2021年內蒙古呼和浩特市高三年級第一次質量普查調研考試

文科數學

參考答案及評分標準

【選擇題&填空題答案速查】

題號12345678910111213141516

173萬4

答案BADCCDDDADBA見解析

T5

選擇題選項分布3個A2個B2個C5個D

a

15.sin2(a-60°)+sin2a+sin2(a+60°)=—.(；i：其他寫法，只要規律正確即可得分)

2

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.已知集合A={1,2,3,4},B=(x|l<x<3},則4口8=()

A.0B.{2}C.{1,2}D.{1,2,3)

【解析】?.?集合A={1,2,3,4},B=(x|l<x<3),=.故選：B.

【點評】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力等基礎知識，

是基礎題.

2.設復數z=a,則其共軌復數為()

A.1-zB.-1-iC.-1+zD.1+Z

『初/s』2i2/(1-i)2i+2_.

【解析】z=---=----------=-----=l+i,/.z=1t—z.故選：A.

1+z(1+0(1-/)2

【點評】本題考查復數代數形式的乘除運算，是基礎的計算題.

23

3.已知。￡(0,乃)，若sin(7——r+?)=—,則sin2a=()

25

［解析】因為a￡(0,乃),若sin(—+a)=-cosa=-,可得cosa=-。,sina=y/\-cos2a=—,

2555

4324

所以sin2a=2sinacosa=2x—x(—二)=---.故選：D.

5525

【點評】本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦公式在三角函

數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.

4.向量寸=(1,2),6=(—2,k),若a上則|3"+5|=()

A.V5B.2A/5C.5>/2D.5

【解析】?.?向量M=(l,2),5=(—2,A),a±b9a-b=-2+2k=0,:.k=\,^=(-2,1),

則13商+51=y］（3a+b）2=y/9a2+6a-b+b2=79x5+0+5=50,故選：C.

【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質，求向量的模的方法，屬于基礎題.

5.如果執行如圖的程序框圖，輸入〃=6,機=3,那么輸出的0等于（）

A.360B.240C.120D.60

【解析】第一次循環，k=1,w=6,m=3,p=4;

第二次循環，k=1,〃=6,m=3,p=20;

第三次循環，k=3,n=6,m=3,/?=120;結束循環.

輸出的p等于120.故選：C.

【點評】本題考查解決程序框圖中的循環結構的輸出結果問題時，常采用寫出幾次的結果找

規律，屬于基礎題.

6.2020年全球經濟都受到了新冠疫情影響，但我國在中國共產黨的正確領導下防控及時，

措施得當，很多企業的生產所受影響甚微.我國某電子公司于2020年6月底推出了一款領

先于世界的5G電子產品.現調查得到該5G產品上市時間x和市場占有率y（單位：％）的

幾組相關對應數據.如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2020年8月.2代表2020年9月……,

5代表2020年12月.根據數據得出y關于x的線性回歸方程為S=0.（M2x+G.若用此方程

分析并預測該產品市場占有率的變化趨勢，則該產品市場占有率最早何時能超過0.5%（精

確到月）（）

A.2021年5月B.2021年6月C.2021年7月D.2021年8月

【解析】根據表中數據，計算了=1x(l+2+3+4+5)=3,

y=-x(0.02+0.05+0.1+0.15+0.18)=0.1,代入回歸方程得0.1=0.042x3+6,解得

a=-0.026,所以線性回歸方程為？=0.042x-0.026,由0.042%一0.026>0.5,解得X..13,

預計上市13個月時，即最早在2021年8月，市場占有率能超過0.5%.故選：D.

【點評】本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，是基礎題.

7.函數/。)=/〃(3/-6》-24)的單調遞增區間為()

A.(―l,+oo)B.(1,-H3o)C.(2,+oo)D.(4,+oo)

[解析】函數/(x)=ln(3x2-61一24)的單調遞增區間，

即函數f=3x2-6x-24=3(x-4)(x+2)在滿足空0的條件下，/的增區間.

利用二次函數的性質可得在滿足f>0的條件下，/的增區間為(4,+8),故選：D.

【點評】本題主要考查復合函數的單調性，對數函數、二次函數的性質，屬于中檔題.

8.設“，。是兩條不同的直線，a,/?是兩個不同的平面，則a//月的一個充分條件是(

)

A.存在一條直線a,alia,al/0

B.存在一條直線a,aua，a11/3

C.存在兩條平行直線a、h,aua,bu。，a///3,blla

D.存在兩條異面直線a、b,aua,bu(3,a//〃，blla

【解析】對于A,一條直線與兩個平面都平行，兩個平面不一定平行.故A不對；

對于8,一個平面中的一條直線平行于另一個平面，兩個平面不一定平行，故3不對；

對于C,兩個平面中的兩條直線平行，不能保證兩個平面平行，故C不對；

對于。，兩個平面中的兩條互相異面的直線分別平行于另一個平面，可以保證兩個平面平

行，故。正確.故選：D.

【點評】考查面面平行的判定定理，依據條件由定理直接判斷，屬于中檔題.

9.已知邊長為a的等邊三角形的一個頂點位于拋物線丁=2*(夕>0)的焦點，另外兩個頂

點在拋物線上，若a>2p,則該拋物線的準線方程為()

.2-V32-上「、叢.73

A.x=-------aBR.x--------aC.x=-l----aDn.x=-l+——a

4222

【解析】由拋物線的性質可得到焦點的距離等于到準線的距離，因為三閑形是等邊三角形,

所以另兩個頂點關于X軸對稱，因為a>2p,所以可得拋物線上的點的坐標曲+且a」〃)，

222

將點的坐標代入拋物線的方程可得：(Jap=2p(^+母a),整理可得：4/r+4x/3?p-a2=0,

八p—4\/3a+148。2+]6a"2—>/32必>>、?—

/?>0,解付p=-------------------=------a,所以拋物線的準線方程為：

82

%=—―a,故選：A.

24

【點評】本題考查拋物線的對稱性及等邊三角形的對稱性，屬于中檔題.

10.已知定義域為/?的連續函數f(x)的導函數為r(x),且滿足廣⑺<0,當機<0時，，

zn(x-3)

下列關系中一定成立的是()

A.,/(1)+/(3)=2/(2)B./(0)-/(3)=0

C./(4)+/(3)<2/(2)D./⑵+/(4)>2〃3)

【解析】0,.?."z(x-3)f'(x)<0,當機<0時，(x-3)/'(x)>0,

m(x-3)

故XG(YO,3)時，fr(x)<0,XG(3,+8)時，f\x)>0,故/(x)在(-co,3)遞減，在(3,+co)遞

增，.?./(2)>/(3),/(4)>/(3),/(2)+/(4)>2/(3),故選：D.

【點評】本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，是中檔題.

11.在棱長為2的正方體ABC。-ABgR中，E為BC的中點，則過3、D、E三點的平

面截正方體ABCO-ABCIR所得的截面面積為()

A.B.-C.3x/2D.25/10

22

【解析】由題意，作出圖形如圖所示，取QG的中點F,連結EF,DF,則平面DBEF即

為過B、D、E三點的截面，因為E,F分別為qG，AG的中點，故EF//BQ//B。,

因為正方形的棱長為2,所以。8=2&,8后=石，。尸=石,￡尸=夜，所以四邊形Z)跳戶是

等腰梯形，過點尸作旗的平行線交08于點M,作DB的垂線燹DB于點、N,

由勾股定理可得

形DBEF的面積為

B.

【點評】本題考查了幾何體截面面積的求解，解題的關鍵是確定截面是什么形狀，考查了空

間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

12.已知函數/(x)的周期為4%且/(夕)=1,若f(a)x-(p)-2sin(2x+—)，3＞0,0＜夕＜乃)，

6

則關于函數/(幻，下面判斷正確的是()

A.函數/(x)是偶函數B.x=q是函數/(x)的一條對稱軸

C.函數/(x)是奇函數D.(-2,0)是函數f(x)的一個對稱中心

【解析】由題意，^cox-(p=t,可得X=t2,則/⑺=2sin(2土竺+2),可得f(x)的解

CD(O6

析式為f(x)=2sin(止且+生)，?.?函數/(X)的周期為4萬，.[0=4,又/(夕)=1,可得

co6

g=sin"+令,「.。=半，則/(x)=2sin(；x+(+《)=cosgx,

對于A:可知/(x)=cosgx是偶函數；那么A正確，

對于B:x=^-不是函數/(%)的一條對稱軸，則3錯誤；

對于C：函數/(%)不是奇函數；則C錯誤；

對于。：當工=一段時，即f(_^|)=cos盤工0,所以(一★，0)不是函數/(x)的一個對稱

中心.故選：A.

【點評】本題主要考查了正弦函數的有關性質，由=可得x=則

69

f(f)=2sin(竺心+馬換元法求解出解析式解題的關鍵，屬于中檔題.

CD6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

x+2y?1

13.若x,y滿足約束條件?2x-y...-l,則2=刀+丫的最小值為_.

5-L

卜…-5

【解析】由約束條件作出可行域如圖，

v=——75

聯立V，2，解得A(——,——)，由z=x+y,得y=—x+z,由圖可知，當直線y=—x+z

2x-y=-l42

過A時，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為=故答案為：

【點評】本題考查簡單的線性規劃，考查數形結合思想，是中檔題.

2122

14.已知AABC中，內角A、B、。的對邊分別為a、b、c,且巴士——--cs\nB=a,

2a

q萬

則3=—(或135。).

-4-------

【解析】AABC中，由巴型—c--csinB=a,由余弦定理得bcosC-csin3=a,

2a

由正弦定理得sin3cosc-sinCsin3=sinA,

即sin8cosc-sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以一sinCsin3=cosAsinC;

又。￡(0,乃)，所以sinCwO,所以一sinb=8s3,所以tanB=—1;又3￡(0,萬)，

所以8=紅(或135。).故答案為：—(或135。).

44

【點評】本題考查了解三角形的應用問題，也考查了三角函數求值問題，是基礎題.

15.sin230°+sin290°+sin2150°=-；sin28°+sin268°+sin2128°=一通過觀察上述兩等式的

22

共同規律，請你寫出一般性的命題_sin2(a-60°)+sin2a+sin2(a+60°)=

33

【解析】由已知中sin230°+sin290°+sin2150°=-,sin28°+sin268°+sin2128°=-.

22

3

歸納推理的一般性的命題為：sin2(a-60°)+sin2a+sin2(a+60°)=—.

證明如下：

左邊_1_8s(2a-120°)+1-cos2a+1一cos(2a+120°)

―22~

313

=---[cos(2a-120°)+cos2a+cos(2a+120°)]=萬=右邊.二.結論正確.

3

故答案為：sin2(a-60°)+sin2a+sin2(a+60°)=.

(注：其他寫法，只要規律正確即可得分)

【點評】歸納推理的一般步驟是：(1)通過觀察個別情況發現某些相同性質；(2)從已知的

相同性質中推出一個明確表達的一般性命題(猜想)，(3)論證.

16.古希臘的幾何學家用平面去截一個圓錐面，將所截得的不同的截線稱為圓錐曲線.某同

學用過母線心的中點且與底面圓的直徑垂直的平面截圓錐，得到了如圖所示的一支雙

曲線.已知圓錐的高PO=2,底面圓的半徑為4,則此雙曲線的兩條漸近線的夾角的正弦值

為-.

-5一

p

【解析】在與截面PAB的平面垂直且過點M的平面內建立直角坐標系xO'y,

1軸與底面交于點石，雙曲線與底面交于點C,D,

v-~y21

不妨設雙曲線的方程為—-4=1,PO_L底面AO8,所以ME//PO,\ME\=-\PO\=1,

a2b22

所以|O'M|=1,則M(l,0),即a=l,E點、為OB的中點、,所以|OE|=」|O8|=Lx4=2,

22

又|0￡)|=4,所以|EC|=|ED\=JoDf=>/42-22=26,所以EQ,0),C(2,2石)，

0(2,-26)，代入雙曲線的方程，得馬一處里=1,解得6=2,所以雙曲線漸近線為)，=±2x

1b~

7x74

設雙曲線的兩漸近線的夾角為26，tan，=2,所以tan2〃=/；=-?

1-223

所以,in29T黑會44

4=-.故答案為：-

(3+155

3

【點評】本題考查雙曲線的方程，漸近線，三角函數，解題中需要理清思路，屬于中檔題.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，

每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)如圖，四邊形為正方形，P￡)_L平面PD=&D,A￡_LPC于

點E,EF//CD,交PD于點F.

(1)證明：PC_L平面4)E；

(2)已知45=1,求四面體Z)—A￡P的體積.

K

濡沁>c

AB

【解答】（1）證明：因為P￡>_L平面ABCD,ADu平面ABCD,所以尸￡>_1.4）,???（1分）

又因為四邊形458是正方體，所以AQ_LC。，又80也>=。，CD,PDu平面PCD,

所以仞1.平面PDC,....................................................................................................（3分）

又PCu平面PDC，所以49_LPC,又AEJ.PC,且AEnAD=A，AE,ADu平面ADE,

所以PC_L平面ADE:....................................................................................................（6分）

（2）解：由題意可知，AB=AD=\,PD=y/3,PC=2,由（1）可知，PC_L,且NDCE=60°,

所以8C=1，且E為線段PC靠近C的四等分點，............................（8分）

2

所以DF=更,EF=h,................................................................................................（9分）

44

故%A杼=匕陋.=-S&ADl..-EF=-x-x^-xlx^=—.........................................（12分）

LJ~~r\hrc.~AlJr3QJxlJr32432

【點評】本題考查了線面垂直的判定以及棱錐體積的求解，涉及了等體積法的應用差，其中

等體積法是求解三棱錐體積的一種常用方法，考查了邏輯推理能力與空間想象能力.

18.（12分）從條件①S“+%=8,②數列伍“｝為等比數列，的=1，%+2%=&%中任選一

個，補充在下面的問題中：

已知｛《,｝為正項數列，S”為｛4｝的前〃項和，.

（1）求數列｛可｝的通項公式；

（2）設〃=%,，記T"為｛4｝的前〃項和，證明：7；,<|.

【解析】（1）選①S"+4=8:

當〃=1時，4+S[=24=8,解得4=4,

當兒.2時，Su—,又S“+a〃=8,

兩式相減可得4,1，即2=',..........................................................................（3分）

2??-12

可得｛4｝是首項為4,公比為g的等比數列，則%=4?（g）"?=23-"（〃..2）,當〃=1時，％=4,

滿足上式，故=23-"（"CND;..........................................................................................（6分）

選②數列｛〃〃｝為等比數列，生=1,。4+2々5=846：

設等比數列｛（｝的公比為q,q>0,

則q+2q?=8",解得q=；或（q=一:舍去），................................（3分）

又名=1,所以4=4,所以4=4?（；）"T=23-”;.............................................................（6分）

（2）證明：由（I）可得"=%,,=23口，g“｝是首項為2,公比為,的等比數列，（8分）

4

2（1---）R1

所以<=-=...............................................（1。分）

1----

4

T=----^-2n<-,.............................................................（12分）

‘333

【點評】本題考查數列的遞推式，以及等比數列的定義和通項公式、求和公式的運用，考查

方程思想和轉化思想、運算能力，屬于中檔題.

19.（12分）根據國家深化醫藥衛生體制改革的總體部署和要求，某地區自2015年起，開

始逐步推行“基層首診，逐級轉診”的醫療制度，從而全面推行家庭醫生簽約服務.已知該

地區居民約為2000萬，從1歲到101歲的居民年齡結構的頻率分布直方圖如圖1所示.

（1）已知該地區91?101高齡段的男女比例為2:3,在該地區1000名居民組成的樣本中，

從91?101高齡段隨機抽取2人，求抽到的兩人恰好都是女性的概率：

（2）為了解各年齡段居民簽約家庭醫生的情況，現調查了1000名年滿18周歲的居民，各

年齡段被訪者簽約率如圖2所示，根據圖I和圖2的信息，估計該地區簽約率超過35%低

于60%的人群的總人數.

【解析】（1）由題意可得，91?101歲居民的人數為0.0005xl0xl（XX）=5人，.....（1分）

又該地區91?101高齡段的男女比例為2:3,.?.這5人中有男性2人，女性3人，…(3分)

記兩名男性為a,b,三名女性為A,B,C,

現從5人中隨機抽取2人，可能的結果有：aA,aB,aC,bB,bC,ab,AB,AC,BC

共10種可能，..................................................................(6分)

其中滿足2人恰好都有女性的有AB,AC,BC共3種可能，=........(7分)

10

(2)由圖2可知，

年齡段31?40,41~50,簽約率37.1%,年齡段51?60,簽約率55.7%,...............(8分)

由圖1可知,所求頻率尸=(0.021+0.016+0.015)x10=0.52,...................................(10分)

.?.估計該地區簽約率超過35%低于60%的人群的總人數大約為0.52x2000=1040萬.(12分)

【點評】本題主要考查了頻率分布直方圖的應用，考查了古典概型的概率公式，是基礎題.

20.(12分)已知三次函數，*)=加+6/+cx(a,b,ce/?),

(1)若函數f(x)過點(2,2)且在點(1,/(1))處的切線方程是丫+2=0,求函數/(x)的解析式;

(2)在(1)的條件下，若對于區間［-2,3］上任意兩個自變量的值％,x2,都有

|/(x,)-/(x2)|?m,求出實數m的取值范圍.

【解析】(1)因為函數f(x)=公？+笈2+ex,所以/'(x)=Bar。+2fec+c,...............(1分)

/(2)=8a+4b+2c=2a-1

由題意得-/<l)=3a+2b+c=0,解得"=0,...........................................................(4分)

/(I)=a+b+c=-2c=-3

所以/(x)=/-3x...............................................................................................................(5分)

(2)由(1)知r(x)=3W-3=3(x+l)(x-l),令尸(x)=0,得》=±1,

當X€(-OO,-l)U(l,+°°)時，,f'M>0,f(x)在(-00,-1)和(l,+x>)上分別單調遞增，

當xe(-1,1)時,f'(x)<0,/(尤)在上單調遞減,...........................(7分)

因為/(-2)=-2,/(-1)=2,/⑴=一2,〃3)=18,

所以在區間［-2,3］上，/(%)??,=-2,/(x),u=18,.......................................................(9分)

對于區間［-2,3］上任意兩個自變量的值為，叫，都有

1/(%.)-/U,)I,，/⑶皿-/????=18-(-2)=20)...........................................................(11分)

所以也.20,故實數，”的取值范圍為［20,+oo)................................................................(12分)

【點評】本題考查了用導數求過曲線上某點切線方程問題，考查了用導數求函數最值問題,

屬于中檔題.

22

21.(12分)已知橢圓C：A+[=l(“>0>0)的一個焦點為(-6,0),且過點(1,

crb-

（1）求橢圓。的方程;

（2）設例是橢圓C上一點，且不與頂點重合，A與4分別是橢圓C的左、右頂點，點3為

上頂點.若直線48與直線交于點P，直線與直線交于點Q.求證：ABPQ

是等腰三角形.

e=￡=G

a

【解析】（1）由題意得：,......................................（2分）

13

滔+正句

解得a2=4,b1=1,...................................................................................................................（3分）

所以橢圓的方程為工+V=i...............................................................................................（4分）

4

（2）證明：法一：由已知得A（一2,0），4（2,0）,8（0,1）,設例（九九），則加2+4"=4,

又直線4M的直線方程為y=--—（x—2）,直線A3的方程為y=L九+1,

771-22

2m+4〃一4

y=-^-(x-2)x=

tn-2解得，2n-m+2

114〃

y=—x+ly=

22n-/714-2

所以點尸的坐標為(2'"+4”4,———),..................................(6分)

2n-m+22n—m+2

又直線的直線方程為y=—-—（X+2）,直線A28的方程為y=——x+1,

m+22

n/八、2m-4〃+4

y=—^(x+2)x=

〃〃

所以＜m+2解得，2+?+2

114〃

y=——x+ly=

22n+m+2

所以點P的坐標為(2???-4—4,———),..................................(8分)

2〃+帆+22〃+〃2+2

所以|8P|2=￡+(l_%)2=%'|52「=%+(1—%>=：6，

所以IBPI2-IBQI2—4a%+2〃-2)2(2〃+m+2>-4(2/-/%+2『(m-2〃+2『

(2n一m+2)2(2〃+機+2)2

=64'〃〃-4)=o,...........................................................................................(U分)

Qn-m+2)?(2〃+加+2>

所以所以|8尸|=|8。|,所以ABPQ為等腰三角形.................（12分）

（注：其他證明方法依據情況酌情給分，如理科參考答案（法二）中給出的方法）

法二：易知4(一2,0),4(2,0),8(0,1),

直線4B的方程為y=gx+l,.................................................................................................（5分）

直線的方程為y=-（x+l,..............................................................................................（6分）

設直線A^M的方程為y=%（%+2）（2/0且％±—）,

y=k(x+2)

聯立<得(4k2+1)爐+16儲x+16/—4=0,

——+y2=1

4-

所以x-2-_-——則x-~~*k+2v-必

加以%2-4&2+1，川%-4公+1'%"+1（7分）

4k

加4^+1

&A,A/—,所以直線的方程為y=---（x-2）,……（8分）

xM-2-8K+24k4k

----o--------乙

4k2+1

y=k(x+2)

短旗?2-4攵4k、

聯立＜1「解仔。(k~T，：^一；)，（9分）

y=——x+\2k+12攵+1

2

1/小

y=~~(x-2)

4k，解得/>(生生，二_),

聯立，（10分）

1?2A+12k+V

y=—x+1

2

于是4=%,所以尸Q_Lx軸，且PQ的中點為N（1上,1）,所以8V//X軸，所以BN為

2k+1

的AB尸Q中線且PQ_L3N,..................................................................................................（11分）

所以尸。為等腰三角形...........................（12分）

法三：設直線的方程為y=Mx—2）（A：wO且Zw±g）,

直線AB的方程為y=4x+l,聯立1，解得P(竺出.........(6分)

2y=—x+12k2k-I

I2

y=k(x-2)

聯立”=1得(1+&2)--16公》+16公-4=0,

16/-48廿-2-4k8公-2-4k

所以2X則X”,即例（)(8分)

M-4席+14/+1'>w~4k2+\4矛+1'4芥+1

-4k

所以以“=W，于是直線AM的方程為y=—￡*+2）,

4Ar2+l+2

直線的方程為y=-』x+l,聯立，4k,解得Q（竺士Z,±）,…（io分）

21{2k—12k1

y=——x+i

U2

4k-2