第一章1.2.5空間中的距離A級必備知識基礎練1.[探究點一]如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=2,E,F分別是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心,則E,F兩點間的距離為()A.1 B.52 C.62 D2.[探究點三]已知平面α的一個法向量n=(-2,-2,1),點A(-1,3,0)在平面α內,則點P(-2,1,4)到α的距離為()A.10 B.3 C.83 D.3.[探究點二·2023華中師范大學附屬中學高二階段練習]Rt△ABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC⊥平面ABC,PC=95,則點P到斜邊AB的距離是.4.[探究點三]如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1,A1A=5,AB=12,則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是()A.5 B.8 C.6013 D.5.[探究點三](多選題)已知AB=(0,1,1),BE=(2,-1,2),BE⊥平面BCD,則()A.點A到平面BCD的距離為2B.AB與平面BCD所成角的正弦值為2C.點A到平面BCD的距離為1D.AB與平面BCD所成角的正弦值為36.[探究點三]在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,CD的中點,則BD到平面EFD1B1的距離為.

7.[探究點三·2023浙江杭州高二期末]若兩平行平面α,β分別經過坐標原點O和點A(2,1,1),且兩平面的一個法向量為n=(-1,0,1),則兩平面間的距離是.

8.[探究點三]在長方體A1B1C1D1-ABCD中,AA1=1,AD=DC=3,Q是線段A1C1上一點,且C1Q=13C1A1,則點Q到平面A1DC的距離為.9.[探究點二、三]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,M為BB1的中點,N為BC的中點.(1)求點M到直線AC1的距離;(2)求點N到平面MA1C1的距離.B級關鍵能力提升練10.已知直線l過定點A(2,3,1),且方向向量為s=(0,1,1),則點P(4,3,2)到直線l的距離為()A.322 B.22 C.1011.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面邊長為2,側棱長為4,則點B1到平面AD1C的距離為()A.83 B.223 C.412.[2023安徽太和高二階段練習]已知點M(-1,2,0),平面α過A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1)三點,則點M到平面α的距離為.

13.已知在邊長為4的正三角形ABC中,E,F分別為BC和AC的中點.PA=2,且PA⊥平面ABC,設Q是CE的中點.(1)求證:AE∥平面PFQ;(2)求AE與平面PFQ間的距離.14.[2023黑龍江哈爾濱高二階段練習]在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段A1B1的中點,F為線段AB的中點.(1)求點B到直線AC1的距離;(2)求直線FC到平面AEC1的距離.C級學科素養創新練15.已知二面角α-l-β為60°,動點P,Q分別在平面α,β內,點P到β的距離為3,點Q到α的距離為23,則P,Q兩點之間距離的最小值為()A.2 B.2 C.23 D.4

1.2.5空間中的距離1.C以點A為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則點E(1,1,2),F(2,1,22所以|EF|=(1-2)2.D由已知得PA=(1,2,-4),故點P到平面α的距離d=|PA3.3以點C為坐標原點,CA,CB,CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(4,0,0),B(0,3,0),P(0,0,95),所以AB=(-4,3,0),AP=(-4,0,9所以點P到AB的距離d=|AP|24.C(方法一)以D為坐標原點,DA,DC,DD1的方向分別為x則C(0,12,0),D1(0,0,5).設B(x,12,0),B1(x,12,5)(x>0),BC=(-x,0,0),CD1=(0,-12,5),B1B=設平面A1BCD1的法向量為n=(a,b,c),由n⊥BC,n⊥CD1,得n·BC=(a,b,c)·(-x,0,0)=-ax=0,n·CD1=(a,b,c)·(0,-12,5)=-12所以a=0,b=512c,所以可取n=(0,5,12)又B1B=(0,0,-5),所以點B1到平面A1BCD1的距離為|B1B·n||n|=60所以B1C1到平面A1BCD1的距離為6013(方法二)因為B1C1∥BC,所以B1C1∥平面A1BCD1,從而點B1到平面A1BCD1的距離即為所求.如圖,過點B1作B1E⊥A1B于點E.因為BC⊥平面A1ABB1,且B1E?平面A1ABB1,所以BC⊥B1E.又BC∩A1B=B,所以B1E⊥平面A1BCD1,B1E的長即為點B1到平面A1BCD1的距離.在Rt△A1B1B中,B1E=A1所以直線B1C1到平面A1BCD1的距離為60135.BC因為BE⊥平面BCD,所以BE是平面BCD的一個法向量,所以點A到平面BCD的距離為|AB·BE||BE|AB與平面BCD所成角的正弦值為|AB·BE||AB||故選BC.6.13以D為原點,直線DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖空間直角坐標系,則E12,1,0,F0所以EF=(-12,-12,0),FD1=(0,設平面EFD1B1的一個法向量為n=(x,y,z),所以n令x=-1,則y=1,z=12,所以n=(-1,1,12又DF=0,17.22依題意,平行平面α,β間的距離即為點O到平面β的距離,而OA=(2,1,1),所以平行平面α,β間的距離d=|8.33如圖,以D1A1,D1C1,D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系則D(0,0,1),C(0,3,1),A1(3,0,0),C1(0,3,0),∴DC=(0,3,0),DA1=(3,0,-1),C1A1=(3由題可知C1Q=13C∴DQ=(33,23設平面A1DC的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,則z=3,y=0,∴n=(1,0,3),∴點Q到平面A1DC的距離d=|DQ9.解(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),A1(0,0,2),M(2,0,1),C1(0,2,2),直線AC1的一個單位方向向量為s0=(0,22,22故點M到直線AC1的距離d=|AM(2)設平面MA1C1的法向量為n=(x,y,z),A1C1=(0,2,0),A1M=(2,0,-1),則n·A1C1=0,且n·A1M=0,即(x,y,z)·(0,2,0)=0,且(x,y,z)·(2,0,-1)=0,即y=0,且2x-z=0,取x=1,得z=2,故n=(1,0,2)為平面MA1C1的一個法向量,因為N(1,1,0),所以MN=(-1,1,-1),故點10.A因為A(2,3,1),P(4,3,2),所以AP=(2,0,1),則|AP|=5,AP·s|故選A.11.A如圖,以D為原點,DA,DC,DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4),∴AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,4),B1D1=(-2,-2,0).設平面AD1C的法向量為n=(x,y,z),則n·AC=0,n·AD1=0,即-2x+2y=012.33因為M(-1,2,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),所以AM=(-2,2,-1),AB=(0,1,-1),AC=(-1,1,0)設平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z),則AB令x=1,則n=(1,1,1),所以點M到平面α的距離為d=|AM13.(1)證明如圖所示,以A為坐標原點,平面ABC內垂直于AC邊的直線為x軸,AC所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標系.∵AP=2,AB=BC=AC=4,E,F分別是BC,AC的中點,∴A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,0),F(0,2,0),E(3,3,0),Q(32,72,0),P(0,0,2),∴FQ=(32,32,0),AE=(∵AE與FQ無交點,∴AE∥又FQ?平面PFQ,AE?平面PFQ,∴AE∥平面PFQ.(2)解由(1)知,AE∥平面PFQ,∴點A到平面PFQ的距離就是AE與平面PFQ間的距離.設平面PFQ的法向量為n=(x,y,z),則n⊥PF,n⊥FQ,即n·PF=0,n·FQ=0.又PF=(0,2,-2),∴n·PF=2y-2z=0,即y=z.又FQ=(32,32,0),∴n·FQ=32x+32y=0,即x=-3y.令y=1,則x=-3,z=1,又QA=(-32,-72,0),所求距離d=14.解(1)以D1為原點,D1A1,D1C1,D1D所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(1,0,1),B(1,1,1),C(0,1,1),C1(0,1,0),E(1,12,0),F(1,1∴AB=(0,1,0),AC1=(-1,1,-1),AE=(0,12,-1),EC1=(-1,12,0),FC=(-1,12取a=AB=(0,1,0),u=AC1|AC1|=33(-1,1,-1),a2=1,a·u=(2)∵FC=EC1=(-1,12,0),∴FC∥EC1,而FC?平面AEC1,EC1?平面AEC1,∴FC∥平面AEC1,∴點F到平面AEC1的距離即為直線FC設平面AEC1的法向量為n=(x,y,z),則n∴12y-z=0,-x∴n=(1,2,1).又AF=(0,12,0),∴點F到平面AEC1的距離為|15.C作PM⊥β,Q