基于maxw方程的磁場測量誤差分析

0軸磁傳感器測量誤差的分析誤差是測量儀器性能的重要指標，主要用于分析測量設備的測量精度。在磁測量中,經常會用到正交三軸磁傳感器進行測量。然而,在利用正交三軸磁傳感器測量磁場時,由于輻射源點與測量傳感器之間距離大小、傳感器實際尺寸大小、輻射磁場分布的非線性和不均勻性等因素,均會帶來測量上的誤差。以往,在利用正交三軸磁傳感器測量磁場時,往往把三軸磁傳感器視為理想點測量,忽略傳感器實際尺寸帶來的測量誤差。但實際測量時,由于傳感器客觀尺寸因素的存在帶來測量結果的負面影響比較大。所以,本文對三軸磁傳感器實際尺寸大小所引起的測量誤差進行分析。文章首先基于磁偶極子輻射場理論,通過求解Maxwell方程建立三維磁場測量數學模型,然后利用MATLAB仿真計算結果,從標量測量和矢量測量兩種不同測量方法層面研究各測量因素對測量誤差的影響。該結論可以為分析三軸磁傳感器的測量準確度提供一定理論參考依據,并在三維磁場測量時進行測量誤差的定量分析有一定借鑒作用。1磁偶極子輻射理論r1)在創建磁場測量誤差模型時,假設測量點到源點距離r(r遠大于輻射電流環線度尺寸),以滿足磁偶極子輻射理論的基本條件;2)為磁場測量誤差建模簡單,計算方便,視傳感器位置在中心點處建立模型,再根據傳感器實際參數來修正模型。2建模和計算2.1傳感器軸線點位置根據經驗正交三軸磁傳感器構成一正方體。為計算推導方便,建立如圖1所示右手空間球坐標系,原點位于磁偶極子圓心,磁偶極矩方向沿z軸正向,相互垂直的x軸與y軸指向按右手規則定義,傳感器軸線方向與坐標軸方向一致。設傳感器立方體模型中心點o′為空間任意點,球坐標為o′(r,θ,φ,),其中r為原點o至o′點的距離,θ為有向段oo′與OZ軸正向的夾角,φ為過點o′和OZ軸的半平面與XOZ平面之間夾角。與X、Y、Z軸方向平行放置的傳感器軸線中心點分別為P、Q、S,其球坐標分別為:P(r0,θ0,φ0,),Q(r1,θ1,φ1,),S(r2,θ2,φ2)。顯然,o′點直角坐標(X,Y,Z)與球坐標(r,θ,φ)存在以下關系:{X=rsinθcosφY=rsinθsinφΖ=rcosθr′=rsinθ???????????X=rsinθcosφY=rsinθsinφZ=rcosθr′=rsinθ(1)其中:0≤r<+∞,0≤θ≤π,0≤φ≤π;r′為r在XOY平面的投影;同理,P、Q、S點坐標也有上面的對應關系。2.2軸磁傳感器測量原理磁場測量原理:測量空間磁場時,利用單個線圈在一定距離處感應的磁場信號值轉換成電壓值。基于磁偶極子輻射場的分布特性和傳播特性,對于給定的磁矩為M的磁偶極子輻射源,在空間任意距離源點r處的場強與磁矩M有一定的關系,通過求解Maxwell方程得到在直角坐標下的磁場三分量表示為:Ηx=ΜXΖ4πμr5(3+j3Κr-Κ2r2)e-jΚrHx=MXZ4πμr5(3+j3Kr?K2r2)e?jKr(2)Ηy=ΜYΖ4πμr5(3+j3Κr-Κ2r2)e-jΚrHy=MYZ4πμr5(3+j3Kr?K2r2)e?jKr(3)Ηz=Μ4πμr5[3Ζ2-r2+jΚr(3Ζ2-r2)+Κ2r2r′2]e-jΚr(4)Hz=M4πμr5[3Z2?r2+jKr(3Z2?r2)+K2r2r′2]e?jKr(4)總場強:Η=√Η2x+Η2y+Η2zH=H2x+H2y+H2z????????????√(5)其中,K為媒質的復波數,Κ=ω√μ(ε-jσ/ω)K=ωμ(ε?jσ/ω)??????????√;ω為電磁波傳播角頻率;μ為導磁率;ε為介電常數;σ為導電率。根據圖1中給出的設定有以下關系式:r2020=r2+a2-2arcosα(6)其中,a=(√2l-?)/2a=(2l??√??)/2;l為正方體邊長,?為傳感器直徑;α為oo′與o′P之間的夾角,a為傳感器軸線中心點到o′點之間的距離。由式(1)、式(2)可求出o′點的Hx及P點的H′x分量:Ηx=Μsin2θcosφ8πμr3(3+j3Κr-Κ2r2)e-jΚrΗ′x=Μsin2θ0cosφ08πμr30(3+j3Κr0-Κ2r20)e-jΚr0(7)Hx=Msin2θcosφ8πμr3(3+j3Kr?K2r2)e?jKrH′x=Msin2θ0cosφ08πμr30(3+j3Kr0?K2r20)e?jKr0(7)同理由式(1)、式(3)可得o′點的Hy和Q點的H′y;相應由式(1)、式(4)可得o′點的Hz和S點的H′z;在計算Q點H′y時,對應α轉變為oo′與o′Q之間夾角α′;計算S點的H′z時,對應α變為oo′與o′S之間夾角α″。在利用正交三軸磁傳感器進行空間磁場測量時,經常用到的是標量測量,也可進行矢量測量。由此,產生磁場測量誤差定義也有所不同。三維磁場測量誤差定義一(標量測量誤差):三軸磁傳感器的理想點o′的真值H與三軸傳感器實際測量值H′之差為測量絕對誤差;相應的相對誤差即為絕對誤差與真值之比。即:ΔH=|H|-|H′|(8)γ=ΔΗΗ×100%(9)三維磁場測量誤差定義二(矢量測量誤差):先計算三軸磁傳感器的單個傳感器分量的測量誤差,再進行三軸合成即得傳感器總測量誤差。即X軸方向傳感器的測量絕對誤差為:ΔHx=Hx-H′x(10)相應也可得Y、Z軸方向傳感器的測量絕對誤差ΔHy、ΔHz;故可通過合成得正交三軸傳感器磁場測量的絕對誤差、相對誤差為:ΔΗ2=√(ΔΗx)2+(ΔΗy)2+(ΔΗz)2(11)γ2=ΔΗ2Η×100%(12)3計算和結果顯示3.1測量相對誤差函數的求解在計算時預先設置參數:令輻射源磁矩M=10-3A·m2,f=100Hz,代入式(8)、式(9)中,可得磁場標量測量絕對誤差和相對誤差關于l,?,r和α變量的函數ΔH=f(l,?,r,α),γ=g(l,?,r,α);同理代入式(11)、式(12)可得磁場矢量測量誤差函數ΔH2=f′(l,?,r,α),γ2=g′(l,?,r,α)。為了方便計算,設置傳感器立方體中心o′點在球坐標系X軸上。取不同條件下,l和?已知,r變化時,場強標量測量、矢量測量絕對誤差ΔH的變化曲線如圖2、圖6;相對誤差γ隨r的變化曲線如圖3、圖7;當?已知,圖4、圖8中三條曲線分別表示在傳感器長度l取不同值時對應γ隨r變化曲線;圖5、圖9中曲線分別表示在傳感器l已知,直徑?取不同值時γ隨r變化曲線。3.2結果分析1測量絕對誤差h隨r衰減變化梯度從圖2、圖6中可看出,當在已知條件l=3cm,?=1.5cm下,在測量距離r<0.2m時,場強測量絕對誤差ΔH隨r衰減變化梯度大,r>0.2m時,ΔH隨r變化相對比較緩慢;從圖3中可看出,r<0.2m內測量時,其測量誤差相對較大γ>10%;當r>0.2m測量時,γ<10%。所以,依據本文計算條件,在實際標量測量時若要求γ<10%,測量距離宜取r>0.2m處測量;矢量測量時取r>0.4m處測量。2測量大小的選取由圖4、圖8可以看出,已知?=1.5cm條件下,在相同測量距離處,相對誤差γ隨傳感器長度l增大而增大,特別在近距離(r<0.4m)處,其幅度變化尤為明顯;因此,選取傳感器時應盡量選長度短的傳感器測量。若實際測量中要求測量指標:在距離r>0.35m處測量時γ<10%。則標量測量時應選擇3cm<l<4cm的傳感器測量比較適宜;矢量測量時若測量指標取r>0.53m處測量時γ<10%,則傳感器選l≤3cm。3多傳感器測量的比較已知l=3cm,由圖5、圖9知在同樣測量距離r下,相對誤差γ隨傳感器直徑?增大而減小;所以,選取傳感器時應適當選直徑較大的傳感器進行測量。若實際測量中要求測量指標:在距離r>0.34m處測量時γ<10%。則標量測量時應選擇0.5cm<?<1.5cm的傳感器測量比較適宜;矢量測量時指標取r>0.39m處測量時γ<15%,則選0.5cm<?<1.5cm的傳感器測量。由上面計算結果分析可知,在利用三軸磁傳感器進行近距離磁場測量時,由于輻射場分布的非線性及傳感器尺度影響的關系,帶來測量誤差較大,所以在選擇測量點時,測量距離應適當大于輻射源尺度(即滿足基本假設的第一個條件),以減小非線性測量誤差。從計算結果圖3～圖9中可以明顯觀察到利用三軸磁傳感器進行磁場測量時,由于傳感器實際尺寸帶來的測量誤差,矢量測量要比標量測量大。而通過對傳感器長度、直徑因素帶來測量誤差的橫向比較分析可知,在考慮選擇測量傳感器時,應適當選長度短、直徑大的傳感器(即理想點測量),以提高測量精度,但考慮到實際測量可行性時兩者要兼顧。4測