第十一章資料的描述性分析第十一章資料的描述性分析2023/10/42第十一章資料的描述性分析第一節計量資料的統計描述方法第二節計數資料的統計描述方法

統計圖表

2023/8/32第十一章資料的描述性分析第一節計量資2023/10/43第一節計量資料的統計描述方法

常用的描述定量資料分布規律的統計方法有兩類：統計圖表：頻數分布表/圖選用適當的統計指標：集中趨勢指標：均數、中位數離散趨勢指標：極差、標準差2023/8/33第一節計量資料的統計描述方法常用的描2023/10/44頻數分布表（frequencydistributiontable）：

將變量值化分為若干個組段，清點并記錄各組段變量值的個數，稱為頻數表（frequencytable）

。第一節數值變量資料的頻數分布2023/8/34頻數分布表（frequencydist2023/10/45最小值最大值第一節數值變量資料的頻數分布2023/8/35最小值最大值第一節數值變量資料的頻數分布2023/10/461.頻數表的編制步驟（1）求數據的極差:

極差（range）是全部數據中的最大值與最小值之差，它描述了數據的變異幅度。

公式：R＝XMax－XMin

例8.1：XMax=5.59

XMin=3.60R=5.59-3.60=1.99

第一節數值變量資料的頻數分布2023/8/361.頻數表的編制步驟第一節數值變量資料2023/10/47

（2）劃分組段確定組數:

n>100，10～15組；n<100，8～10組確定組距：組距可以相等也可以不相等，一般采用等距分組，組距=極差/組數例8.11.99/10≈2，故組距=2mmol/L1.頻數表的編制步驟2023/8/37（2）劃分組段1.頻數表的編制2023/10/48（2）劃分組段

確定各組段的上下限：每個組段的起點稱為該組的下限（lowlimit）,終點稱為上限（upperlimit）,上限=下限+組距；第一組段必須包括最小值，因此其下限取包含最小值、較為整齊的數值；例8.1

第一組段下限為3.60，上限為3.60+0.20=3.80

各組段不能重疊，每一組段均為半開半閉區間，即包括下限，不包含上限。例8.1第一組段為3.60~即[3.60，3.80）；以此類推。最后一組段，須包括最大值，且要列出這一組段的下限和上限，即5.40~5.60，

[5.40，5.60]1.頻數表的編制步驟2023/8/38（2）劃分組段1.頻數表的編制步驟2023/10/491.頻數表的編制步驟最后一組段第一組段列出各組段2023/8/391.頻數表的編制步驟最后一組段第一組段列2023/10/410（3）列表劃記

1.頻數表的編制步驟將原始數據一一對應入每個組段，通過劃“正”字，來統計每個組段內的數據2023/8/310（3）列表劃記1.頻數表的編制步驟將原2023/10/411（3）列表劃記1.頻數表的編制步驟統計每個組段內的頻數（例數）

頻數的合計數等于樣本含量2023/8/311（3）列表劃記1.頻數表的編制步驟統計2023/10/4121.頻數表的編制步驟（3）列表劃記計算出每個組段的頻率

每組的頻數樣本含量2023/8/3121.頻數表的編制步驟（3）列表劃記計算2023/10/4131.頻數表的編制步驟（3）列表劃記計算出每個組段的累計頻率

=本組段的頻率+上一組段的累計頻率

2023/8/3131.頻數表的編制步驟（3）列表劃記計算2023/10/4141.頻數表的編制步驟2023/8/3141.頻數表的編制步驟2023/10/4152.繪制頻數分布直方圖

繪制頻數分布直方圖坐標軸橫坐標：變量值即研究指標，無需從0開始，以單位尺度劃分?？v坐標：為頻數f，必須從0開始（f為每一組段內的人數）直條直條的寬度：組距直條的高度：每一組段的頻數累計2023/8/3152.繪制頻數分布直方圖繪制頻2023/10/4162.繪制頻數分布直方圖2023/8/3162.繪制頻數分布直方圖2023/10/4172.繪制頻數分布直方圖2023/8/3172.繪制頻數分布直方圖2023/10/4183、頻數分布的特征從頻數表可以看到頻數分布的兩個重要的特征

集中趨勢（centraltendency）血糖值向中央部分（中等水平）集中，以中等水平的血糖值者居多，是為集中趨勢。

離散趨勢（tendencyofdispersion）從中央部分到兩側（血糖值從中等水平到較低或較高水平）的頻數分布逐漸減少，是為離散趨勢。集中趨勢和離散趨勢是頻數分布的兩個重要側面，從這兩方面就可全面的分析所研究的事物。2023/8/3183、頻數分布的特征從頻數表可以看到頻數分2023/10/4194.頻數分布的類型

頻數分布又可分為對稱分布和偏態分布對稱分布：集中位置在正中，左右兩側頻數分布大體對稱偏態分布：集中位置偏向一側，頻數分布不對稱正偏態分布：集中位置偏向年齡小的一側負偏態分布：集中位置偏向年齡大的一側不同類型的分布，應采用相應的統計分析方法。2023/8/3194.頻數分布的類型頻數分布又2023/10/4204.頻數分布的類型正態分布（normaldistribution）中間高、兩邊低、左右對稱屬于對稱分布的一種許多醫學資料都屬于這種分布，例如人體正常的生理生化指標正態分布2023/8/3204.頻數分布的類型正態分布正態分布2023/10/4214.頻數分布的類型

a.尖峭峰

b.正態峰

c.平闊峰

2023/8/3214.頻數分布的類型a.尖峭峰

2023/10/422正偏態分布正偏態分布：峰偏左，尾部向右側延伸如：以兒童為主的傳染病發病人數的分布右偏態4.頻數分布的類型負偏態分布負偏態分布：峰偏右，尾部向左側延伸如：以老年人為主的慢性病發病人數的分布左偏態（positiveskewed）（negativeskewed）2023/8/322正偏態分布正偏態分布：峰偏左，尾部向右側2023/10/4235.頻數表的用途頻數表可揭示資料的分布特征和分布類型便于進一步計算統計指標和統計分析處理（第二節）便于發現某些特大或特小可疑值，便于資料的校對。2023/8/3235.頻數表的用途頻數表可揭示資料的分布特2023/10/424一、集中趨勢指標算術均數(arithmeticmean)幾何均數(geometricmean)中位數和百分位數(medianpercentile)

以上統稱為平均數（average）常用于描述一組變量值的集中位置，代表其平均水平或是集中位置的特征值。2023/8/324一、集中趨勢指標算術均數(arithme2023/10/4251.算術均數又簡稱為均數（mean）定義：是反映一組觀察值在數量上的平均水平?？傮w均數用希臘字母

表示，樣本均數用表示計算方法：直接法：頻數表法：應用：正態分布或近似正態分布資料

(arithmeticmean)2023/8/3251.算術均數又簡稱為均數（mean）(a2023/10/4261.算術均數計算方法直接法：即將所有觀察值x1,x2,x3,…,xn直接相加再除以觀察值的個數，寫成公式

為樣本均數n為變量值個數，i為各變量值，Σ表示求和2023/8/3261.算術均數計算方法為樣本均數2023/10/4271.算術均數

例1

有9名健康成人的空腹膽固醇測定值（mmol/L）為5.61，3.96，3.67，4.99，4.24，5.06，5.20，4.79，5.93，求算術均數。

2023/8/3271.算術均數例1有9名健康2023/10/4281.算術均數

計算方法頻數表法（weightingmethod）當資料中相同觀察值的個數較多時，可將相同觀察值的個數，即頻數f，乘以該觀察值x，以代替相同觀察值逐個相加。對于頻數表資料，用各組段的頻數作f，以相應的組中值（classmid-value）作x。組中值=（下限+上限）/2公式

fi為各組段的頻數xi為各組段的組中值2023/8/3281.算術均數計算方法2023/10/4291.算術均數2023/8/3291.算術均數2023/10/4301.算術均數組中值=（下限+上限）/2如：3.60~組段的組中值=（3.60+3.80）/2=3.70以此類推2023/8/3301.算術均數組中值=（下限+上限）/22023/10/431f1,f2,…,fk分別為各組段的頻數，這里的f起到了“權數”的作用，它權衡了各組中值由于頻數不同對均數的影響。即頻數多，權數大，作用也大；頻數少，權數小，作用也小，故稱為加權法。1.算術均數用組中值，加權法計算出的均數是精確值嗎？2023/8/331f1,f2,…,fk分別為各組段的頻數2023/10/432

均數的兩個重要特性各離均差（即各觀察值x與均數x之差）的總和等于零。離均差的平方和小于個觀察值x與任何數α（α

≠x

）之差的平方和。1.算術均數2023/8/332均數的兩個重要特性1.算術均數2023/10/4331.算術均數各離均差（即各觀察值x與均數x之差）的總和等于零。偶知道另一個也能證明了！嘿嘿2023/8/3331.算術均數各離均差（即各觀察值x與均數2023/10/4341、最常用，特別是正態分布資料2、均數對極值特別敏感， 極大值或極小值通常將均數拉向自己1.算術均數均數的特征2023/8/3341、最常用，特別是正態分布資料1.算術均2023/10/435CASIOfx-3600P計算器統計功能

步驟鍵盤說明

1.MOOD3

進入SD統計功能

2.SHIFT

AC

清除原有數據

3.2.35DATA

輸入數據

4.21DATA3.32DATA

4.SHIFT1（數字鍵）顯示計算的

5.SHIFT3（數字鍵）顯示計算的S6.Kout3（數字鍵）顯示計算的n7.Kout1（數字鍵）顯示計算的2023/8/335CASIOfx-3600P計算器統計功2023/10/4362.幾何均數定義：有些醫學資料，如抗體滴度、細菌計數等，其頻數分布明顯偏態，各觀察值之間呈倍數變化（等比關系），此時宜用幾何均數反映其平均增減倍數。計算方法：直接法加權法應用：等比資料或對數正態分布資料（geometricmean）2023/8/3362.幾何均數定義：有些醫學資料，如抗體滴2023/10/437

計算方法：直接法：直接將n個觀察值（x1,x2,x3,…,xn

）的乘積開n次公式寫成對數形式為2.幾何均數幾何均數：變量對數值的算術均數的反對數。2023/8/337計算方法：2.幾何均數幾何均數2023/10/438例3

有7份血清的抗體效價分別為1:2，1:4，1:8，1:16，1:32，1:64，1:128，求平均抗體效價。本例先求抗體效價的倒數，再求幾何均數2.幾何均數血清抗體的平均效價為1：162023/8/338例3有7份血清的抗體效價分別為1:22023/10/439計算方法：加權法：當資料中相同觀察值得個數f（即頻數）較多時，如頻數表資料寫成公式2.幾何均數2023/8/339計算方法：2.幾何均數2023/10/440例4有60人的血清抗體效價，分別為7人1：5，11人

1：10，22人1：20，12人1：40，8人1：80，求平均抗體效價。2.幾何均數60人的血清平均抗體效價為1：20.7052023/8/340例4有60人的血清抗體效價，分別為2023/10/441

注意事項等比資料，如：抗體的平均滴度、藥物的平均效價、衛生事業平均發展速度、人口的幾何增長對數正態分布：是右偏態分布觀察值不能有0。因為0不能去對數，不能與任何其他數呈倍數關系。觀察值不能同時有正值和負值。若全是負值，計算是可以把負號去掉，得出結果后再加上負號。同一組資料求得的幾何均數小于算術均數。2.幾何均數2023/8/341注意事項2.幾何均數2023/10/442

若一組數值變量資料為偏態分布，變量為x，令y=lgx后，變量y服從正態分布，請問變量x為什么樣的偏態分布資料？2.幾何均數正偏態分布正態分布變量y服從則變量x服從抗體滴度⑴

人數,f⑵

滴度倒數,X⑶lgX⑷1:2.5

1:101:401:1601:640

合計141822126722.510.040.0160.0640.00.39791.00001.60212.20412.8062102.1032

2023/8/342若一組數值變量資料為偏態分布，變2023/10/4433.中位數和百分位數（1）中位數定義：是將一組觀察值從小到大按順序排列，位次居中的觀察值就是中位數。例：(（medianpercentile）)X：

5，5，6，7，20，位次：

12345中位數(M)：

66.52362023/8/3433.中位數和百分位數（1）中位數(（me2023/10/444（1）中位數計算方法：直接由原始數據計算中位數先將觀察值按大小順序排列，再按下面公式計算：2023/8/344（1）中位數計算方法：2023/10/445

例5

有7名正常人的血壓（舒張壓）測定值（mmHg）為：72,75,76,77,81,82,86，求中位數。解：n=7為奇數變量x:72,75,76,77,81,82,86

位次：1234567（1）中位數

請大家思考下：計算中位數和其他平均數有什么不同？特點：僅利用了中間的1～2個數據2023/8/345例5有7名正常人的血壓（舒張壓）2023/10/446計算方法：用頻數表計算中位數，按所分組段，由小到大計算累計頻數和累計頻率。再按下面公式計算為：（1）中位數2023/8/346計算方法：（1）中位數2023/10/447下限值L上限值Ui;fm中位數M（1）中位數2023/8/347下限值L上限值Ui;fm中位數M（12023/10/4480~

2.27~

4.55~

10.61~

28.03~

46.21~

65.15~

80.30~

89.39~

96.97~

（1）中位數累計頻數36143761861061181281322023/8/3480~2.27~4.55~102023/10/449（1）中位數反映了位次居中的觀察值的水平優點：不受兩端特大值和特小值影響缺點：并非考慮到每個觀測值適用于各種分布類型的資料，

特別適合于：大樣本偏態分布資料或者一端/兩端無確切數值的資料

3.中位數和算術均數再對稱分布的資料中，理論上數值是相 同的中位數的特征2023/8/349（1）中位數反映了位次居中的觀察值的水平2023/10/450（2）百分位數定義：是一種位置指標，用PX

來表示。將n個變量值從小到大依次排列，再把它們的位次轉換為百分位。對應于X%位次的數值即為第X百分位數。

變量值：

558…89…758位次：

123…75…150百分位次：0.7%1.3%2%…50%…100%2023/8/350（2）百分位數定義：是一種位置指標，用2023/10/451百分數示意(100-x)%x%位圖（2）百分位數

一個PX將全部變量值分為兩部分，在不包含

PX的全部變量值中有X%的變量值比它小，有(100-X)%的變量值比它大。

PX是一個界值。2023/8/351百分數示意(100-x)%x%位圖（2）2023/10/452（2）百分位數計算方法

頻數表法

公式如下Lx：第X百分位數所在組段的下限ix：第X百分位數所在組段的組距fx：第X百分位數所在組段的頻數：第X百分位數所在組段上一組段累計頻數2023/8/352（2）百分位數計算方法

頻數表法2023/10/453例3

某傳染性疾病的潛伏期（天）見表8-3，求平均潛伏期和潛伏期的第25、75與95百分位數P25，P75，P95。（2）百分位數2023/8/353例3某傳染性疾病的潛伏期（天）見表8-2023/10/454（2）百分位數2023/8/354（2）百分位數2023/10/4551、四分位數（Quartile）（三個四分位數）2、十分位數(Centile):9個十分位數3、百分位數（Percentile）99個百分位數（2）百分位數P50P25P752023/8/3551、四分位數（Quartile）（三個四2023/10/456百分位數是用于描述樣本或總體觀察值序列在某百分位置的水平，最常用的是P50即中位數；多個百分位數結合應用時，可更全面地描述總體或樣本的分布。百分位數常用于確定醫學參考值范圍（referenceranges）,(下節后述)。一般，分布中部的百分位數相當穩定，具有較好的代表性，但靠近兩端的百分位數，只在樣本例數足夠多時才比較穩定。因此，樣本例數不夠多時，不宜取太近兩端的百分位數。（2）百分位數2023/8/356百分位數是用于描述樣本或總體觀察值序列在2023/10/457常用平均數的意義及其應用場合小結2023/8/357常用平均數的意義及其應用場合小結2023/10/458第三節離散趨勢指標平均水平的指標只是描述了一組數據的集中趨勢指標，可以作為總體的一個代表值，那么這組觀察值之間的是否存在差異？描述差異的指標有哪些呢？差異究竟有多大？如何計算？2023/8/358第三節離散趨勢指標平均水平的指標只是描2023/10/459第三節離散趨勢指標盤號甲乙丙15605205102540510505350050050044604904955440480490合計250025002500均數500500500例：設甲、乙、丙三人，采每人的耳垂血，然后作紅細胞計數，每人數5個計數盤，得結果如下（萬/mm3）甲乙丙2023/8/359第三節離散趨勢指標盤號甲乙丙15602023/10/460描述計量資料數據間離散程度的指標—變異指標。常用的指標：極差四分位間距方差標準差變異系數。第三節離散趨勢指標2023/8/360描述計量資料數據間離散程度的指標—變異2023/10/4611.極差定義：亦稱為全距，即一組觀察值中最大值與最小值之差計算方法:R＝XMax－XMin

意義:R值越大，表示該組數據的變異越大。缺點:數據利用不全，僅利用了兩個極端值,部分信息損失，在例數少時結果不穩定。（Range）2023/8/3611.極差定義：亦稱為全距，即一組觀察值中2023/10/4621.極差例

三組同齡男孩的身高值（cm）

R

甲組909510010511010020

乙組96981001021041008

丙組969910010110410082023/8/3621.極差例三組同齡男孩的身高2023/10/4632、四分位數間距

四分位數（quartile

）：可看作特定的百分位數，第25百分位數P25,表示全部觀察值中有25％（四分之一）的觀察值比它小，為下四分位數,記做QL;同理第75百分位數P75為上四分位數，記做記做Qu;四分位數間距，簡記為Q,第75百分位數與第25百分位數之差。（inter-quartilerange）P50P25P752023/8/3632、四分位數間距四分位數（quart2023/10/464計算方法:Q=Qu–QL=P75%-P25%意義:Q值越大，表示該組數據的變異度越大。優點：1.四分位數間距包括了全部觀察值的一半，因此也可看成是中間一半觀察值的極差。

2.四分位數間距作為說明個體差異的指標，比極差穩定。缺點：未考慮到每個觀察值的變異度大。應用：常用于表示偏態分布資料的變異。2、四分位數間距2023/8/364計算方法:Q=Qu–QL=P75%2023/10/465例7

利用表計算四分位數間距Q。2、四分位數間距2023/8/365例7利用表計算四分位數間距Q。2、2023/10/466極差僅采用了觀察值中的最大值和最小值；而四分位數間距也僅僅采用了上、下四分位數，均沒有考慮每個觀察值，因此這兩項指標不能全面反映資料的離散程度。第三節離散趨勢指標2023/8/366極差僅采用了觀察值中的最大值和最小值；而2023/10/4673.方差若要克服以上缺點，就必須全面考慮到每一個觀察值。可用總體中每一個觀察值xi與總體均數

，之差的總和（離均差總和），反映資料的離散程度，但若計算離均差平方和，結果就不為0，但受到樣本例數多少的影響，為了消除這一影響，就取離均差平方和的均數，該指標簡稱為方差（variance）?？傮w方差用σ2

表示，樣本方差用S2表示。

（variance）2023/8/3673.方差若要克服以上缺點，就必須全面考慮2023/10/4683.方差公式奇怪：為什么樣本方差是除以n-1呢？后述2023/8/3683.方差公式奇怪：為什么樣本方差2023/10/469

方差（variance）是全部觀察值的離均差平方和的均值。表示一組數據的平均離散情況。特點：方差的分子——離均差平方和，是將每一個觀察值與均數作差之后平方：反映了全部觀察值的離散程度；但同時也將變量值的度量衡單位平方了，變成了（m）2、（kg）2…3.方差唉！這個指標還是不夠盡善盡美，繼續探索…2023/8/369方差（variance）是全部觀2023/10/4704.標準差方差的單位是原度量衡單位的平方，為了用原單位，就把總體方差開平方，取其正的平方根，這就是總體標準差，用σ表示：（standarddeviation）其單位與原變量x的單位相同。2023/8/3704.標準差方差的單位是原度量衡單位的平方2023/10/471總體標準差σ在實際的應用當中只是個“理論值”。因為實際工作中常常得到的是樣本資料，

不知道的，只能用樣本均數來估計，這樣就用代替，用樣本例數n代替N，但這樣計算得結果常比真實的σ低，英國統計學家W.S.Gosset提出用樣本例數n-1代替n來校正。應用更多的是樣本標準差S。4.標準差頻數表資料基本公式2023/8/371總體標準差σ在實際的應用當中只是個“理論樣本方差為什么要除以（n－1）

與自由度（degreesoffreedom）有關。自由度是統計學術語，其意義是隨機變量能自由取值的個數。如：n個數據如不受任何條件的限制，則n個數據可取任意值，稱為有n個自由度。若受到k個條件的限制，就只有（n－k）個自由度了。4.標準差如有一個n=4數據樣本，受到＝5的條件限制，在自由確定4，2，5三個數據之后，第四個數據只能是9，否則均數不是5，推而廣之，任何統計量的v=n-限制條件的個數。

計算標準差時，n個變量值本身有n個自由度。但受到樣本均數的限制，任何一個“離均差”均可以用另外的（n－1）個“離均差”表示，所以只有（n－1）個獨立的“離均差”。因此只有（n－1）個自由度。2023/10/472樣本方差為什么要除以（n－1）與自由度（degree2023/10/473例8有三組成人的舒張壓資料（見表8.4），求全距、方差和標準差，進行比較。4.標準差編號甲組乙組丙組甲2乙2丙216060603600360036002666872435646245184375757556255625562548279776724624159295868686739673967396合計3693683702770127486277342023/8/373例8有三組成人的舒張壓資料（見表8.2023/10/474編號甲組乙組丙組甲2乙2丙216060603600360036002666872435646245184375757556255625562548279776724624159295868686739673967396合計369368370277012748627734全距262626方差117.2100.388.5標準差10.8310.019.414.標準差三組舒張壓值的全距R相同，不能反映出各組數據的離散程度的區別；方差和標準差考慮了每個數據和均數的相差情況，三組的S2和S明顯不同，全面的反映了資料的變異情況。2023/8/374編號甲組乙組丙組甲2乙2丙21606062023/10/475例利用表8-2資料和加權法計算標準差。4.標準差2023/8/375例利用表8-2資料和加權法計算標準差。2023/10/476意義：從上例可以看出，方差、標準差越大，其觀察值之間的變異就越大，則平均數的代表性就越差。4.標準差2023/8/376意義：從上例可以看出，方差、標準差越大，2023/10/477

用途：反映一組觀察值的離散程度，標準差小，數據間的離散程度小，均數的代表性好。用于計算變異系數用于計算標準誤結合均值與正態分布規律估計醫學參考