第四章4.3指數函數與對數函數的關系A級必備知識基礎練1.[探究點一]函數y=2x的反函數的圖象經過點()A.(1,3) B.(0,1) C.(3,1) D.(1,0)2.[探究點二]已知f(x)=x5-a且f(-1)=0,則f-1(1)的值是()A.0 B.1 C.-1 D.53.[探究點二]已知a>0且a≠1,f(x)=ax,g(x)=logax,若f(1)·g(2)<0,則f(x)與g(x)在同一平面直角坐標系內的圖象可能是()4.[探究點二]設a>0且a≠1,若函數y=ax的反函數的圖象過點(2,-1),則a=.

5.[探究點一]已知函數f(x)的圖象與函數g(x)=2x的圖象關于直線y=x對稱,則f(3)=.

6.[探究點二]函數y=f(x)與y=g(x)的圖象關于直線y=x對稱,f(x)=x2-2x+2(x≤0),則g(5)=.

B級關鍵能力提升練7.函數f(x)=log2(3x+1)的反函數的定義域為()A.(1,+∞) B.[0,+∞) C.(0,+∞) D.[1,+∞)8.(多選題)[2023遼寧遼陽高一]已知函數f(x)在其定義域內單調遞增,且f(1)=-1,若f(x)的反函數為g(x),則()A.g(-1)=1B.g(x)在定義域內單調遞增C.g(1)=1D.g(x)在定義域內單調遞減9.若函數y=f(x)與y=5x互為反函數,則y=f(x2-2x)的單調遞減區間是.

10.若函數f(x)=axx+1的圖象關于直線y=x對稱,則a的值是11.已知函數y=f(x)的反函數為y=f-1(x),且f(x)=2x.(1)若f-1(x)-f-1(1-x)=1,求實數x的值;(2)若關于x的方程f(x)+f(1-x)=m在區間[0,1]內有解,求實數m的取值范圍.C級學科素養創新練12.已知f(x)=a·2x-12x+1(a(1)求a的值,并判斷f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的反函數;(3)對任意的k∈(0,+∞),解不等式f-1(x)>log21+x

參考答案4.3指數函數與對數函數的關系1.D函數y=2x的反函數為y=log2x,經過點(1,0).故選D.2.A因為f(x)=x5-a,且f(-1)=0,所以-1-a=0,故a=-1,所以f(x)=x5+1.令x5+1=1,所以x=0,所以f-1(1)=0.3.C由f(1)·g(2)<0,f(1)=a1>0,得g(2)<0,即loga2<0,∴0<a<1.∴f(x)是減函數,且g(x)是減函數.故選C.4.12∵函數y=ax的反函數的圖象過點(2,-∴(-1,2)在函數y=ax的圖象上,∴2=a-1,即a=125.log23∵函數f(x)的圖象與函數g(x)=2x的圖象關于直線y=x對稱,∴函數f(x)與函數g(x)=2x互為反函數,∴f(x)=log2x,∴f(3)=log23.6.-1因為y=f(x)與y=g(x)的圖象關于直線y=x對稱,所以y=f(x)與y=g(x)互為反函數.令x2-2x+2=5(x≤0),解得x=-1或x=3(舍去),即g(5)=-1.7.C∵3x+1>1,∴log2(3x+1)>0,∴函數f(x)=log2(3x+1)的值域為(0,+∞),∴函數f(x)=log2(3x+1)的反函數的定義域為(0,+∞).故選C.8.AB由反函數的性質可知,g(-1)=1,且g(x)在定義域內單調遞增.故選AB.9.(-∞,0)因為y=f(x)與y=5x互為反函數,所以y=f(x)=log5x為增函數.又y=x2-2x=(x-1)2-1,在區間(-∞,1)上單調遞減,在區間(1,+∞)上單調遞增.又y=x2-2x>0,所以x∈(-∞,0)∪(2,+∞).綜上,y=f(x2-2x)的單調遞減區間為(-∞,0).10.-1∵函數f(x)=axx+1的圖象關于直線y=x∴1,a2與a2,1都在函數f(x)的圖象上.由a×a21+a2=1,若a=2,則f(x)=2xx+1,y=2xx+1的反函數為x=2yy+1,得y=x若a=-1,則f(x)=-xx+1,y=-xx+1的反函數為x=-yy+1,得y=-x綜上,a=-1.11.解(1)因為函數y=f(x)的反函數為y=f-1(x),且f(x)=2x,所以f-1(x)=log2x,所以f-1(x)-f-1(1-x)=log2x-log2(1-x)=log2x1-x=1,則x>(2)因為關于x的方程f(x)+f(1-x)=m在區間[0,1]內有解,所以2x+21-x=m在區間[0,1]內有解,令g(x)=2x+21-x=2x+22令t=2x∈[1,2],且t=2x是單調遞增的,又y=t+2t在區間[1,2]上單調遞減,在區間[2,2]上單調遞增,所以g(x)在區間0,12上單調遞減,在區間12,1上單調遞增,所以當x=12時,g(x)min=22,當x=1或0時,g(x)max=12.解(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=2x因為f(x)+f(-x)=2x-12x+1+2-x-12-x+1=2(2)令y=2x-12x+1,對調x,所以2y=1+x1-x(