第10題平面向量的數量積

一、原題呈現

【原題】已知O為坐標原點，點片(cos%sina),《(cosp,-sin/?)，6(cos(a+/7),sin(a+0),A(l,O),

貝1J()

A.|阿=|兩B.|雨=|呵

C.OAOP^O^O^D.麗?麗=函函

【答案】AC

【解析】由OPt=(cosa,sin?).(?7^—(cos/?,—sin夕)，可得|O制=|。閭=1,故A正確；

22222

|AP}|="y/(cosa-l)+sina=A/COStz-2cosa+l+sina=-^2(1-cosor)=^4sin-y=21siny|,

同理I亞1=7(cos>9-l)2+sin2Z?=2|sin，|J斯南|不一定相等，故B錯誤；

巾OAOPy-1xcos(tz+/?)+0xsin(a+/3)-cos(￡Z+p),

OPXOP,-cosa-cos尸+sine?(—sinP)-cos(a+力)，可得C正確；

由04(9/^=lxcostz+0xsina=coscz.(9^(975=cosPxcos(a+;0)+(-sinp)xsin(a+p)

=cos(p+(a+B))=cos(a+2B),礪.西，函.函不一定相等,D錯誤，故選AC

【就題論題】本題涉及平面向量的數量積及坐標運算，又涉及三角變換，在知識交匯處命題，背景較新穎，能有

效考查考生分析問題解決問題的能力，是一道難度適中的好題，熟悉新教材必修二(A版)的同學們應該知道

P35有利用向量證明兩角差余弦公式的例題，該題應該是由此題改編而成.

二、考題揭秘

【命題意圖】本題考查平面向量的數量積及坐標運算、三角變換，考查數學運算、邏輯推理及數學抽象的核

心素養.難度：中等

【考情分析】平面向量是高考數學必考知識點，一般以客觀題形式考查，熱點是平面向量的線性運算及平面向

量的數量積,可以是容易題，也可以是中等難度題,中等難度題常用平面幾何、不等式等知識交匯考查.

【得分秘籍】

(1)向量的夾角

已知兩個非零向量a和"作況=a,彷=瓦則/A08就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：［0,兀］.

(2)平面向量的數量積

設兩個非零向量a,b的夾角為。，則數量⑷網?cos。叫做a與b的數量

定義

積，記作ab

|a|cos。叫做向量a在b方向上的投影，

投影

\b\cos0叫做向量方在Q方向上的投影

幾何意義數量積ab等于a的長度⑷與力在〃的方向上的投影|〃|cos。的乘積

(3)平面向量數量積的性質

設a,b都是非零向量,e是單位向量,6為a與6(或e)的夾角.則

@e-a=a-e=\a\cos3.

②a_L)crb=O.

③當a與b同向時,a6=|a||A|；當。與b反向時,a心=一同步|.

特別地0。=|。|2或⑷=如/

④8$。=麗.

@\a-b\<\a\\b\.

(4)平面向量數量積有關性質的坐標表示

①設向量4=(X1J1)力=。2,丁2),則a山=九陽+乃y2,由此得到

若Q=a,y),則laFuf+y2或⑷

②設&為,〉1)乃(工2,〉2),則兩點間的距離A8=|霜|=王一工2)~+(y?

③設兩個非零向量a也a=(xi,yD,力=('2)2),則a_Lgvi12+yiy2=0.

④若a,b都是非零向量,6是a與)的夾角，則cos0=j^i=^=^=.

(5)兩個向量a.b的夾角為銳角仁》山>0且a出不共線；兩個向量a,b的夾角為鈍角0山<0且a,b不共線.

(6)平面向量數量積求解問題的策略

n*h

①求兩向量的夾角：85。=而而，要注意

②兩向量垂直的應用：兩非零向量垂直的充要條件是：a_L5<=?力=0<=1a—例=|a+b|.

③求向量的模：利用數量積求解長度問題的處理方法有：。2=。也=同2或⑷=6^；以±臼=寸“2±2”山+/；若a

=(x,y),則|a|r^+y2.

(7)平面向量數量積的四種運算方法：①定義法，要注意兩個向量的夾角.②坐標法，引入直角坐標系，明確向量

的坐標進行運算.③利用向量數量積的幾何意義，注意一個向量在另一向量上的投影是數量.④運用平方的

技巧.

(8)向量與平面幾何的綜合問題，往往要數形結合,借助平面幾何的知識解題.(2)根據數量積求模或參數的值

（范圍）問題的一般方法：①基底法，②坐標法.

（9）向量與函數、三角函數的綜合題，多通過考查向量的線性運算、向量共線的充要條件、平面向量的基本定

理及數量積等來直接考查函數的基本概念，函數、三角函數的圖象與性質，三角變換等內容.此類題目中，向量

往往是條件的載體,題目考查的重點仍是函數、三角函數,熟練掌握向量的概念和基本運算是解決問題的前

提.若題目條件給出向量的坐標中含有三角函數的形式,運用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數的

關系式，然后求解.若給出用三角函數表示的向量坐標，要求的是向量的模或者其他向量的表達形式，解題思路

是經過向量的運算，利用三角函數在定義域內的有界性,求得值域等.

（10）向量在解析幾何中的“兩個”作用：（1）載體作用：向量在解析幾何問題中出現，多用于“包裝”,解決此類問

題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”，導出曲線上點的坐標之間的關系,從而解決有關距離、斜

率、夾角、軌跡、最值等問題.（2）工具作用：利用。，*次/0=0（a/為非零向量）,a〃b=a=?（厚0）,可解決

垂直、平行問題,特別地，向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較優越

的方法.

【易錯警示】

（1）。_1_加次讓2+）1>2=0與a〃b0iy2-X2）'i=O混淆

（2）誤認為兩個向量a,》的夾角為銳角ci山>0；兩個向量。力的夾角為鈍角ci?辰0.

（3）與平面幾何有關的向量問題，向量的夾角求錯，如4ABC中誤認為瓦，及夾角為NA3C.

三、以例及類

（以下所選試題均來自新高考I卷地區2020年1-6月模擬試卷）

一、單選題

1.（2021河北省邯鄲市高三二模）已知向量￡=（一2,6）4=（l,x）,若￡與B反向，則7（3￡+楊=（）

A.-30B.30C.-100D.100

2.（2021湖北省武漢市高三5月質量檢測）已知向量2=（1,3）,則下列向量中與￡垂直的是（）

A.（0,0）B.（-3,-1）C.（3,1）D.（-3,1）

3.（2021江蘇省南通市高三5月四模）已知向量￡=（$?/1）石=（2411，,一1）,且￡,/；,則8$2。=（）

A.0B.—C.—D.-1

22

4.（2021山東省日照市高三第二次模擬）已知忖=0,忖=4,當必（4￡叫時，向量［與B的夾角為（）

5.（2021山東省高考考前熱身押題）已知向量麗■，麗，麗的模長均為2,且滿足2瑞+2㈱+3之心=6,

則麗.?麗的值為（）

192321

A.—B.—C.—D.5

222

6.（2021湖南省衡陽市高三下學期考前預測）已知P是邊長為2的正六邊形A3CDE戶邊上一動點，則

APAB（）

A.最大值是4+26,最小值是4-28B.最大值是6,最小值是-26

C.最大值是6,最小值是一2D.最大值是4+2百，最小值是-2

7.（2021湖北省黃岡中學高三下學期第三次模擬）已知AA6c是邊長為4的等邊三角形，且麗=2反,E

為AO中點，則麗.配=（）

428

A.—2B.C.—D.一

333

8.（2021湖北省黃岡市高三高考適應性考）已知平面上三個不同的點若痂?麗=|歷5『，則（）

A.PMLPFB.PMLMF

C.PMPF<QD.PMPF>0

9.（2021河北省滄州市高三三模）已知非零向量獲滿足W=0同，且（日一b）J_（3a+2S）,則1與5的

夾角為（）

A.45°B.135°C.60D.120"

10.（2021福建省廈門市高三5月二模）已知是相互垂直的單位向量，與共面的向量c滿足

a-c=B,c=2,則c的模為（）

A.72B.2C.272D.2下）

11.（2021廣東省深圳市高三下學期第五次統一考試）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙,是中國古老的

傳統民間藝術之一.每年新春佳節，我國許多地區的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環境、渲染氣氛的

目的,并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望.圖一是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二

中正六邊形ABCDEF的邊長為4,圓。的圓心為正六邊形的中心，半徑為2,若點尸在正六邊形的邊上運動，

為圓。的直徑，則麗.麗的取值范圍是（)

AP

A.[6,12]B.[6,16]C.[8,12]D.[8,16]

12.（2021江蘇省六校高三下學期第四次適應性聯考）已知向量九工/忖=1,且對任意.€/?,收一?2口一4

恒成立，則（）

A-aleB.G_L伍一,

C.e-L(a-ea+e_L

13.（2021山東省煙臺市高三第一次聯考）如圖,在平行四邊形ABC。中,M是8c的中點，且是線

段8。上的動點，過點N作AM的垂線，垂足為“，當而乙而何最小時,“。=（）

B.-AB+-AD

42

二、多選題

14.（2021江蘇省鹽城市高三下學期5月第三次模擬）將平面向量打=（5,々）稱為二維向量，由此可推廣至〃

維向量反=（玉,巧,…,X.）.對于〃維向量￡,九其運算與平面向量類似，如數量積及0=1司同cose=Zxa

（。為向量￡石的夾角），其向量2的模向=區尤,2,則下列說法正確的有（

A.不等式可能成立

(z=l\(i=\\(f=l

B.不等式一定成立

\n八〃/\nJ

?_?(?_?、2

c.不等式〃￡光,.；可能成立

n]n

D.若%>0(i=1,2,…,n)，則不等式Z—EX,>n2一定成立

i=lXii=\

△ABC中,M是3C的中點，若第=￡,恁=石,則卜加卜

15.（2021江蘇省七市高三下學期第三次調研）在

B.9+4

D.

16.（2021江蘇省蘇州市高三下學期三模）已知AABC是邊長為2的正三角形，該三角形重心為點G,點P

為AABC所在平面內任一點，下列等式一定成立的是（）

A.\AB+AC\=2B.ABAC^2

C.PA+PB+PC=3PGD.\AB+BCHIAB+CB\

17.（2021華大新高考聯盟高三下學期3月教學質量測評）已知邊長為4的正方形A6C。的對角線的交點

為O,以。為圓心,6為半徑作圓；若點E在圓。上運動，則（）

A.EAEB+EBEC+ECEb+EDEA^12B-EA-EC+EBED^56

C.EAEB+EBEC+ECED+EDEA^\44O-EAEC+EBED^2S

TT

18.（2021河北省張家口市高三下學期階段模擬）已知￡石是平面上夾角為w的兩個單位向量在該平面

上，且（2--2）=0,則下列結論中正確的有（）