第6章等參單元等參變換的條件等參單元評價二十節點三維等參元簡介平面八節點曲邊四邊形等參元平面四節點等參單元等參單元

§6.1引言第二是單元幾何上的限制，矩形和六面體（長方體）單元要求單元的邊（面）平行于坐標軸（面），因此都不能模擬任意形狀和方位的結構。此外，線性單元都是直線邊界，處理曲邊界幾何體誤差較大?；仡櫱懊娴母鞣N二、三維單元，這些單元受到兩個方面的限制：第一是單元的精度，顯然單元的節點數越多，單元精度越高。因此在這一點上，矩形單元優于3節點三角形單元，六面體單元優于四面體單元；§6.1引言任意四邊形和任意六面體單元的位移模式、形函數的構造和單元列式的導出不能沿用前面構造簡單單元的方法，必須引入所謂的等參變換，采用相同的插值函數對單元的節點坐標和節點位移在單元上進行插值。這種單元稱為等參單元。解決上述矛盾的出路就是突破矩形單元和六面體單元幾何上的限制，使其成為平面任意四邊形和空間任意六面體單元，如果再增加邊中間節點，還可以成為曲邊四邊形和曲面六面體高精度單元。等參單元的提出對于有限元法在工程實踐中的應用具有重要意義?！?.2平面四節點等參單元1、局部坐標系與位移模式建立位移模式時的新問題：如果直接用x，y坐標系下的雙線性位移模式，由于任意四邊形單元的邊界與坐標軸不平行，因此位移沿邊界呈二次函數變化，單元在公共邊界上不滿足協調性。下圖為一個4節點任意四邊形單元，單元有8個自由度。將矩形單元放松為4節點任意四邊形單元將帶來許多好處。§6.2平面四節點等參單元因此在任意四邊形單元上建立一種局部坐標系ξ-η（如圖），使得4條邊上有一個局部坐標為常數（±1），顯然，該局部坐標系隨單元形狀變化，兩組坐標線一般不正交。單元內，所有點的坐標ξ、η皆在-1與+1之間，四個節點的局部坐標為+1或-1。該坐標系也稱為自然坐標系。建立了局部坐標系后，在ξ-η平面內單元就是一個邊長為2的正方形?！?.2平面四節點等參單元稱ξ-η平面內的正方形單元為基本單元或母單元。x-y平面內的任意四邊形單元稱為實際單元或子單元。顯然，母單元的節點對應于不同的x，y坐標就得到不同的任意四邊形單元。該局部坐標系使得在x-y平面上的任意四邊形與ξ-η平面上的正方形之間形成了1-1對應的映射。正方形的4個頂點對應任意四邊形單元的四個節點；4條邊對應任意四邊形單元的4條邊；正方形內任一點p(ξ,η)對應于任意四邊形內一點p(x,y)?！?.2平面四節點等參單元建立了局部坐標系或映射后，我們可以在ξ-η平面上的母單元中描述實際單元的位移模式和力學特性。任意四邊形單元在母單元中的位移模式插值公式（或者稱為ξ-η坐標系下的位移模式）就是矩形單元的位移模式，寫為：(i=1,2,3,4)其中，形函數為：為i節點的局部坐標。顯然該位移模式在ξ,η坐標系下是雙線性位移模式，在x，y坐標系下不是雙線性位移模式。由于實際單元的邊界上有一個局部坐標為常數，因此位移沿單元邊界線性變化，能保證單元的協調性。§6.2平面四節點等參單元為了得到上述映射的數學表達式，在母單元上引入x，y坐標插值的思想：母單元上任意一點在實際單元中對應點的x，y坐標由節點的x，y坐標插值得到，并采用與位移插值相同的插值函數。從而得到一個數學變換式：(i=1,2,3,4)2、坐標變換§6.2平面四節點等參單元上述映射是利用母單元描述實際單元力學特性的橋梁。由于該坐標變換式中采用了與位移插值相同的節點和參數（插值函數），因此稱為等參變換。而所有采用等參變換的單元稱為等參單元。等參單元是一個單元家族，目前在通用程序中廣泛采用。這樣就得到一個事實上的映射，只要驗證該映射把母單元映射成實際單元，就是所需要的映射，實際單元上局部坐標系就滿足前面規定的要求。而事實上正是如此?！?.2平面四節點等參單元3、單元剛度矩陣計算1）形函數導數的坐標變換等參單元中形函數是局部坐標ξ,η的顯函數，而計算應變時需要形函數對x,y坐標的導數。根據等參變換式，ξ,η和x,y之間有一定函數關系，由復合函數求導規則有：§6.2平面四節點等參單元從上式解出：從而可以計算應變矩陣：§6.2平面四節點等參單元2）剛度矩陣積分式的坐標變換對平面問題的四節點等參元，單元剛度矩陣由下式決定：

積分區域是x-y坐標系下的任意四邊形。進行積分變量替換，用坐標作為積分變量。由二維重積分變量替換公式得到：§6.2平面四節點等參單元3）剛度矩陣的數值積分由于等參單元剛度矩陣積分式中被積函數很難導出解析表達式，因此等參單元的計算都采用數值積分求積分的近似值，有限元中對四邊形和六面體等參單元采用高斯數值積分。一維積分高斯求積公式：§6.2平面四節點等參單元關于高斯積分的結論：對于二、三維高斯積分，有：沿不同的坐標方向可以取不同積分階L,M,N，對應的坐標位置（積分點）和權重分別按一維積分表選取。采用N階高斯積分，如果被積函數是2N-1階及以下的多項式，則高斯求積公式給出精確結果?！?.2平面四節點等參單元對于平面四節點等參元，剛度矩陣積分通常在ξ,η方向各采用2個積分點（2×2積分）：

§6.3平面八節點曲邊四邊形等參元平面8節點曲邊四邊形等