第一節數列的概念與簡單表示法第六章內容索引0102強基礎增分策略增素能精準突破課標解讀衍生考點核心素養1.了解數列的概念和表示方法(表格、圖象、通項公式、遞推公式).2.了解數列是一種特殊的函數.1.利用an與Sn的關系求通項公式2.利用遞推關系求通項公式3.數列的性質及其應用數學抽象數學運算邏輯推理強基礎增分策略知識梳理1.數列的有關概念

概念含義數列按照

排列的一列數

數列的項數列中的

數列的通項數列{an}的第n項an通項公式如果數列{an}的第n項an與序號n之間的關系能用一個式子來表示,這個式子叫做數列的通項公式前n項和數列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做數列的前n項和并非每一個數列都有通項公式,數列有通項公式時也不一定是唯一的

確定的順序

每一個數

2.數列的表示方法

列表法列表格表示n與an的對應關系圖象法把點(n,an)畫在平面直角坐標系中公式法通項公式把數列的通項用公式表示

遞推公式

使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示數列的方法給出了數列相鄰兩項或多項之間的關系

數列的圖象是坐標系中的一些孤立的點

微點撥數列的通項公式與遞推公式的異同點(1)數列的通項公式反映的是項與序號之間的關系,可根據某項的序號求出這一項;遞推公式反映的是項與項之間的關系,可根據第1項(或前幾項)通過迭代求出數列的項.(2)數列的通項公式與遞推公式都可以確定一個數列,都可以求出數列的任意一項.3.an與Sn的關系

S1Sn-Sn-1微點撥利用an與Sn的關系解題的注意事項(1)切記an=Sn-Sn-1的成立條件是n≥2,當n=1時,只能用a1=S1求解,在解題過程中要始終注意這一條件.(2)在已知an與Sn的關系式解決有關問題時,注意兩種策略:一是再寫一個式子與已知式子相減消去Sn,得到an與an-1的關系進行求解;二是將an用Sn-Sn-1代替,從而消去an得到Sn與Sn-1的關系進行求解.(3)類比an與Sn的關系,若設數列{an}前n項的積為Tn(Tn≠0),則有4.數列的分類

分類標準類型滿足條件項數有窮數列項數有限無窮數列項數無限項與項間的大小關系遞增數列an+1>ann∈N*遞減數列an+1<an常數列an+1=an擺動數列從第二項起,有些項大于它前一項,有些項小于它前一項微思考數列的單調性與對應函數的單調性相同嗎?提示

不同.數列作為特殊的函數,也具有單調性,但其單調性與對應函數的單調性又有所不同,由于數列中項數n只能取正整數,所以當函數f(x)在區間[1,+∞)內單調時,數列{f(n)}也是單調數列,但當數列{f(n)}是單調數列時,函數f(x)不一定是單調函數,例如函數f(x)=

2在區間[1,+∞)內不單調,但數列{an}(an=f(n))是遞增數列.常用結論1.注意區分數列的項與項數,數列的項是指數列中某一確定的數,而項數則是指該項對應的位置序號.2.若數列{an}是遞增(遞減)數列,則an+1>an(an+1<an)對n∈N*恒成立.3.遞推關系式滿足an+1-an=f(n)的數列{an},可用累加法求數列的通項公式;對點演練1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)數列的通項公式是唯一的.(

)(2)若數列{an}(an=f(n))是遞減數列,則函數y=f(x)必為減函數.(

)(3)若數列{an}滿足an+1=an(n∈N*),則該數列是常數列.(

)(4)數列可以看作是定義域為正整數集的函數的函數值.(

)××√×2.已知數列{an}的通項公式是an=n2+kn,若對于n∈N*,都有an+1>an成立,則實數k的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(-1,+∞) C.(-2,+∞) D.(-3,+∞)答案

D

解析

由an+1>an知該數列是遞增數列,又因為通項公式an=n2+kn可以看作是關于n的二次函數,考慮到n∈N*,所以-,即得k>-3.故選D.3.已知數列{an+2n}的前n項和Sn=n2+1,則數列{an}的通項公式為

.

解析

當n=1時,有a1+2=12+1=2,所以a1=0;當n≥2時,an+2n=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1,所以an=2n-1-2n,又a1=0不適合上式,故數列{an}的通項公式為增素能精準突破考點一利用an與Sn的關系求通項公式(多考向探究)考向1.已知Sn求an典例突破例1.(1)已知數列{an}的前n項和為Sn,且Sn=2n2-n-1,則a4的值為(

)A.7 B.13 C.28 D.36(2)若數列{an}對任意n∈N*滿足a1+2a2+3a3+…+nan=n,則數列{}的前n項和為

.

解析

(1)(方法1)由于Sn=2n2-n-1,則a4=S4-S3=(2×42-4-1)-(2×32-3-1)=13.故選B.(方法2)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n2-n-1)-[2(n-1)2-(n-1)-1]=4n-3,當方法總結已知Sn求an的流程(1)先利用a1=S1求出a1.(2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關系式,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式.(3)注意檢驗n=1時的表達式是否可以與n≥2時的表達式合并.對點訓練1(2022福建長樂模擬)已知數列{an}的前n項和Sn=2n-1,若bn=log2an+1(n∈N*),則數列{bn}的前n項和是(

)A.2n+1-1 B.2n-1答案C

解析當n=1時,a1=S1=21-1=1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,a1=1滿足上式,所以an=2n-1.所以bn=log2an+1=log22n=n,考向2.已知an與Sn的關系式求an典例突破答案

(1)A

(2)11

方法總結利用an與Sn的關系式求通項公式已知an與Sn的關系式求an時,一般有兩種基本思路:(1)消去Sn,根據已給出的關系式,令n=n+1(n∈N*)或n=n-1(n≥2),再寫出一個式子,然后將兩式相減,消去Sn,得到an與an+1或an與an-1的關系,從而確定數列{an}是等差數列或等比數列,然后求出其通項公式;(2)消去an,在an與Sn的關系式中,令an=Sn-Sn-1(n≥2)代入,消去an,得到Sn與Sn-1的關系,從而確定數列{Sn}是等差數列或等比數列,求出Sn后再求得an.對點訓練2(2022福建廈門一中高三檢測)已知數列{an}的前n項和為Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則S4等于(

)A.85 B.255 C.64

D.256答案C

解析由an+1=3Sn(n≥1)①得,an=3Sn-1(n≥2)②,①-②得an+1-an=3an,即an+1=4an,n≥2.又a1=1,令n=1,得a2=3S1=3.所以當n≥2時,數列{an}是以a2=3為首項,公比為4的等比數列,所以an=3×4n-2,n≥2.則a2=3,a3=12,a4=48,故S4=a1+a2+a3+a4=1+3+12+48=64.考點二利用遞推關系求通項公式(多考向探究)考向1.累加法典例突破例3.在數列{an}中,an+1=an+ln,且a1=1,則數列{an}的通項公式為

.

答案

an=1-lnn解析

因為an+1=an+ln=an+ln

n-ln(n+1),所以an+1-an=ln

n-ln(n+1),于是an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+(0-ln

2)+(ln

2-ln

3)+…+[ln(n-1)-ln

n]=1-ln

n,故通項公式為an=1-ln

n.方法總結累加法求通項公式如果數列{an}的遞推公式滿足an+1-an=f(n)的形式,且f(n)可求和,那么就可以運用累加法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,求出數列{an}的通項公式.答案

100考向2.累乘法典例突破答案

A

方法總結累乘法求通項公式

對點訓練4在數列{an}中,a1=2,(n≥2,n∈N*),則a9=

.

答案

18

考向3.構造法典例突破(2)已知數列{an}的前n項和為Sn,且Sn+2an=n,則an=

.

方法總結構造法求數列通項公式

答案

A

所以(an+1-an-1)(an+1+an)=0,所以an+1-an=1或an+1+an=0.又an>0,故an+1-an=1,所以數列{an}是以1為首項,1為公差的等差數列,考點三數列的性質及其應用(多考向探究)考向1.數列的周期性典例突破例6.在數列{an}中,a1=3,an=1-

(n≥2),則a2022=

.

方法總結利用數列周期性解題的方法先利用所給數列的遞推公式,結合數列的首項,求出數列的前幾項,通過前幾項觀察發現數列的周期性,并確定數列的周期,然后再解決相關的問題.考向2.數列的單調性典例突破答案

D

解析

若{an}是遞增數列,則有

解得2<a<3,即實數a的取值范圍是(2,3).故選D.方