嵌套函數的零點問題思路引導思路引導函數的零點是命題的熱點，常與函數的性質和相關問題交匯.對于嵌套函數的零點，通常先“換元解套”，設中間函數為t，通過換元將復合函數拆解為兩個相對簡單的函數，借助函數的圖象、性質求解.母題呈現母題呈現類型一嵌套函數零點個數的判斷【典例1】已知函數，則函數的零點個數是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【解題指導】令→→作函數與圖象→兩個交點的橫坐標為→、判斷的零點個數.【解析】令，則，作出的圖象和直線，由圖象可得有兩個交點，設橫坐標為，∴.當時，有，即有一解；當時，有三個解，∴綜上，共有4個解，即有4個零點，故選A【方法總結】1.判斷嵌套函數零點個數的主要步驟(1)換元解套，轉化為t＝g(x)與y＝f(t)的零點．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判斷圖象交點個數．2．抓住兩點：(1)轉化換元．(2)充分利用函數的圖象與性質．【針對訓練】（2022·長春市實驗中學高三模擬）已知，則函數y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零點個數是()A．3 B．5 C．7 D．8【答案】B【分析】函數y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零點，即方程f（x）=和f（x）=1的根，畫出函數f（x）=的圖象，數形結合可得答案．【詳解】函數y=2f2（x）﹣3f（x）+1=[2f（x）﹣1][f（x）﹣1]的零點，即方程f（x）=和f（x）=1的根，函數f（x）=的圖象如下圖所示：由圖可得方程f（x）=和f（x）=1共有5個根，即函數y=2f2（x）﹣3f（x）+1有5個零點，故選B．類型二已知嵌套函數的零點個數求參數【例2】函數f(x)＝，若函數g(x)＝f(f(x))－a有三個不同的零點，則實數a的取值范圍____．【解題指導】設t＝f(x)→令g(x)＝f(f(x))－a＝0→a＝f(t)→作y＝a，y＝f(t)的圖像根據a的范圍分類討論y＝a，y＝f(t)的交點個數【解析】設t＝f(x)，令g(x)＝f(f(x))－a＝0，則a＝f(t)．在同一平面直角坐標系內作y＝a，y＝f(t)的圖像：①當a≥－1時，y＝a與y＝f(t)的圖像有兩個交點，設交點的橫坐標為，(不妨設＞)，則＜－1，≥－1．當＜－1時，＝f(x)有一解；當≥－1時，＝f(x)有兩解，∴此時g(x)＝f(f(x))－a有三個不同的零點，滿足題意；②當a＜－1時，y＝a與y＝f(t)的圖像有一個交點．設交點的橫坐標為，令得t＝，∴，此時＝f(x)有一個解，不滿足題意；綜上所述，當a≥－1時，函數g(x)＝f(f(x))－a有三個不同的零點．【方法總結】(1)求解本題抓住分段函數的圖象性質，由y＝a與y＝f(t)的圖象，確定t1，t2的取值范圍，進而由t＝f(x)的圖象確定零點的個數．(2)含參數的嵌套函數方程，還應注意讓參數的取值“動起來”，抓臨界位置，動靜結合．【針對訓練】已知函數，若關于的函數有6個不同的零點，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】作出的函數圖象如下：設，則當或時，方程只有1解，當時，方程有2解，當時，方程有3解，當時，方程無解．∵關于的函數有6個不同的零點，∴關于的方程在上有兩解，∴，解得．模擬訓練模擬訓練1．（2023春·浙江溫州·高二溫州中學校聯考期末）已知函數有三個不同的零點（其中），則（

）A．1 B．4 C．16 D．64【答案】C【解析】令，則.所以當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減.所以.由題意必有兩個根，且.由根與系數的關系有：，.由圖可知，有一解，即.有兩解且，即.所以=16.故選：C2．（2023秋·江西景德鎮·高二景德鎮一中?？计谥校┮阎瘮涤腥齻€不同的零點（其中），則的值為A． B． C． D．1【答案】D【解析】令y=，則y′=，故當x∈（0，e）時，y′＞0，y=是增函數，當x∈（e，+∞）時，y′＞0，y=是減函數；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設方程的兩個根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個根t1，t2一正一負；不妨設t1＜0＜t2，結合y=的性質可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選D．3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數有三個不同的零點.其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】令，則，故當時，，是增函數，當時，，是減函數，可得處取得最小值，，，畫出的圖象，由可化為，故結合題意可知，有兩個不同的根，故，故或，不妨設方程的兩個根分別為，，①若，，與相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個根，一正一負；不妨設，結合的性質可得，，，，故又，，．故選：A．4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數有三個不同的零點（其中），則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】令，構造，求導得，當時，；當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，且時，，時，，，可畫出函數的圖象（見下圖），要使函數有三個不同的零點（其中），則方程需要有兩個不同的根（其中），則，解得或，且，若，即，則，則，且，故，若，即，由于，故，故不符合題意，舍去.故選A.5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，有三個不同的零點，（其中），則的值為A． B． C．-1 D．1【答案】D【解析】令f（x）=0，分離參數得a=令h（x）=由h′（x）=得x=1或x=e．當x∈（0，1）時，h′（x）＜0；當x∈（1，e）時，h′（x）＞0；當x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上為減函數，在（1，e）上為增函數．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=則a=即μ2+（a-1）μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，對于μ=，則當0＜x＜e時，μ′＞0；當x＞e時，μ′＜0．而當x＞e時，μ恒大于0．不妨設μ1＜μ2，則μ1=，=（1-μ1）2（1-μ2）（1-μ3）=[（1-μ1）（1-μ2）]2=[1-（1-a）+（1-a）]2=1．故選D．6．（2023·遼寧·校聯考二模）已知函數有三個不同的零點，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【答案】A【解析】∴∴令，，則，∴令，解得∴時，，單調遞減；時，，單調遞增；∴，，∴a﹣3∴.設關于t的一元二次方程有兩實根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，當且僅當時等號成立，由于，∴，（不妨設）.∵，可得，，.則可知，.∴.故選：A.7．（2023春·全國·高三專題練習）已知函數有三個不同的零點，，，且，則的值為（

）A．1 B．3 C．4 D．9【答案】D【解析】由得，即，記，且設，一方面由得（*），當時方程（*）有兩個不相等的實數根，，且，；另一方面，由知在上單調遞減，在上單調遞增，，，當時，，當時，，如圖：，且，，因此.故選：D8．（2023秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學校?？茧A段練習）設定義在R上的函數滿足有三個不同的零點且則的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【答案】A【解析】由有三個不同的零點知：有三個不同的實根，即有三個不同實根，若，則，整理得，若方程的兩根為，∴，而，∴當時，即在上單調遞減；當時，即在上單調遞增；即當時有極小值為，又，有，即.∵方程最多只有兩個不同根，∴，即，，∴.故選：A9．（2023秋·江西宜春·高三江西省豐城中學?？计谥校┮阎瘮涤腥齻€不同的零點，且，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．36【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以有三個不同的零點，令，則，所以當時，當時，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以，當時，令，則必有兩個根、，不妨令、，且，，即必有一解，有兩解、，且，故故選：D10．（2023·陜西·統考模擬預測）已知函數有三個不同的零點，且，則的值為（

）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】，，有三個不同的零點.令，在遞增，在上遞減，.時，.令，必有兩個根，，且，有一解，有兩解，且，故.故選：C11．（2023春·江蘇揚州·高三揚州中學?？奸_學考試）關于的方程有三個不等的實數解，，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，函數取得最大值，函數的圖象如圖所示：則，由圖象知：，因為關于的方程有三個不等的實數解，，，所以方程有兩個不等的實數解，由韋達定理得：，所以，故選：B12．（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考階段練習）若關于的方程有三個不相等的實數解，，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由方程，可得.令，則有，即.令函數，則，由，解得，，解得所以在上單調遞增，在上單調遞減，且作出圖象如圖所示，要使關于的方程有三個不相等的實數解，，，且，結合圖象可得關于的方程一定有兩個實根，，且，，，.所以，解得或若，則,解得，則此時只有1個實數根，此時原方程沒有3個不等實數根，故不滿足題意.若，則，可得，顯然此時原方程沒有3個不等實數根，故不滿足題意.要使原方程有3個不等實數根，則所以，，解得.所以，故.故選：A13．（2023·山西陽泉·統考三模）關于x的方程有三個不等的實數解，，，且，則的值為A．e B．1 C． D．【答案】B【解析】設，則，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，，畫出函數圖像，如圖所示：設，，則，即，化簡整理得到：，故，，且，，.故選：B.14．（多選題）（2023秋·山東臨沂·高三校聯考階段練習）若關于的方程有三個不相等的實數解，，，且，則的值可能為（

）A．1 B． C． D．【答案】BC【解析】由方程，可得．令，則有，即．令函數，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減．作出圖象如圖所示，要使關于的方程有三個不相等的實數解，，，且，結合圖象可得關于的方