第35屆全國中學生物理競賽決賽理論考試試題（上海交大）1、（35分）如圖，半徑為R、質量為M的半球靜置于光滑水平桌面上，在半球頂點上有一質量為m、半徑為r的勻質小球。某時刻，小球收到微擾由靜止開始沿半球表面運動。在運動過程中，小球相對半球的位置由角位置描述，為兩球心連線與豎直線的夾角。己知小球繞其對稱軸的轉動慣量為，小球與半球間的動摩擦因數為，假定最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力加速度大小為g。（1）（15分）小球開始運動后在一段時間內做純滾動，求在此過程中，當小球的角位置為1時，半球運動的速度大小和加速度大小；（2）（15分）當小球純滾動到角位置2時開始相對于半球滑動，求2所滿足的方程（用半球速度大小和加速度大小以及題給條件表示）；（3）（5分）當小球剛好運動到角位置3時脫離半球，求此時小球質心相對于半球運動速度的大小2、（35分）平行板電容器極板1和2的面積均為S，水平固定放置，它們之間的距離為d，接入如圖所示的電路中，電源的電動勢記為U。不帶電的導體薄平板3（厚度忽略不計）的質量為m、尺寸與電容器極板相同。平板3平放在極板2的正上方，且與極板2有良好的電接觸。整個系統置于真空室內，真空的介電常量為。合電鍵K后，平板3與極板1和2相繼碰撞，上下往復運動。假設導體板間的電場均可視為勻強電場；導線電阻和電源內阻足夠小，充放電時間可忽略不計；平板3與極板1或2碰撞后立即在極短時間內達到靜電干衡；所有碰撞都是完全非彈性的。重力加速度大小為g。（1）（17分）電源電動勢U至少為多大？（2）（18分）求平板3運動的周期（用U和題給條件表示）。已知積分公式，其中a>0，C為積分常數。3、（35分）如圖，質量線密度為、不可伸長的軟細繩跨過一盤狀定滑輪，定滑輪半徑為R，軸離地面高度為L，系統原處于靜止狀態。在t=0時，滑輪開始以恒定角速度逆時針轉動，繩子在滑輪帶動下開始運動，繩子與滑輪間的動摩擦因數為?；唭蓚鹊睦K子在運動過程中始終可視為沿豎直方向，繩的兩端在運動過程中均沒有離開地面，地面上的繩了可視為集中在一點。已知重力加速度大小為g。繩子在與滑輪左、右側相切處的張力分別記為T1、T2（均非己知量）。（1）（20分）分別列出在繩子速度達到最大值之前，滑輪兩側繩子的豎直部分及滑輪上任意一小段繩子的運動所滿足的動力學方程：（2）（15分）求繩子可達到的最大速度的大小。4、（35分）如圖，一張緊的弦沿x軸水平放置，長度為L。弦的左端位于坐標原點。弦可通過其左、右端與振源連接，使弦產生沿y方向的橫向受迫振動，振動傳播的速度為u。（1）（22分）固定弦的右端P2，將其左端P1與振源連接，穩定時，左端的振動表達式為，其中A0為振幅，為圓頻率。（i）（10分）已知弦上橫波的振幅在傳播方向上有衰減，衰減常量為，求弦上各處振動的振幅，（己知：在無限長弦上沿x軸正方向傳播的振幅逐漸衰減的橫波表達式為，其中A和分別為x=0處振動的振幅和初相位。）（ii）（12分）忽略波的振幅在傳播方向上的衰減，求弦上駐波的表達式，并確定其波腹和波節處的x坐標。（2）（13分）將P1、P2都與振源連接，P1、P2處的振動表達式分別為：、，其中0為常量。忽略波的振幅在傳播方向上的衰減，分別計算0=0和0=情形下弦上各處振動的表達式以及共振時圓頻率應滿足的條件。（1）（14分）從一維黑體輻射光子與運動理想反射鏡碰撞的動力學觀點出發，計算在實驗室參考系中鏡子利用光子能量克服阻力做功的效率。（2）（15分）從熱學角度看，輻射的入射過程與相繼發生的反射過程可視為作為工作物質的反射鏡經歷一微小的理想熱機循環：入射過程可視為鏡子從高溫熱源吸熱，反射過程可視為鏡子向低溫熱源放熱，最后鏡子恢