2021年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共1（）題，每小題3分，滿分3（）分）

1.下列四個(gè)選項(xiàng)中，為負(fù)整數(shù)的是（）

A.0B.-0.5C.-72D.-2

2.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b,且a+b=0f若AB=6,則點(diǎn)A表示的數(shù)為（）

ABX

A.-3B.0C.3D.-6

3.方程_J-=2的解為()

x-3x

A.x=-6B.尸-2C.x=2D.x=6

4.下列運(yùn)算正確的是（)

A.|-(-2)|=-2B.3+返=3愿

C.(〃2/)2=〃%6D.(a-2)2=a2-4

5.下列命題中，為真命題的是（)

(1)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形

(4)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)

6.為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉辦了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，在獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)

生中，有3名女學(xué)生，1名男學(xué)生，則從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好抽到2

名女學(xué)生的概率為（)

AB.cD

-i~24i

7.一根鋼管放在V形架內(nèi),其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24c若N4C8=60°,則

D.192ncm

8.拋物線'=0^+法+c經(jīng)過點(diǎn)（-1,0)、(3,0),且與y軸交于點(diǎn)（0,-5),則當(dāng)x=2

時(shí)，y的值為（）

A.-5B.-3C.-1D.5

9.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°，AC=6,3C=8,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

△4B'C,使點(diǎn)C'落在AB邊上，連結(jié)88',貝！1sin/B8'C的值為（）

B4c4

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)>=工（x>0）的圖象上，點(diǎn)C

在函數(shù)y=-A（x<0）的圖象上，若點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為-工，則點(diǎn)4的坐標(biāo)為（）

2

B.(除,加)

A.(A,2)C.(2,工)D.

22

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.代數(shù)式J彘在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義時(shí)，X應(yīng)滿足的條件是.

12.方程?-4x=0的實(shí)數(shù)解是.

13.如圖，在RtZ\A8C中，NC=90°,/A=30°,線段AB的垂直平分線分別交AC、AB

14.一元二次方程/-4x+，"=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)A（xi,yi）、B（X2.”）是反比

例函數(shù)產(chǎn)也上的兩個(gè)點(diǎn)，若xi〈x2<0,則yiy2（填或或"=

x

15.如圖，在△ABC中，AC=8C,/8=38°,點(diǎn)。是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD

的對(duì)稱點(diǎn)為B',當(dāng)B'￡>〃AC時(shí)，則NBCQ的度數(shù)為.

16.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=3,以點(diǎn)A為圓心，3

為半徑的圓分別交AB.AD于點(diǎn)F、G,DF與AE交于點(diǎn)H.并與。4交于點(diǎn)K,連結(jié)

HG、CH.給出下列四個(gè)結(jié)論.其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論

的序號(hào)）.

（1）”是FK的中點(diǎn)（2）△HGD四△Z/EC

（3）S&AHG：S&DHC=9：16（4）DK=M

5

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分）

17.（4分）解方程組（yr-4.

（x+y=6

18.（4分）如圖，點(diǎn)E、/在線段3C上，AB//CD,NA=NO,BE=CR證明：AE=DF.

19.（6分）己知4=心-旦）?亞吧.

nmm-n

（1）化簡A；

（2）若,〃+〃-2次=0,求A的值.

20.（6分）某中學(xué)為了解初三學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的次數(shù)，隨機(jī)調(diào)查了該年級(jí)20名學(xué)生,

統(tǒng)計(jì)得到該20名學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的次數(shù)如下：

3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5,4,4,2,4

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到如下不完整的頻數(shù)分布表:

次數(shù)123456

人數(shù)12a6b2

（1）表格中的〃=,b—；

（2）在這次調(diào)查中，參加志愿者活動(dòng)的次數(shù)的眾數(shù)為,中位數(shù)為；

（3）若該校初三年級(jí)共有300名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)該校初三年級(jí)學(xué)生參加志

愿者活動(dòng)的次數(shù)為4次的人數(shù).

21.（8分）民生無小事，枝葉總關(guān)情，廣東在“我為群眾辦實(shí)事”實(shí)踐活動(dòng)中推出“粵菜

師傅”、“廣東技工”、“南粵家政”三項(xiàng)培訓(xùn)工程，今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)共100萬人次.

（1）若“廣東技工”今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)31萬人次，“粵菜師傅”今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)人

次是“南粵家政”的2倍，求“南粵家政”今年計(jì)劃新增加的培訓(xùn)人次；

（2）“粵菜師傅”工程開展以來，己累計(jì)帶動(dòng)33.6萬人次創(chuàng)業(yè)就業(yè)，據(jù)報(bào)道，經(jīng)過“粵菜

師傅”項(xiàng)目培訓(xùn)的人員工資穩(wěn)定提升，已知李某去年的年工資收入為9.6萬元，預(yù)計(jì)李某今

年的年工資收入不低于12.48萬元，則李某的年工資收入增長率至少要達(dá)到多少？

22.（10分）如圖，在四邊形43CD中，/A8C=90°,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且4C=A￡>.

（1）尺規(guī)作圖：作NCAO的平分線A凡交于點(diǎn)F,連結(jié)ERBF（保留作圖痕跡，不

寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，若NBAO=45°,且NC4￡>=2NBAC,證明：ABEF為等邊三

角形.

23.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/：y=/x+4分別與x軸，y軸相交于A、

B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x,y）為直線/在第二象限的點(diǎn).

（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)△以。的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）作△玄。的外接圓OC,延長PC交（DC于點(diǎn)Q,當(dāng)△POQ的面積最小時(shí)，求OC的

24.(12分)已知拋物線y=/-(/n+1)x+2m+3.

(1)當(dāng),〃=0時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)(2,4)是否在該拋物線上；

(2)該拋物線的頂點(diǎn)隨著，”的變化而移動(dòng)，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐

標(biāo)；

(3)已知點(diǎn)E(-l,-1)、F(3,7),若該拋物線與線段E尸只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線

頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

25.(12分)如圖，在菱形ABCC中，ZDAB=60°,AB=2,點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

延長8A到點(diǎn)F,使AF=AE,且CF、OE相交于點(diǎn)G.

備用圖

(1)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A3中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形QFEC是平行四邊形；

(2)當(dāng)CG=2時(shí)，求AE的長；

(3)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)路徑的長度.

2021年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共10題，每小題3分，滿分30分)

1.下列四個(gè)選項(xiàng)中，為負(fù)整數(shù)的是()

A.0B.-0.5C.-V2D.-2

【解答】解：A、0是整數(shù)，但0既不是負(fù)數(shù)也不是正數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意：

8、-0.5是負(fù)分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、-加是負(fù)無理數(shù)，不是整數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

。、-2是負(fù)整數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

2.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b,且a+b=0,若AB=6,則點(diǎn)4表示的數(shù)為()

----------11------------?

ABx

A.-3B.0C.3D.-6

【解答】解：：a+6=0,

：.a=-b,即。與6互為相反數(shù).

又：AB=6,

??h~6.

：.2b=6.

：.b=3.

???〃=-3,即點(diǎn)A表示的數(shù)為-3.

故選：A.

3.方程-J-=2的解為()

x-3x

A.x=-6B.x=-2C.x=2D.x=6

【解答】解：去分母，得x=2%-6,

??x=6.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解.

故選：D.

4.下列運(yùn)算正確的是()

A.|-(-2)|=-2B.3+V^=3?

C.(d廬)2=〃4廬D.(a-2)2—a2-4

【解答】解：A、|-(-2)|=2,原計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意；

8、3與次不是同類二次根式，不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意;

C、(//)2=4％6,原計(jì)算正確，故本選項(xiàng)符合題意；

D.(a-2)2="2-4〃+4,原計(jì)算錯(cuò)誤，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

5.下列命題中，為真命題的是()

(1)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形

(4)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(4)D.(3)(4)

【解答】解：(1)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，為真命題，符合題意；

(2)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯(cuò)誤，為假命題，不符合題意；

(4)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，正確，是真命題，符合題意，

真命題為(1)(4),

故選：B.

6.為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉辦了黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，在獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)

生中，有3名女學(xué)生，1名男學(xué)生，則從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好抽到2

名女學(xué)生的概率為（）

A.2B.cD

3~24i

【解答】解：|田|樹狀圖如圖:

開始

女女女水男

/i\

女女男八3女女女

共有12種等可能的結(jié)果，恰好抽到2名女學(xué)生的結(jié)果有6種,

.?.恰好抽到2名女學(xué)生的概率為&=上，

122

故選:B.

7.一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm若N4CB=60°,則

劣弧AB的長是（）

A.SncmB.\6ncmC.32ncmD.19如cm

【解答】解：由題意得：C4和C8分別與。0分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)3,

：.OA-LCA,OB工CB,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

VZACB=60°,

JNA08=120°,

?.?-1-2-0-兀---X--2-4-_1oun（cm）,

180

故選：B.

8.拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）、（3,0）,且與y軸交于點(diǎn)（0,-5）,貝！］當(dāng)x=2

時(shí)，y的值為（）

A.-5B.-3C.-1D.5

?.?拋物線V=or2+/>x+c經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）、（3,0）,且與y軸交于點(diǎn)（0,-5）,

...可畫出衛(wèi)圖，

拋物線對(duì)稱軸X=土生=1,

2

.?.點(diǎn)（0,-5）的對(duì)稱點(diǎn)是（2,-5）,

.?.當(dāng)x=2時(shí)，y的值為-5.

故選：A.

9.如圖，在RtZSABC中，/C=90°,AC=6,BC=8,將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到

△48'C,使點(diǎn)C'落在AB邊上，連結(jié)B8',則sin/BB'C的值為（）

。?等

【解答】解：；/C=?0。，AC=6,BC=8,

AB=yjAC2+BC2=<36+64=10,

?..將aABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△4B'C,

，AC=AC=6,BC=B'C=8,NC=/ACB'=90°,

：.BC=4f

=

B'8=也，2+BC，2=V16+644^/5>

：.sinZBB'C=區(qū)一_4_V5

BBZ乖T，

故選：c.

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)y=—（x>0）的圖象上，點(diǎn)C

X

在函數(shù)y=-且（x<0）的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.（A,2）B.（返，&）C.（2,A）D.（A/2>―）

2222

【解答】解：如圖，作AOJ_x軸于。，CELx軸于E,

?.?四邊形OABC是矩形，

AZAOC=90°,

AZAOD+ZCOE=90°,

VZAOD+ZOAD=90°,

：.ZCOE=ZOAD,

"：ZCEO^=ZODA,

：./\COE^/\OAD,

S

.AC0E_(0C)2,0E二CE二0C

,△AODOAADODOA

,.,5ACO￡=—X|-4|=2,SMOD=—X1=—>

222

.QE_CE_0C_2

"AD"OD'OAT，

AOE=2AD,CE=2OD,

設(shè)4Cm,—)(w>0),

m

：.C（-2,2加，

m

，OE=O-（-2）=2,

mm

:點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-工，

2

?m-（_7x_2

2m

整理得2機(jī)2+7加-4=0,

mi=-4（舍去）,

2

經(jīng)檢驗(yàn)，機(jī)=上是方程的解，

2

(A,2),

2

二、填空題空題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.代數(shù)式/彘在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義時(shí)，x應(yīng)滿足的條件是G6.

【解答】解：代數(shù)式小彘在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義時(shí)，尤-620,

解得“26,

???x應(yīng)滿足的條件是126.

故答案為：x26.

12.方程/-4K=0的實(shí)數(shù)解是xi=0,12=4.

【解答】解：方程f-4x=0,

分解因式得：x（x-4）=0,

可得x=0或x-4=0,

解得：xi=0,X2=4.

故答案為：XI=0,X2=4.

13.如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,ZA=30°,線段A3的垂直平分線分別交AC、AB

【解答】解：???OE垂直平分AB,

:?AD=BD,

???ZA=ZABDf

VZA=30°,

???NABD=30°,

AZBDC=ZA+ZABD=30Q+30°=60°,

VZC=90°,

???NCBD=30°,

?；CD=1,

：.BD=2CD=2,

：.AD=2.

故答案為2.

14.一元二次方程/-4x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)A(xi,yi)、B(雙，”)是反比

例函數(shù)y=EL上的兩個(gè)點(diǎn)，若HVJCVO,則yi>Y2(填“V”或或"=

【解答】解：???一元二次方程7-4犬+勿2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

AA=16-4/77=0,

解得〃z=4,

V/n>0,

???反比例函數(shù)y=如圖象在一三象限，在每個(gè)象限y隨x的增大而減少,

Vxi<X2<0,

；?w>y2,

故答案為>.

15.如圖，在△A8C中，AC=BC,ZB=38°，點(diǎn)。是邊A8上一點(diǎn)，點(diǎn)8關(guān)于直線CD

的對(duì)稱點(diǎn)為B',當(dāng)B'O〃AC時(shí)，則N8CD的度數(shù)為330.

【解答】解：???AC=BC,

AZA=ZB=38°,

?；B'D//AC,

：.ZADB'=NA=38°,

???點(diǎn)8關(guān)于直線CO的對(duì)稱點(diǎn)為e,

：.ZCDB'=/83=▲(38°+180°)=109°,

.?./BCZ)=180°-ZB-ZCDB=1800-38°-109°=33°.

故答案為33°.

16.如圖，正方形A5CD的邊長為4,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE=3,以點(diǎn)A為圓心，3

為半徑的圓分別交A3、AD于點(diǎn)尸、G,DF與AE交于點(diǎn)H.并與C)A交于點(diǎn)K,連結(jié)

HG、CH.給出下列四個(gè)結(jié)論.其中正確的結(jié)論有⑴⑶⑷(填寫所有正確

結(jié)論的序號(hào)).

(1)H是FK的中點(diǎn)(2)△4G。絲△HEC

(3)SMHG-S2HC=9：16(4)DK=L

【解答】解：(1)在aABE與△D4F中，

'AD=AB

<ZDAF=ZABE..,.△ABE絲△OAF(SAS),

AF=BE

AZAFD=ZAEB,：.ZAFD+ZHAE=ZAEB+ZBAE=90°,

：.AH1FK,

由垂徑定理，

得：FH=HK,

即H是FK的中點(diǎn)，故(1)正確；

(2)如圖，過，分別作，M_LAQ于M,HNLBC于■N,

\"AB=4,BE=3,

?*-^￡=VAB2+BE2=5,

,/NBAE=NHAF=ZAHM,

cosZBAE=cosZHAF=cosNAHM,

.AMAHAB_4

"AH"AF"AE5"

.?.AH=絲，坐，

525

:.HN=4-吧=里

2525

即HMWHN,

'：MN//CD,

:.MD=C也_______

7//D^VHH2+MP2,

"=癡2m心

：.HC^HD,

；.AHGD絲AHEC是錯(cuò)誤的,故（2）不正確;

（3）由（2）知,2TM2=-||，

；.DM=4迄0，

2525

?：MN//CD,

:"MD=HT=處,

25

e-^AG-HM

b

?AAHG_2______國-,故（3）正確;

SAHCD-1<D-HT16

(4)由(2)知，HF-VAF2-AH2"T'

?■?FK=2HF=^>

t>

:.DK=DF-FK=L,故（4）正確.

5

三、解答題（本大題先9小題，滿分72分）

17.（4分）解方程組[y=x-4.

Ix+y=6

y=x-石)

【解答】解:

x+y=6②

將①代入②得，X+（X-4）=6,

??1=5,

將x=5代入①得，y=l,

...方程組的解為1x=5.

ly=l

18.（4分）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB//CD,NA=N。，BE=CF,證明：AE=DF.

【解答】證明：；AB〃CD,

:.NB=NC.

在△ABE和△OCF中，

，ZA=ZD,

<ZB=ZC,

BE=CF,

:.△ABEQXDCF(AAS).

：.AE=DF._

19.（6分）已知4=（%-2）.立1m..

nmm-n

（1）化簡A；

（2）若機(jī)+〃-2\巧=0,求4的值.

【解答】解：（1）A=（處一旦）.返吧

nmm-n

_m2-n2V3inn

------------■----------

mnm-n

_（m+n）（m-n）V3nn

--------------------■----------

nunm-n

=Vs（m+〃）

（2）???/%+〃-2?=0,

.,?〃?+〃=2j^，_____

當(dāng)時(shí)，A=y/^n-^/3n=y[3（"?+〃）=V^X2y=6.

20.（6分）某中學(xué)為了解初三學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的次數(shù)，隨機(jī)調(diào)查了該年級(jí)20名學(xué)生,

統(tǒng)計(jì)得到該20名學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的次數(shù)如下：

3,5,3,6,3,4,4,5,2,4,5,6,1,3,5,5,4,4,2,4

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到如下不完整的頻數(shù)分布表：

次數(shù)123456

人數(shù)12a6h2

（1）表格中的4=4,h=5；

（2）在這次調(diào)查中，參加志愿者活動(dòng)的次數(shù)的眾數(shù)為4,中位數(shù)為4；

（3）若該校初三年級(jí)共有300名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)該校初三年級(jí)學(xué)生參加志

愿者活動(dòng)的次數(shù)為4次的人數(shù).

【解答】解：（1）由該20名學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的次數(shù)得：q=4,b=5,

故答案為:4,5；

（2）該20名學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的次數(shù)從小到大排列如下：

1,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,

：4出現(xiàn)的最多，有6次，

眾數(shù)為4,中位數(shù)為第10,第11個(gè)數(shù)的平均數(shù)生上=4,

2

故答案為：4,4；

（3）300X且=90（人）.

20

答：估計(jì)該校初三年級(jí)學(xué)生參加志愿者活動(dòng)的次數(shù)為4次的人數(shù)有90人.

21.（8分）民生無小事，枝葉總關(guān)情，廣東在“我為群眾辦實(shí)事”實(shí)踐活動(dòng)中推出“粵菜

師傅”、“廣東技工”、“南粵家政”三項(xiàng)培訓(xùn)工程，今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)共100萬人次.

（1）若“廣東技工”今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)31萬人次，“粵菜師傅”今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)人

次是“南粵家政”的2倍，求“南粵家政”今年計(jì)劃新增加的培訓(xùn)人次；

（2）“粵菜師傅”工程開展以來，已累計(jì)帶動(dòng)33.6萬人次創(chuàng)業(yè)就業(yè)，據(jù)報(bào)道，經(jīng)過“粵菜

師傅”項(xiàng)目培訓(xùn)的人員工資穩(wěn)定提升，已知李某去年的年工資收入為9.6萬元，預(yù)計(jì)李某今

年的年工資收入不低于12.48萬元，則李某的年工資收入增長率至少要達(dá)到多少？

【解答】解：（1）設(shè)“南粵家政”今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)x萬人次，則“粵菜師傅”今年計(jì)劃

新增加培訓(xùn)2x萬人次，

依題意得：31+2x+x=100,

解得：x—23.

答：“南粵家政”今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)23萬人次.

（2）設(shè)李某的年工資收入增長率為根，

依題意得：9.6（1+m）212.48,

解得：，”20.3=30%.

答：李某的年工資收入增長率至少要達(dá)到30%.

22.（10分）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90°,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且AC=A￡>.

（1）尺規(guī)作圖：作NCAO的平分線AF,交CQ于點(diǎn)F,連結(jié)EF、（保留作圖痕跡，不

寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，若NBAD=45°,且NC4O=2NBAC,證明：△BEF為等邊三

角形.

【解答】（1）解：如圖，圖形如圖所示.

9

(2)證明：：AC=ADfAF平分NCAZ),

：.ZCAF=ZDAF,AFLCD,

u：ZCAD=2ZBAC,ZBAC=45°，

AZBAE=ZEAF=ZFAD=15°,

VZABC=ZAFC=90Q,AE=EC,

?；BE=AE=EC,EF=AE=EC,

:,EB=EF,NEAB=/EBA=15°,ZEAF=ZEFA=\5°,

???NBEC=NE4B+NE8A=30°,ZCEF=ZEAF+ZEM=30o,

ZBEF=60°,

.**/\BEF是等邊三角形.

23.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，直線/：y=」b+4分別與x軸，y軸相交于A、

2

B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸（x,j）為直線/在第二象限的點(diǎn).

（1）求A、B兩點(diǎn)的.標(biāo)：

（2）設(shè)的面積為S,求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

（3）作△以。的外接圓。C,延長PC交OC于點(diǎn)。，當(dāng)△POQ的面積最小時(shí)，求OC的

半徑.

【解答】解：(1)?.?直線y=/x+4分別與x軸，y軸相交于4、B兩點(diǎn),

???當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=-8,

?"(-8,0),B(0,4)；

(2),?,點(diǎn)P(x,y)為直線/在第二象限的點(diǎn)，

??P(x,■^~x+4)，??S/\4Po="^iOAX("^~x+4)=4X(-^-x+4)=陵+16(-8<工<0)；

：.S=2x+\6(-8<x<0)；

(3)VA(-8,0),B(0,4),

，OA=8,05=4,

在RtQAOB中，由」股定理得:

AB=VOA2OB2=VS2+42=W5)

在(DC中，：PQ是直徑，.??NPQO=90°,

；/BAO=NQ,.?.tanQ=tan/BAO=L,；.弛』，，OQ=2OP,

2OQ2

2

???SNOQ=1FIPXOQ=如PX20P=0P>

當(dāng)S^POQ最小時(shí)，則OP最小，

???點(diǎn)尸在線段AB上運(yùn)動(dòng)，???當(dāng)OPLAB時(shí)，OP最小，

?'-SAAOB=/XOAx0B-xABXOP，

???OP?怒=嘉￥,\'sinQ=sinZBAO,

AOP_=OB_；..'，PQ=8,...（DC半徑為4.

PQABPQ475

24.（12分）已知拋物線＞=--（??+1）x+2/n+3.

（1）當(dāng)機(jī)=0時(shí)，請(qǐng)判斷點(diǎn)（2,4）是否在該拋物線上；

（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著〃?的變化而移動(dòng)，當(dāng)頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐

標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)E（-l,-1）、F（3,7）,若該拋物線與線段所只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線

頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.

【解答】解：（1）當(dāng)機(jī)=0時(shí)，拋物線為y=/-x+3,

將x=2代入得y=4-2+3=5,

???點(diǎn)（2,4）不在拋物線上；

（2）拋物線y=/-（〃2+1）x+2〃z+3的頂點(diǎn)為（受\4（2m+3）-：-（m+]j]）,

2

化簡得（空支，f+6m+ll）,

24

頂點(diǎn)移動(dòng)到最高處，即是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，

2

而-m+6m+ll=（加-3）2+5,

44

.?.機(jī)=3時(shí)，縱坐標(biāo)最大，即是頂點(diǎn)移動(dòng)到了最高處，

此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2,5）；

（3）設(shè)直線EF解析式為丫=履+兒將E（-1,-1）＞F（3,7）代入得：

f-l=-k+b（解得（k=2,

l7=3k+blb=l

直線EF的解析式為y=2x+l,

fy=2x+l/x=2甫fx=m+l

由,得：i或《，

y=x-（m+1）x+2m+3Iy=51y=2m+3

，直線y=21+l與拋物線y=--（加+1）x+2"?+3的交點(diǎn)為：（2,5）和（加+1,2團(tuán)+3）,

而（2,5）在線段E尸上，

???若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，則（機(jī)+1,2〃計(jì)3）不在線段所上，或（2,5）與

（1,2m+3）重合,

：.ni+\＜-1或m+1＞3或m+1=2（此時(shí)2機(jī)+3=5）,

此時(shí)拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)X頂點(diǎn)=空支＜-■或X頂點(diǎn)=空支＞3或X頂點(diǎn)=紀(jì)工=*11=I.

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