)點(diǎn)C向正南方向作一條射線CD，如圖所示，由題意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°.AB＝24×0.5＝12(海里)．距離問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解法(1)類型：測(cè)量距離問(wèn)題常分為三種類型：山兩側(cè)、河兩岸、河對(duì)岸．(2)解法：選擇合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而利用正、余弦定理求解．在解題中，首先要正確地畫(huà)出符合題意的示意圖，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題去求解．注意：①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)．若圖中涉及多個(gè)三角形，則先解可解三角形，借助公共邊、公共角再解其他三角形從而求解．角度2測(cè)量高度問(wèn)題例660求解高度問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)在處理有關(guān)高度問(wèn)題時(shí)，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．易錯(cuò)提醒：解三角形實(shí)際問(wèn)題時(shí)注意各個(gè)角的含義，根據(jù)這些角把需要的三角形的內(nèi)角表示出來(lái)．而容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是把角的含義弄錯(cuò)，把這些角與要求解的三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系弄錯(cuò)．角度3角度問(wèn)題

在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12海里的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10海里的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時(shí)14海里的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角α的正弦值．例7[解析]

如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝