引例導數的定義導數的幾何意義與物理意義可導與連續的關系求導舉例小結思考題作業第一節導數的概念(derivative)第二章導數與微分1例1直線運動的瞬時速度問題一質點作直線運動,已知路程s與時間t的試確定t0時的瞬時速度v(t0).

這段時間內的平均速度在每個時刻的速度.導數的概念解若運動是勻速的,平均速度就等于質點一、引例關系質點走過的路程,00tttD+?從時刻2此式既是它的定義式,又指明了它的計算它越近似的定義為并稱之為t0時的瞬時速度v(t0).瞬時速度是路程對時間的變化率.導數的概念若運動是非勻速的,平均速度是這段時間內運動快慢的平均值,

越小,表明t0時運動的快慢.因此,人們把t0時的速度注方法,0lim?Dt3例2割線的極限位置——對于一般曲線如何定義其切線呢?導數的概念曲線的切線斜率問題若已知平面曲線如何作過的切線呢.

初等數學中并沒有給出曲線切線的定義.過該點的切線.我們知道與圓周有唯一交點的直線即為圓周但此定義不適應其它曲線.如與拋物線有唯一交點的直線不一定是切線.切線位置.?曲線上點法國數學家費馬在1629年提出了如下的定義和求法,P.deFermat1601-1665從而圓滿地解決了這個問題.4處切線的斜率.導數的概念已知曲線的方程確定點

如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,極限位置即C在點M處的切線.如圖,5導數的概念割線MN的斜率為切線MT的斜率為0limxx?6

就其實際意義來說各不相同,關系上確有如下的共性:但在數量1.在問題提法上,都是已知一個函數求y關于x在x0處的變化率.2.計算方法上,(1)當y隨x均勻變化時,用除法.(2)當變化是非均勻的時,需作平均變化率的

在現實生活中,凡涉及變化率的問題,其精確描述和計算都離不開此式所規定的這一運算.導數的概念上述兩例,分別屬于運動學、幾何學中的問題,極限運算:7定義導數的概念函數與自平均變化率.二、導數的定義8中的任何一個表示,導數的概念存在,如平均變化率的極限:或函數在一點處的變化率(derivative)或有導數.可用下列記號則稱此極限值為9處不可導或導數不存在.特別當(1)式的極限為有時也說在x0處導數是正(負)無注要注意導數定義可以寫成多種形式:導數的概念當極限(1)式不存在時,就說函數f(x)在x0在利用導數的定義證題或計算時,正(負)無窮時,窮大,但這時導數不存在.10關于導數的說明或如果x0=0,可以寫成導數的概念特別是,(1)點導數是因變量在點x0處的變化率,它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度.(2)如果函數y=f(x)在開區間I內的每點處都可導,就稱函數f(x)在開區間I內可導.11注導數的概念記作即或(3)對于任一都對應著f(x)的一個確定的導數值.這個函數叫做原來函數f(x)的導函數.12導數的概念例用導數表示下列極限解練習解hxfhxfxfh)()(lim)(0000-+=￠?13右導數4.單側導數

左導數導數的概念又分別可以解釋為曲線

點的左切線的斜率與右切線的斜率.從幾何上(leftderivative)(rightderivative)14導數的概念處的可導性.此性質常用于判定分段函數在分段點如果在開區間內可導,都存在,15例解三、求導舉例(幾個基本初等函數的導數)

導數的概念

步驟

即

導數的定義不僅給出了導數的概念,也提供了計算方法.因而它也屬于雙重意義的定義.16例解導數的概念即同理可得自己練習17例解更一般地如導數的概念即18例解導數的概念即19例解導數的概念即20例解導數的概念即211.幾何意義特別地:導數的概念即四、導數的幾何意義與物理意義22導數的概念23例解得切線斜率為所求切線方程為法線方程為導數的概念由導數的幾何意義,即即242.物理意義非均勻變化量的瞬時變化率.路程對時間的導數為物體的瞬時速度;電量對時間的導數為電流強度;為物體的線(面,體)密度.導數的概念變速直線運動交流電路非均勻的物體質量對長度(面積,體積)的導數25該點必連續.證導數的概念定理如果函數則函數在五、可導與連續的關系在點x處可導,即函數極限與無窮小的關系所以,26如,該定理的逆定理不一定成立.注導數的概念連續是可導的必要條件,不是可導的充分條件.27例解導數的概念28練習為了使f(x)在x0處可導,

導數的概念解首先函數必須在x0處連續.由于故應有又因應如何選取a,b?29導數的概念從而,當

f(x)在x0處可導.應如何選取a,b?為了使f(x)在x0處可導,

30導數的實質:增量比的極限;導數的幾何意義:切線的斜率;函數可導一定連續，但連續不一定可導;

求導數最基本的方法:由定義求導數.判斷可導性不連續,一定不可導.連續直接用定義;看左右導數是否存在且相等.導數的概念六、小結31思考題(是非題)導數的概念非可導;但不可導.非但不可導.32導數的概念作業習題2-1(85頁)

1.3.4.6.7.(1)(3)(5)(7)9.11.13.14.15.17.18.33函數的線性組合、積、商的求導法則小結思考題作業第二節函數的求導法則第二章導數與微分反函數的求導法則基本求導法則與導數公式復合函數的求導法則34定理1并且則它們的線性組合、積、商在點x處也可導,函數的求導法則一、函數的線性組合、積、商的求導法則=￠ú?ùê?é)()()3(xvxu35證則由導數的定義有函數的求導法則),()()(xvxuxfba+=設hxvxuhxvhxuh)]()([)]()([lim0baba+-+++=?)]()([xuhxu-+a)]()([xvhxv-+b36證由乘積的導數:得故特別即函數的求導法則37推論且函數的求導法則38例解例解函數的求導法則39例解同理可得即函數的求導法則40例解同理可得即函數的求導法則xxxcotcsc)(csc×-=￠41練習解法一法二注在進行求導運算中,且也能提高結果的準這樣使求導過程簡單,盡量先化簡再求導,確性.函數的求導法則42函數的求導法則?用求導法則與用定義求導數時,結果有時不一致,這是為什么?如已知無意義,解所以,不存在.上述解法有問題嗎?注意問題出在不連續.因此可能在不連續點處不代表該點處的導數值.用定義!43或

第一章第九節定理2:

單調的連續函數必有單調的連續反函數.定理2且函數的求導法則二、反函數的求導法則證連續,故從而有因

反函數的導數等于直接函數導數的倒數.44例解同理可得函數的求導法則單調、可導,直接函數

反函數

內在ú?ùê?é-?2,2ppyI.11)cotarc(2xx+-=￠45注如果利用三角學中的公式:也可得公式也可得公式函數的求導法則46例解特別地函數的求導法則47定理3

鏈導法則三、復合函數的求導法則函數的求導法則可導,且其導數為或因變量對自變量求導,等于因變量對中間變量求導,乘以中間變量對自變量求導.,)(可導在點如果函數xxgu=,)(可導在點xgu=xxgfy在點則復合函數)]([=48證函數的求導法則規定可導,且其導數為可導,定理349推廣例解函數的求導法則×uydd×vudd.ddxvxudd50例解例解函數的求導法則22212xax-×+2222xax--2222xaa-+51例解例解函數的求導法則52因為所以函數的求導法則的情形證明冪函數的導數公式1)(-=￠mmmxx531.常數和基本初等函數的導數公式四、基本求導法則與導數公式課本第93頁函數的求導法則542.函數的線性組合、積、商的求導法則函數的求導法則都可導,則3.反函數的求導法則或且,)()1(vuvu￠+￠=￠+baba.)()2(vuvuvu￠+￠=￠×).0()3(21￠-￠=￠÷???è?vvvuvuvu554.復合函數的求導法則初等函數的導數仍為初等函數.注函數的求導法則

利用上述公式及法則初等函數求導問題可完全解決.56函數的求導法則證明下列雙曲函數與反雙曲函數的導數公式:例證x2ch=xxx222chshch-=x2ch1=,ch1)th(2xx=￠,11)arsh(2xx+=￠,11)arch(2-=￠xx.11)arth(2xx-=￠57函數的求導法則證58例解函數的求導法則59例解函數的求導法則60例解函數的求導法則61例解所以函數的求導法則62例解函數的求導法則63例證函數的求導法則由于斜率相等,知二切線平行.(1)求交點分別為曲線在A,B點的切線斜率.(2)求導數作的曲線的切線彼此平行.64練習解'函數的求導法則.1sinarctan的導數求函數÷???è?-=xexy65解注則練習函數的求導法則上式中是函數f對括號中的中間變量求導,?66解練習函數的求導法則

分析

這是抽象函數與具體函數相結合的導數,

綜合運用函數線性組合、積、商求導法則以及

復合函數求導法則.67答案練習函數的求導法則練習解),()()(,)(xaxxfaxxjj-==處連續在若).(af￠求68(注意成立條件);復合函數的求導法則函數的求導法則五、小結不能遺漏);(對于復合函數,反函數的求導法則層的復合結構,注意一層函數的積、商求導法則注意記住基本初等函數的導數公式69思考題(是非題)非例如處處可導,處不可導,但復合函數處處可導.函數的求導法則70作業習題2-2(96頁)6.(2)(4)(6)(8)(10)7.(1)(3)(5)(8)(10)函數的求導法則2.(1)(6)(9)(10)3.(3)4.5.

補充8.(8)(9)(10)10.71高階導數的定義萊布尼茨(Leibniz)公式小結思考題作業第三節高階導數第二章導數與微分幾個基本初等函數的n階導數72問題:變速直線運動的加速度.定義高階導數也是由實際需要而引入的.這就是二階導數的物理意義一、高階導數的定義高階導數'存在,二階導數.''記作73三階導數的導數稱為二階和二階以上的導數統稱為二階導數的導數稱為高階導數.高階導數三階導數,四階導數,n階導數,記作一般地,74例解

由高階導數的定義,欲求函數的高階導數,只需按求導法則和基本公式一階階的算下去,而不需要新的方法.高階導數75例解高階導數二、幾個基本初等函數的n階導數則76高階導數例解例解77例解同理可得即高階導數78求n階導數時,關鍵要尋找規律,注另外在的規律性,寫出n階導數.高階導數便可看出規律;一般求至三階,求導過程中不要急于合并,分析結果79例解高階導數22)1(1)2(1-----=￠xxy80

求n階導數需要運用技巧幾個常用高階導數公式函數的n階導數公式,使問題簡化.盡可能化為求某些熟知高階導數(通過四則運算,

變量代換,恒等變形)81例解若直接求導,將是很復雜的,且不易找出規律,所以將式子恒等變形.高階導數82高階導數例解

分析此函數是6次多項式,故不需將函數因式全乘出來.因為其中為x的6次多項式,故又是求6階導數,83萊布尼茲公式用此公式可以簡便地求出乘積的高階導數可類比著牛頓二項公式加強記憶高階導數則萊布尼茲(Leibniz,1646—1727)德國數學家.二、萊布尼茲公式84例解高階導數則由萊布尼茲公式知設,sinxu=,2xv=85練習提示經上面這樣變形后再求n階導數,就方便多了.高階導數)1ln()1ln(xx--+86高階導數的定義及物理意義;萊布尼茲公式.高階導數三、小結幾個常用的基本初等函數的n階導數公式(希熟記);

87解答可導不一定存在,

用定義高階導數思考題88作業習題2-3(101頁)

1.(4)(6)(10)2.3.(2)4.7.8.9.(1)(3)高階導數89第四節隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率第二章導數與微分隱函數的導數由參數方程所確定的函數的導數相關變化率小結思考題作業90定義1.隱函數的定義所確定的函數一、隱函數的導數隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率稱為隱函數(implicitfunction).的形式稱為顯函數.隱函數的可確定顯函數例開普勒方程開普勒(J.Kepler)1571-1630德國數學家,天文學家.的隱函數客觀存在,但無法將表達成的顯式表達式.顯化.912.隱函數求導法隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率隱函數求導法則

用復合函數求導法則,并注意到其中將方程兩邊對x求導.變量y是x的函數.隱函數不易顯化或不能顯化？如何求導92例解則得恒等式代入方程,隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率將此恒等式兩邊同時對x求導,得因為y是x的函數,

是x的復合函數,所以求導時要用復合函數求導法,93

雖然隱函數沒解出來,但它的導數求出來了,當然結果中仍含有變量y.允許在的表達式中含有變量y.一般來說,隱函數求導,隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率

求隱函數的導數時,只要記住x是自變量,將方程兩邊同時對x求導,就得到一個含有導數從中解出即可.于是y的函數便是x的復合函數,的方程.y是x的函數,94隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率例解法一利用隱函數求導法.將方程兩邊對x求導,得解出得法二從原方程中解出得95隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率先求x對y的導數,得再利用反函數求導法則,得96例解切線方程法線方程隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率通過原點.97例解隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率將上面方程兩邊再對98或解解得隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率23)4(xy-)112(2-￠×yy99隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率利用隱函數求導法來證明曲線族的正交問題.如果兩條曲線在它們的交點處的切線互相垂直,正交軌線.稱這兩條曲線是正交的.如果一個曲線族中的每條曲線與另一個曲線族中的所有與它相交的曲線均正交,稱這是正交的兩個曲線族或互為正交曲線族在很多物理現象中出現,例如,靜電場中的電力線與等電位線正交,熱力學中的等溫線與熱流線正交,等等.100練習證即證.隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率兩條曲線在該點的現只須證明切線斜率互為負倒數.,)2,2(是兩曲線的交點易驗證點101隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率練習2002年考研數學一,3分解確定,1023.對數求導法作為隱函數求導法的一個簡單應用,介紹(1)許多因子相乘除、乘方、開方的函數.對數求導法,它可以利用對數性質使某些函數的求導變得更為簡單.隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率

適用于方法先在方程兩邊取對數,--------對數求導法

然后利用隱函數的求導法求出導數.103例解隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率等式兩邊取對數得

隱函數104兩邊對x求導得隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率等式兩邊取對數得105例解隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率等式兩邊取對數得106注復合函數改寫成如上例則只要將冪指函數也可以利用對數性質化為:再求導,隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率107例解隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率108有些顯函數用對數求導法很方便.例如,兩邊取對數兩邊對x求導隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率109練習解答隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率等式兩邊取對數110解答隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率111二、由參數方程所確定的函數的導數如?(parametricequation)參數方程隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率

稱此為由參數方程所確定的函數.

消參數困難或無法消參數如何求導.消去參數,間的函數關系與確定xy112所以,隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率單調連續的反函數由復合函數及反函數的求導法則得113例解隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率114

所求切線方程為隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率115例解隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率可由切線的斜率來反映.即116隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率117隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率118設由方程確定函數求方程組兩邊對t求導,得故隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率例解?íìtydd)1(2+t=tydd119若曲線由極坐標方程給出,利用可化為極角參數方程,因此曲線隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率切線的斜率為120例解將曲線的極坐標方程轉換成則曲線的切線斜率為所以法線斜率為又切點為隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率故法線方程為即參數方程

這種將極坐標方程化為參數方程,借助參數方程處理問題的方法,在高等數學中將多次遇到.121隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率122如:注求二階導數不必死套公式,只要理解其含義,這樣對求更高階的導數也容易處理.隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率123例解隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率124練習解得隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率1dd0-==tty=+-=-)1(ddteexytyttey+--1125為兩可導函數之間有聯系之間也有聯系稱為相關變化率解法三步驟找出相關變量的關系式對t求導相關變化率求出未知的相關變化率隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率三、相關變化率相關變化率之間的關系式

代入指定時刻的變量值及已知變化率,(1)(2)(3)126例解(1)(2)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率仰角增加率(3),1tan,500==a時當haa22tan1sec+=500127當氣球升至500m時,有一觀測者以的速率向氣球出發點走來,當距離500m時,仰角的增加率是多少?提示對t求導求隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率思考128水面例解橋面20mxy(1)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率在此人的正下方有一條小船以的速度在與橋垂直的方向航行,求經5s后,人與小船相分離的速度.對t求導(2)(3),my船航行距離為.34dd=ty129練習設自開始充氣以來的時間t,解體積為在t時刻氣體的半徑為隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率130隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率四、小結隱函數求導法則工具:復合函數鏈導法則;對數求導法對方程兩邊取對數,按隱函數的求導法則求導.參數方程求導注意:變量y是x的函數.將方程兩邊對x求導.工具:復合函數鏈導法則、反函數的求導法則.相關變化率通過函數關系確定兩個變化率之間的解法:

三個步驟.關系,從其中一個變化率(已知)求出一個變化率;131思考題(是非題)隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率正確解答試問對嗎?非132作業習題2-4(110頁)

1.(3)2.3.(3)(4)4.(2)(4)5.(1)7.(2)8.(1)(4)9.(2)10.12.隱函數及由參數方程所確定的函數的導數相關變化率133微分的定義微分的幾何意義微分公式與運算法則小結思考題作業第五節函數的微分第二章導數與微分(differential)微分在近似計算中的應用134函數的微分導數微分導數與微分表示函數在一點處由自變量所引起的函數變化的快慢程度.是函數在一點處由于自變量微小變化所引起的改變量的近似值.有著密切的聯系.135正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.1.問題的引出函數的微分實例線性函數(linearfunction)一、微分的定義的線性(一次)函數,很小時可忽略.的高階無窮小,136再如,既容易計算又是較好的近似值函數的微分137?一定條件,線性函數,

對一般函數則無論在理論分析上還是在實際函數的微分則函數的增量可以表示為

如果存在這樣的近似公式,應用中都是十分重要的.138定義2.微分的定義如果則稱函數可微(differentiable),A為微分系數函數的微分記作微分(differential),并稱為函數)(xoxAD+D×139定理證(1)必要性3.可微的充分必要條件即有函數的微分

滿足什么條件的函數是可微的呢？

微分的系數A如何確定呢?

微分與導數有何關系呢?下面的定理回答了這些問題.140(2)充分性

求導法又叫微分法函數的微分從而其微分一定是定理即有)0,0(??Dax141注

微分的實質

第一章第七節定理1(58頁)函數的微分

線性函數,

線性主部.

主部,

所以在

條件下,

的條件下,

近似代替增量

其誤差為因此,有精確度較好的近似等式

結論在142導數稱為微商函數的微分

稱為函數的微分,記作稱為自變量的微分,記作注,)()2(的微分在任意點函數xxfy=143例解函數的微分144幾何意義(如圖)二、微分的幾何意義函數的微分對應的增量,增量時;是曲線的縱坐標就是切線縱坐標145求法1.基本微分公式三、微分公式與運算法則函數的微分計算函數的導數,乘以自變量的微分.1462.運算法則函數的微分147例解例解函數的微分148結論微分形式的不變性3.復合函數的微分法此結論用于求復合函數的導數,有時能簡化運算.函數的微分無論x是自變量還是中間變量,函數的微分形式總是149例解法一用復合函數求導公式法二

用微分形式不變性

在計算中也可以不寫中間變量,直接利用微分形式不變性.函數的微分150例例解函數的微分1