2024屆新高考數學一輪復習配套練習專題7.2等差數列及其前n項和練基礎練基礎1．（2021·全國高三其他模擬（文））在等差數列中，已知，則公差（）A．1 B．2 C．-2 D．-12．（2020·湖北武漢?高三其他（文））設等差數列的前項和為，若，，則公差等于（）A．0 B．1 C． D．3.（2020·全國高三其他（理））已知為等差數列的前項和，若，則（）A．12 B．15 C．18 D．214．（2019·浙江高三會考）等差數列ann∈N*的公差為d，前n項和為Sn，若A．4B．5C．6D．75．（2021·全國高三其他模擬（文））我國明代數學家程大位的《算法統宗》中有這樣一個問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現有錢238貫，采用等差數列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個人，現在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個問題中，戊所得錢數為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫6．（2020·全國高三課時練習（理））設等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項為（）A．B．C．D．7．（2019·全國高考真題（文））記為等差數列的前項和，若，則___________.8.（2019·全國高考真題（理））記Sn為等差數列{an}的前n項和，，則___________.9.（2021·河南高三其他模擬（文））設Sn是等差數列{an}的前n項和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，則S8=___________.10.（2018·全國高考真題（理））記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中學高三三模）已知數列滿足，若，則“數列為無窮數列”是“數列單調”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2021·哈爾濱市第一中學校高三三模（理））習近平總書記提出：鄉村振興，人才是關鍵．要積極培養本土人才，鼓勵外出能人返鄉創業．為鼓勵返鄉創業，黑龍江對青山鎮鎮政府決定投入創業資金和開展“創業技術培訓”幫扶返鄉創業人員．預計該鎮政府每年投入的創業資金構成一個等差數列（單位萬元，），每年開展“創業技術培訓”投入的資金為第一年創業資金的倍，已知．則預計該鎮政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元3．（2021·四川遂寧市·高三其他模擬（理））定義函數，其中表示不超過的最大整數，例如：，，.當時，的值域為.記集合中元素的個數為，則的值為（）A． B． C． D．4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數列的公差，為其前n項和，則的最小值為___________.5．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數列…，其中在第個1與第個1之間插入個若該數列的前項的和為則___________.6．（2021·廣東揭陽市·高三其他模擬）已知正項等差數列的前項和為，滿足，，（1）求數列的通項公式；（2）若，記數列的前項和，求.7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，，求數列的前項和.8．（2021·全國高三其他模擬（理））已知各項均為正數的數列滿足，且，．（1）證明：數列是等差數列；（2）數列的前項和為，求證：．9．（2021·山東泰安市·高三其他模擬）設各項均為正的數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項的和．10．（2019·浙江高三期末）在數列、中，設是數列的前項和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若時，恒成立，求整數的最小值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真題）我國古代數學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數列的求和問題，如數列就是二階等差數列，數列的前3項和是________．2．（2020·海南省高考真題）將數列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為________．3.（2019·北京高考真題（理））設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．4.（2021·全國高考真題（文））記為數列的前n項和，已知，且數列是等差數列，證明：是等差數列.5.（2021·全國高考真題（理））記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．19·全國高考真題（文））記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．專題7.2等差數列及其前n項和練基礎練基礎1．（2021·全國高三其他模擬（文））在等差數列中，已知，則公差（）A．1 B．2 C．-2 D．-1【答案】B【解析】設等差數列的公差為，根據等差數列通項公式計算可得；【詳解】解：設等差數列的公差為，因為，所以，解得故選：B2．（2020·湖北武漢?高三其他（文））設等差數列的前項和為，若，，則公差等于（）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】，解得，所以．故選：B.3.（2020·全國高三其他（理））已知為等差數列的前項和，若，則（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】由，得，所以.故選：B.4．（2019·浙江高三會考）等差數列ann∈N*的公差為d，前n項和為Sn，若A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】根據題意，等差數列an中，S3=S9，則S9-S3=a4+a55．（2021·全國高三其他模擬（文））我國明代數學家程大位的《算法統宗》中有這樣一個問題：今有鈔二百三十八貫，令五等人從上作互和減半分之，只云戊不及甲三十三貫六百文，問：各該鈔若干？其意思是：現有錢238貫，采用等差數列的方法依次分給甲?乙?丙?丁?戊五個人，現在只知道戊所得錢比甲少33貫600文(1貫=1000文)，問各人各得錢多少？在這個問題中，戊所得錢數為（）A．30.8貫 B．39.2貫 C．47.6貫 D．64.4貫【答案】A【解析】由題意知甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數組成等差數列，由等差數列項的性質列方程組即可求出所要的結果.【詳解】解：依次記甲?乙?丙?丁?戊五個人所得錢數為a1，a2，a3，a4，a5，由數列{an}為等差數列，可記公差為d，依題意得：，解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，即戊所得錢數為30.8貫.故選：A.6．（2020·全國高三課時練習（理））設等差數列{an}的前n項和為Sn，且滿足S15>0，S16<0，則，，…，中最大的項為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵等差數列前n項和，由S15>0，S16<0，得，∴，若視為函數則對稱軸在之間，∵，∴Sn最大值是，分析，知為正值時有最大值，故為前8項，又d＜0，遞減，前8項中遞增，∴前8項中最大最小時有最大值，∴最大．7．（2019·全國高考真題（文））記為等差數列的前項和，若，則___________.【答案】100【解析】得8.（2019·全國高考真題（理））記Sn為等差數列{an}的前n項和，，則___________.【答案】4.【解析】因，所以，即，所以．9.（2021·河南高三其他模擬（文））設Sn是等差數列{an}的前n項和，若S4=2S3-2，2a5-a6=7，則S8=___________.【答案】64【解析】設{an}的公差為d.根據已知條件列出方程組，計算求解即可.【詳解】設{an}的公差為d.因為，即所以，所以.故答案為：64.10.（2018·全國高考真題（理））記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知（1）求{a（2）求Sn，并求S【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2–8n，最小值為–16．【解析】（1）設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（2021·上海市大同中學高三三模）已知數列滿足，若，則“數列為無窮數列”是“數列單調”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由已知可得，設，若存在正整數，當時，有，此時數列為有窮數列；若恒不為0，由，有，此時為無窮數列，由此根據充分條件、必要條件的定義進行分析即可得結論．【詳解】解：令，，由，可得，所以，即，所以數列為等差數列，首項為，公差為1，所以，設，則數列是單調遞增的等差數列，若存在正整數，當時，則有，此時數列為有窮數列；若恒不為0，由，有，數列就可以按照此遞推關系一直計算下去，所以此時為無窮數列.（1）若恒不為0，則為無窮數列，由遞推關系式有，取，時，，則，，，，此時數列不是單調數列；（2）當數列為有窮數列時，存在正整數，當時，有，此時數列為，，，，，，由，若數列單調，則，，，，全為正或全為負，由，則，，，，全為正，而，這與單調遞增矛盾，所以當數列為有窮數列時，數列不可能單調，所以當數列單調時，數列一定有無窮多項．故選：B.2．（2021·哈爾濱市第一中學校高三三模（理））習近平總書記提出：鄉村振興，人才是關鍵．要積極培養本土人才，鼓勵外出能人返鄉創業．為鼓勵返鄉創業，黑龍江對青山鎮鎮政府決定投入創業資金和開展“創業技術培訓”幫扶返鄉創業人員．預計該鎮政府每年投入的創業資金構成一個等差數列（單位萬元，），每年開展“創業技術培訓”投入的資金為第一年創業資金的倍，已知．則預計該鎮政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為（）A．72萬元 B．96萬元 C．120萬元 D．144萬元【答案】C【解析】本題可設等差數列的公差為，然后根據題意得出五年累計總投入資金為，最后通過基本不等式即可求出最值.【詳解】設等差數列的公差為，由題意可知，五年累計總投入資金為：，因為，所以，當且僅當時取等號，故預計該鎮政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為120萬元，故選：C.3．（2021·四川遂寧市·高三其他模擬（理））定義函數，其中表示不超過的最大整數，例如：，，.當時，的值域為.記集合中元素的個數為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根據條件分析出當時，集合中的元素個數為，進而可得，再結合裂項相消法進行求和可得結果.【詳解】因為，所以，所以在各個區間中的元素個數分別為：，所以當時，的值域為，集合中元素個數為：，所以，所以，故選：D.4．（2021·全國高三其他模擬（理））已知等差數列的公差，為其前n項和，則的最小值為___________.【答案】8【解析】利用，求得的值，然后利用等差數列求和公式求得，利用函數圖象得的最小值可能為，或，分別求出，，，得出最小值.【詳解】由于即,解得,故,作函數的圖象，故的最小值可能為，或，而，，，故的最小值為.故答案為：8.5．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數列…，其中在第個1與第個1之間插入個若該數列的前項的和為則___________.【答案】3【解析】當時，若有n個1，由題知，數列共有項，當時，，則在第63個1后面跟第2個x就是第2018項，所以前項中含63個1，其余均為x，從而根據前項的和為求得x.【詳解】當時，若有n個1，由題知，數列共有項，當時，，則在第63個1后面跟第2個x就是第2018項，所以前項中含63個1，其余均為x，故該數列的前項的和為，解得.故答案為：36．（2021·廣東揭陽市·高三其他模擬）已知正項等差數列的前項和為，滿足，，（1）求數列的通項公式；（2）若，記數列的前項和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當時，由，得，兩式相減可得，從而可求出，當時，，求出，進而可出數列的通項公式；（2）由（1）可得，從而可求出【詳解】解：（1）設等差數列的公差為，則由，得相減得即，又，所以，由，得，解得，(舍去)由，得；（2）.7．（2021·全國高三其他模擬（理））已知數列的前項和為，且，.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，，求數列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，根據，求得，得到，進而求得數列的通項公式；（2）由（1）得到，利用累加法，求得，進而求得，利用裂項法求和，即可求解.【詳解】（1）由題意，數列的前項和為，可得，，因為，所以，解得，所以，，因為當時，，所以.當時，符合上式，所以數列的通項公式為.（2）由（1）知，可得，所以，，，……，，所以，又由，可得，當時，，滿足上式，所以.所以，所以.8．（2021·全國高三其他模擬（理））已知各項均為正數的數列滿足，且，．（1）證明：數列是等差數列；（2）數列的前項和為，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】（1）將已知遞推關系移項配方整理可得，進而利用等差中項法證明數列是等差數列；（2）利用裂項求和法求和化簡后即得證.【詳解】解：（1）由結合數列各項均為正數得則，所以數列是等差數列；（2），則公差∴，∴.9．（2021·山東泰安市·高三其他模擬）設各項均為正的數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項的和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由求出的值，當時，由與的關系推導出數列為等差數列，確定該數列的首項與公差，可求得的通項公式；（2）計算出，然后利用等差數列的求和公式可求得.【詳解】（1）令，則，可得，得；當時，由可得，兩式相減得，即，由數列的各項為正，可得，所以數列是以為首項，為公差的等差數列．即數列的通項公式為；（2）由得，則有，因為，因此，.10．（2019·浙江高三期末）在數列、中，設是數列的前項和，已知，，，.（Ⅰ）求和；（Ⅱ）若時，恒成立，求整數的最小值.【答案】（1），（2）整數的最小值是11.【解析】（Ⅰ）因為，即，所以是等差數列，又，所以，從而.（Ⅱ）因為，所以，當時，①②①-②可得，，即，而也滿足，故.令，則，即，因為，，依據指數增長性質，整數的最小值是11.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1.（2020·浙江省高考真題）我國古代數學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數列的求和問題，如數列就是二階等差數列，數列的前3項和是________．【答案】【解析】因為，所以．即．故答案為：.2．（2020·海南省高考真題）將數列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】【解析】因為數列是以1為首項，以2為公差的等差數列，數列是以1首項，以3為公差的等差數列，所以這兩個數列的公共項所構成的新數列是以1為首項，以6為公差的等差數列，所以的前項和為，故答案為：.3.（2019·北京高考真題（理））設等差數列{an}的前n項和為Sn，若a2=?3，S5=?10，則a5=__________，Sn的最小值為__________．【答案】0.-10.【解析】等差數列中,,得,公差,,由等差數列的性質得時,,時,大于0,所以的最小值為或,即為.4.（2021·全國高考真題（文））記為數列的前n項和，已知，且數列是等差數列，證明：是等差數列.【答案】證明見解析.【解析】先根據求出數列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.【詳解】∵數列是等差數列，設公差為∴，∴，∴當時，當時，，滿足，∴的通項公式為，∴∴是等差數列.5.（2021·全國高考真題（理））記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數列是等差數列;（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.【詳解】（1）由已知得,且，,取,由得,由于為數列的前n項積，所以,所以，所以,由于所以，即,其中所以數列是以為首項，以為公差等差數列;（2）由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，,,當n=1時，,當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,∴.6.（2019·全國高考真題（文））記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知S9=－a5．（1）若a3=4，求{an}的通項公式；（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等差數列的首項為，公差為，根據題意有，解答，所以，所以等差數列的通項公式為；（2）由條件，得，即，因為，所以，并且有，所以有，由得，整理得，因為，所以有，即，解得，所以的取值范圍是：專題7.3等比數列及其前n項和練基礎練基礎1．（2021·全國高考真題（文））記為等比數列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．102．（2021·山東濟南市·）已知Sn是遞增的等比數列{an}的前n項和，其中S3＝，a32＝a4，則a5＝（）A． B． C．8 D．163．（2021·重慶高三其他模擬）設等比數列的前項和為，則（）A． B． C． D．4．（2021·合肥市第六中學高三其他模擬（理））若等比數列滿足，則（）A． B． C． D．5.（2020·河北省曲陽縣第一高級中學高一期末）中國古代數學著作《算法統宗》中記載了這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里6．（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知等比數列的公比為，前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（2021·黑龍江大慶市·大慶實驗中學高三其他模擬（文））在數列中，，且，則___________.8．（2021·浙江杭州市·杭州高級中學高三其他模擬）已知數列滿足，則_____，_______．9.（2021·浙江杭州市·杭州高級中學高三其他模擬）已知數列滿足，則________，________．10.（2018·全國高考真題（文））等比數列an中，a（1）求an（2）記Sn為an的前n項和．若Sm練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（遼寧省凌源二中2018屆三校聯考)已知數列為等比數列，且，則（）A.B.C.D.2．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，“數塔”的第行第個數為(其中，，且).將這些數依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數列，設的前項和為.若，則（）A．46 B．47 C．48 D．493．【多選題】（2021·江蘇高三其他模擬）已知數列滿足，，其前項和為，則下列結論中正確的有（）A．是遞增數列 B．是等比數列C． D．4.（2019·浙江高三期末）數列的前n項和為，且滿足，Ⅰ求通項公式；Ⅱ記，求證：．5．（2021·河北衡水中學高三三模）已知數列的前項和為，且滿足，，其中.（1）若，求出；（2）是否存在實數，使為等比數列？若存在，求出，若不存在，說明理由.6．（2021·遼寧本溪市·高二月考）已知數列，滿足，，設，（為實數）．（1）求證：是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若是遞增數列，求實數的取值范圍．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如圖所示的數陣中，從任意一個數開始依次從左下方選出來的數可組成等差數列，如：，，，，…；依次選出來的數可組成等比數列，如：，，，，….記第行第個數為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；（Ⅱ）求第行所有數的和.8．（2021·山東煙臺市·高三其他模擬）已知數列的前n項和為，且滿足，，.（1）求的通項公式；（2）設數列滿足，，，按照如下規律構造新數列：，求的前2n項和.9．（2019·浙江高考模擬）已知數列中，，（1）令，求證：數列是等比數列；（2）令，當取得最大值時，求的值.10.（2021·浙江高三其他模擬）已知數列滿足，，數列滿足，.（1）數列，的通項公式；（2）若，求使成立(表示不超過的最大整數)的最大整數的值.練真題TIDHNEG練真題TIDHNEG1．（2021·全國高考真題（理））等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2.（2020·全國高考真題（文））記Sn為等比數列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–13.（2019·全國高考真題（文））已知各項均為正數的等比數列的前4項和為15，且，則（）A．16 B．8 C．4 D．24．（2019·全國高考真題（文））記Sn為等比數列{an}的前n項和.若，則S4=___________．5．（2020·海南省高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．（1）求的通項公式；（2）求.6．（2021·浙江高考真題）已知數列的前n項和為，，且.（1）求數列的通項；（2）設數列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.專題7.3等比數列及其前n項和練基礎練基礎1．（2021·全國高考真題（文））記為等比數列的前n項和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】根據題目條件可得，，成等比數列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】∵為等比數列的前n項和，∴，，成等比數列∴，∴，∴.故選：A.2．（2021·山東濟南市·）已知Sn是遞增的等比數列{an}的前n項和，其中S3＝，a32＝a4，則a5＝（）A． B． C．8 D．16【答案】C【解析】設等比數列的公比為q，根據題意列方程，解出和q即可.【詳解】解：設遞增的等比數列{an}的公比為，且q1，∵S3＝，，∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．則＝＝8．故選：C．3．（2021·重慶高三其他模擬）設等比數列的前項和為，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設等比數列公比為，由結合已知條件求、，再利用等比數列前n項和公式求.【詳解】設等比數列公比為，則，又，∴，故，又，即.故選：C4．（2021·合肥市第六中學高三其他模擬（理））若等比數列滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設等比數列的公比為q，根據等比數列的通項公式建立方程組，解之可得選項.【詳解】設等比數列的公比為q，則，所以，又，所以，故選：A.5.（2020·河北省曲陽縣第一高級中學高一期末）中國古代數學著作《算法統宗》中記載了這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還.”其大意為：有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，問此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】D【解析】根據題意，記每天走的路程里數為，可知是公比的等比數列，由，得，解可得，則；即此人第二天走的路程里數為96；故選：D．6．（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知等比數列的公比為，前項和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由可得出，取，由，進而判斷可得出結論.【詳解】若，則，即，所以，數列為遞增數列，若，，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.7．（2021·黑龍江大慶市·大慶實驗中學高三其他模擬（文））在數列中，，且，則___________.【答案】【解析】由，，得到且，得出數列構成以為首項，以為公比的等比數列，結合等比數列的求和公式，即可求解.【詳解】由，可得，又由，可得，所以，所以數列構成以為首項，以為公比的等比數列，所以.故答案為：.8．（2021·浙江杭州市·杭州高級中學高三其他模擬）已知數列滿足，則_____，_______．【答案】【解析】利用求通項公式，再求出.【詳解】對于，當n=1時，有，解得：1；當時，有，所以，所以，所以數列為等比數列，，所以.故答案為：1，.9.（2021·浙江杭州市·杭州高級中學高三其他模擬）已知數列滿足，則________，________．【答案】【解析】根據，求出數列的通項公式，再代入求出．【詳解】解：因為當時，，解得；當時，，所以，即于是是首項為，公比為2的等比數列，所以．所以，故答案為：；；10.（2018·全國高考真題（文））等比數列an中，a（1）求an（2）記Sn為an的前n項和．若Sm【答案】（1）an=(-2)（2）m=6.【解析】（1）設{an}的公比為q由已知得q4=4q2，解得q=0（舍去），故an=(-2)（2）若an=(-2)n-1，則Sn若an=2n-1，則Sn=2綜上，m=6．練提升TIDHNEG練提升TIDHNEG1．（遼寧省凌源二中2018屆三校聯考)已知數列為等比數列，且，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由等比數列的性質可得：，，結合可得：，結合等比數列的性質可得：，即：.本題選擇B選項.2．（2021·全國高三其他模擬（文））如圖，“數塔”的第行第個數為(其中，，且).將這些數依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數列，設的前項和為.若，則（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【解析】根據“數塔”的規律，可知第行共有個數，利用等比數列求和公式求出第行的數字之和，再求出前行的和，即可判斷取到第幾行，再根據每行數字個數成等差數列，即可求出；【詳解】解：“數塔”的第行共有個數，其和為，所以前行的和為故前行所有數學之和為，因此只需要加上第10行的前3個數字1,2,4，其和為，易知“數塔”前行共有個數，所以故選：C3．（2021·江蘇高三其他模擬）已知數列滿足，，其前項和為，則下列結論中正確的有（）A．是遞增數列 B．是等比數列C． D．【答案】ACD【解析】將遞推公式兩邊同時取指數，變形得到，構造等比數列可證為等比數列，求解出通項公式則可判斷A選項；根據判斷B選項；根據的通項公式以及對數的運算法則計算的正負并判斷C選項；將的通項公式放縮得到，由此進行求和并判斷D選項.【詳解】因為，所以，從而，，所以，所以，又，是首項為，公比為的等比數列，所以，所以，即，又因為在時單調遞增，在定義域內單調遞增，所以是遞增數列，故A正確；因為，所以，所以，所以，所以不是等比數列，故B錯誤.因為，而，從而，于是，，故C正確.因為，所以，故D正確.故選：ACD.4.（2019·浙江高三期末）數列的前n項和為，且滿足，Ⅰ求通項公式；Ⅱ記，求證：．【答案】Ⅰ；Ⅱ見解析【解析】Ⅰ，當時，，得，又，，數列是首項為1，公比為2的等比數列，；證明：Ⅱ，，時，，，同理：，故：．5．（2021·河北衡水中學高三三模）已知數列的前項和為，且滿足，，其中.（1）若，求出；（2）是否存在實數，使為等比數列？若存在，求出，若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）將代入，由遞推關系求出通項公式，并檢驗當時是否滿足，即可得到結果；（2）先假設存在實數，滿足題意，結合已知條件求出滿足數列是等比數列的實數，的值，運用分組求和法求出的值.【詳解】（1）由題可知：當時有：，當時，，又滿足上式，故.（2）假設存在實數，滿足題意，則當時，由題可得：，和題設對比系數可得：，，.此時，，故存在，使得是首項為4，公比為2的等比數列.從而.所以.6．（2021·遼寧本溪市·高二月考）已知數列，滿足，，設，（為實數）．（1）求證：是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若是遞增數列，求實數的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】（1）由，變形為，再利用等比數列的定義證明；（2）由（1）的結論，利用等比數列的通項公式求解；（3）根據是遞增數列，由,恒成立求解.【詳解】（1）因為，所以，即，又因為，所以，所以，所以是等比數列．（2）由，公比為2，得，所以．（3）因為，所以，所以，因為是遞增數列，所以成立，故，成立，即，成立，因為是遞減數列，所以該數列的最大項是，所以的取值范圍是．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如圖所示的數陣中，從任意一個數開始依次從左下方選出來的數可組成等差數列，如：，，，，…；依次選出來的數可組成等比數列，如：，，，，….記第行第個數為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；（Ⅱ）求第行所有數的和.【答案】（Ⅰ），，，；（Ⅱ）.【解析】（I）由數陣寫出，，，由此可歸納出.（II），利用錯位相減法求得結果.【詳解】（Ⅰ）由數陣可知：，，，由此可歸納出.（Ⅱ），所以，錯位相減得.8．（2021·山東煙臺市·高三其他模擬）已知數列的前n項和為，且滿足，，.（1）求的通項公式；（2）設數列滿足，，，按照如下規律構造新數列：，求的前2n項和.【答案】（1），；（2）數列的前2n項和為.【解析】（1）由可得可得答案；（2）由得，兩式相除可得數列的偶數項構成等比數列，再由（1）可得數列的前2n項的和.【詳解】（1）由，，得，所以.因為，所以，所以，.又當時，，適合上式.所以，.（2）因為，，所以，又，所以.所以數列的偶數項構成以為首項?2為公比的等比數列.故數列的前2n項的和，所以數列的前2n項和為.9．