第二章2.3.3直線與圓的位置關系課程標準1.理解直線與圓位置關系的三種表達形式;2.能根據給定的直線的方程、圓的方程用代數法和幾何法兩種方法來判斷直線與圓的位置關系;3.掌握求圓的切線方程的方法,并能求與圓有關的最值問題.基礎落實·必備知識全過關重難探究·能力素養全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標檢測基礎落實·必備知識全過關知識點直線與圓的位置關系直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),設圓心(a,b)到直位置關系幾何特征代數特征(方程聯立)

公共點個數相離d>r無實數解(Δ<0)0相切d=r一組實數解(Δ=0)1相交d<r兩組實數解(Δ>0)2名師點睛如圖,直線l與圓C相交于A,B,半徑為r,弦AB中點為D,則①點C到直線l的距離d=|CD|,稱為弦心距;②CD⊥l;③過圓內一點的直線與圓相交,最長弦長是直徑,最短弦與最長弦所在的直線垂直.過關自診1.直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關系是(

)A.相切B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心D.相離B∴直線與圓x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,∴直線不過圓心.2.過圓上一點有幾條切線?過圓外一點有幾條切線?若點(x0,y0)是圓x2+y2=r2上的點,你能得出過點(x0,y0)的圓的切線方程嗎?3.過圓C內一點P(不同于圓心)的所有弦中,何時弦最長?何時弦最短?解

過圓上一點一定有1條切線,過圓外一點一定有2條切線.過圓上一點(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.解

過圓內一點P(不同于圓心)的所有弦中,當弦經過圓心C時弦最長,等于直徑的長.當弦與過點P的直徑垂直時弦最短.重難探究·能力素養全提升探究點一直線與圓的位置關系的判斷【例1】

求實數m的取值范圍,使直線x-my+3=0與圓x2+y2-6x+5=0分別滿足:①相交;②相切;③相離.解

圓的一般方程化為標準方程為(x-3)2+y2=4,故圓心(3,0)到直線x-my+3=0規律方法

直線與圓的位置關系的判斷方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷.(2)代數法:根據直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷.(3)直線系法:若直線恒過定點,可通過判斷定點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系.但有一定的局限性,必須是過定點的直線系.變式訓練1[北師大版教材例題]已知直線l:2x+y-3=0,圓M:(x-a)2+y2=5.(1)指出圓心M的位置特征;(2)求實數a分別取何值時,直線l與圓M相交、相切、相離.解

(1)由圓M的方程可知圓心M(a,0)為x軸上的動點.探究點二求切線方程【例2】

過點M(2,4)向圓(x-1)2+(y+3)2=1引切線,求切線的方程.解

由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故點M在圓外.當切線斜率存在時,設切線方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0.所以切線方程為24x-7y-20=0.又當切線斜率不存在時,直線x=2與圓相切.綜上所述,所求切線方程為24x-7y-20=0或x=2.變式探究(1)若所給點M的坐標是(1,-4),圓的方程不變,求切線方程;(2)條件不變,試求切線長.解

(1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故點(1,-4)在圓上.又圓心為(1,-3),所以切線斜率為0,所以切線方程為y=-4,即y+4=0.規律方法

求圓的切線方程的三種方法(1)幾何法:設出切線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出未知量,此種方法需要注意斜率不存在的情況,要單獨驗證,若符合題意,則直接寫出切線方程.(2)代數法:設出切線方程后與圓的方程聯立消元,利用判別式等于零,求出未知量,若消元后的方程為一元一次方程,則說明要求的切線中,有一條切線的斜率不存在,可直接寫出切線方程.(3)設切點坐標:先利用切線的性質解出切點坐標,再利用直線的兩點式寫出切線方程.變式訓練2[人教A版教材例題]過點P(2,1)作圓O:x2+y2=1的切線l,求切線l的方程.解

(方法一)設切線l的斜率為k,則切線l的方程為y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.因此,所求切線l的方程為y=1或4x-3y-5=0.(方法二)設切線l的斜率為k,則切線l的方程為y-1=k(x-2).消元,得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0.①因為方程①只有一個解,所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0,解得k=0或

.所以,所求切線l的方程為y=1,或4x-3y-5=0.探究點三圓的弦長問題(1)求圓C的方程;(2)若直線3x-y+1=0與圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長;(3)設過點(-1,0)的直線l與圓C相交于M,N兩點,試問:是否存在直線l,使得以MN為直徑的圓經過原點O?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.(2)圓C的圓心坐標為(1,-2),半徑為3,圓心到直線3x-y+1=0的距離為

(3)存在直線l滿足題意.理由如下:設M(x1,y1),N(x2,y2).由題意,知OM⊥ON,且OM,ON

的斜率均存在,∴直線l:x=-1滿足條件;②當直線l

的斜率存在時,可設直線l

的方程為y=k(x+1).代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,∴直線l的方程為y=x+1.綜上可知,存在滿足條件的直線l:x=-1和l:y=x+1.規律方法

1.求直線與圓相交時的弦長有三種方法(1)交點法:將直線方程與圓的方程聯立,求出交點A,B的坐標,根據兩點間的(2)弦長公式法:如圖所示,將直線方程與圓的方程聯立,設直線與圓的兩交點分別是(3)幾何法:如圖,直線與圓C交于A,B兩點,設弦心距為d,圓的半徑為r,弦長

通常采用幾何法較為簡便.2.若涉及直線和圓相交的問題,除了借助平面幾何知識進行分析,還經常利用聯立方程,用解方程組的思路來討論有關弦長和垂直等問題.變式訓練3[人教A版教材習題]已知直線l:3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓C的位置關系;如果相交,求直線l被圓C所截得的弦長.消去y,得x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1.所以,直線l與圓C相交,有兩個公共點.把x1=2,x2=1分別代入方程①,得y1=0,y2=3.所以,直線l與圓C的兩個交點是A(2,0),B(1,3).(方法二)圓C的方程x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,因此圓心C的坐標為成果驗收·課堂達標檢測123451.直線3x+4y-25=0與圓x2+y2=9的位置關系為(

)A.相切

B.相交C.相離

D.相離或相切C123452.對任意的實數k,直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關系一定是(

)A.相離B.相切C.相交但直線不過圓心D.相交且直線過圓心C解析

直線y=kx+1恒過定點(0,1).由定點(0,1)在圓x2+y2=2內,知直線y=kx+1與圓x2+y2=2一定相交.又直線y=kx+1不過圓心(0,0),則位置關系是相交但直線不過圓心,故選C.123453.直線l:3x+4y-1=0被圓C:x2+y2-2x-4y-4=0所截得的弦長為(

)A解析

由題意知圓心C(1,2),圓C的半徑為3,故點C到l:3x+4y-1=0的距離為123454.[2021天津卷]若斜率為

的直線與y軸交于點A,與圓x2+(y-1)2=1相切于點B,則|AB|=

.

123455.[人教A版教材例題]一個小島的周圍有環島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為20km的圓形區域內.已知小島中心位于輪船正西40km處,港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港,那么它是否會有觸礁危險?解

以小島的中心為原點O,東西方向