PAGEPAGE4眼科病床的合理安排摘要本文主要是考慮如何對醫院病床進行合理性安排。對于問題一，制定出三個指標作為合理性評價的指標體系：病人平均等待入院天數、平均等待手術天數和平均排隊長度。并對選取這三個指標作為評價體系的合理性做出解釋。在此基礎上，從不同的角度出發，建立兩種評價模型。對于問題二，依據問題一中確定的前兩個指標最優為目標，提出分類FCFS規則，在外傷住院優先原則、手術時間特殊限制、每天住滿原則和當天入院等于當天出院等原則下確立約束條件，建立病床合理安排的雙目標0-1規劃模型。對于該復雜模型，給出了一種等效的動態搜索算法來求解。對求解的結果，根據建立的合理性評價體系，運用評價模型一和評價模型二進行評價，評價等待入院天數減少了3.9866天，平均等待手術天數減少了0.6931天，平均排隊長度減少了50.6885人。對于問題三，根據本文給出的數據，采用概率統計的思想，分別針對病人入院概率比較集中和入院概率比較分散兩種不同情況，給出了兩種相應的算法，在病人門診時可以告知其大致入住時間區間，并且準確性比較高。對于問題四，在第二問的基礎上，從入院時間和手術時間上作出調整。僅僅從入院時間上作調整時，不能達到合理的床位安排。只能同時調整入院時間和手術時間，將調整后的約束代入問題二的動態搜索算法，求得周六、周日不手術條件下的較合理的病床安排方案，應用問題一的評價模型對安排方案進行評價。對于問題五，首先對問題進行了簡化，在此基礎上建立仿真模型，將各類疾病的患者比例定為病床的初步分配比例，進而求出安排后的所有病人的逗留時間區間，調整病床分配比例使得該區間上下限達到最小，此時即為求得的病床分配比例。I～V類的病床分配比例分別為：10，21，15，8，25。關鍵詞：分類FCFS規則雙目標0-1規劃模型動態搜索算法概率統計仿真一、問題重述考慮某醫院眼科病床的合理安排的數學建模問題。該醫院眼科門診每天開放，住院部共有病床79張。該醫院眼科手術主要分四大類：白內障、視網膜疾病、青光眼和外傷。四種不同的疾病手術前的準備、手術時間和痊愈時間各有不同。附錄中給出了2008年7月13日至2008年9月11日這段時間里各類病人的情況。白內障手術較簡單，而且沒有急癥。目前該院是每周一、三做白內障手術，此類病人的術前準備時間只需1、2天。如果要做雙眼是周一先做一只，周三再做另一只。外傷疾病通常屬于急癥，病床有空時立即安排住院，住院后第二天便會安排手術。其他眼科疾病比較復雜，有各種不同情況，但大致住院以后2-3天內就可以接受手術，主要是術后的觀察時間較長。這類疾病手術時間可根據需要安排，一般不安排在周一、周三。該醫院眼科手術條件比較充分，在考慮病床安排時可不考慮手術條件的限制，但考慮到手術醫生的安排問題，通常情況下白內障手術與其他眼科手術（急癥除外）不安排在同一天做。當前該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS（Firstcome,Firstserve）規則安排住院，但等待住院病人隊列卻越來越長，醫院方面希望你們能通過數學建模來幫助解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫院資源的有效利用。問題一：試分析確定合理的評價指標體系，用以評價該問題的病床安排模型的優劣。問題二：試就該住院部當前的情況，建立合理的病床安排模型，以根據已知的第二天擬出院病人數來確定第二天應該安排哪些病人住院。并對你們的模型利用問題一中的指標體系作出評價。問題三：作為病人，自然希望盡早知道自己大約何時能住院。能否根據當時住院病人及等待住院病人的統計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區間。問題四：若該住院部周六、周日不安排手術，請你們重新回答問題二，醫院的手術時間安排是否應作出相應調整?問題五：有人從便于管理的角度提出建議，在一般情形下，醫院病床安排可采取使各類病人占用病床的比例大致固定的方案，試就此方案，建立使得所有病人在系統內的平均逗留時間（含等待入院及住院時間）最短的病床比例分配模型。二、模型假設1、假設該醫院眼科手術條件比較充分，在考慮病床安排時不考慮手術條件的限制，即每天的手術次數只受醫生安排的限制。2、不考慮出院、入院的時間差，認為當天入院的病人在康復者一出院的情況下，立即入院就醫，即當天的住院情況是出、入院變換后的狀態。3、前60天的病人的痊愈時間不會改變。三、名詞與符號說明1、名詞解釋：分析問題易知，如果某一類型的疾病人數相對比較多，要使得所有病人的平均逗留時間最短，則該類型的病床比例也就相對大一點；如果某一類型的疾病康復時間比較長，則這一類型的病床比例就相對大一點。在系統中所有病人的逗留時間服從統計規律的前提下，考慮將問題進行簡化：即先可以按各類病人的比例分配出各類病床的比例，而這種分配比例并不能說明就是使得所有病人的平均逗留時間最短，進一步可以得到系統中所有病人的逗留時間服從均勻分布，通過對各類病床比例進行調整，最后得出相對較優的病床比例分配。五、模型的建立與求解1、問題一的模型建立與求解1.1平均等待住院天數平均等待入院天數，表示病人門診后到入院所等待的平均時間。其計算公式為：平均等待入院天數數值越小，一方面說明病人排隊時間短，另一方面說明醫院床位安排越緊湊、越合理。按照公式求出當前病床安排下，平均等待入院天數為：3738/349＝10.7106（天）。1.2平均等待手術天數平均等待手術天數，表示病人住院后到手術所等待的平均時間。其計算公式為：病人入住醫院后，若不能及時手術，將會推遲出院時間，影響其他病人的入住。同時也占用了床位，使得其他病人不能就醫。一方面造成了病床資源的浪費，另一方面影響了其他病人的就醫。我們認為這種情況是不合理的，分析數據發現，病人最大的等待手術時間是7天，在這段時間內，病人既沒有得到有效的就醫，同時又占用了一個床位，這種住院安排顯然是不合理的。因此，等待手術的時間應越短越好。按照公式求出當前病床安排下，平均等待手術天數為：852/49＝2.4413（天）。1.3平均排隊長度平均排隊長度，表示每天除了住院以外等待住院的平均人數。其計算公式為：根據題目，該住院部對全體非急癥病人是按照FCFS規則安排住院的，在這種安排下，排隊的隊列長度變得越來越長，說明這種規則下的安排存在不合理性，也說明排隊長度的長短能夠體現病床安排的合理性。因此，我們提取每天病人的排隊長度來衡量病床安排的合理性。按照公式求出當前病床安排下，平均排隊長度為：5377/61＝88.1475（人）。1.4評價模型1.4.1評價模型一根據題目所給數據，即可以求出以上三個指標的數據值。對三個指標確定不同的權重就可以得出一個綜合的評價值。由于安排的合理性是相對的，根據某一數據確定的權重是不可靠的。由此，對于我們所確定的指標，可將它們單獨與另一種安排情況得出的指標值進行比較，得出不同安排情況的相對合理性。1.4.2評價模型二分析本問題，每天來醫院門診的人數是已經發生過的事了，是不會再改變的，若要使安排更合理，改變的是病人的入院、手術和出院時間。因此，在這61天當中，每天來門診的人數是最可靠的數據，其它的時間數據在醫院的不同安排下將發生改變。因此，我們可以從整體上分析當前床位安排的合理性。分析題目所給的安排情況，這61天來門診的總人數為：349+79+102＝530人。當前床位安排下，已住院的人數為：349+79＝428人，已出院人數為：349人。那么，當前床位安排下，住院率為：428/530×100％＝80.75％，出院率為：349/530×100％＝65.85％，最后一天累計的排隊長度為：102。根據這三個數據值我們給出定性評價，當前病床安排情況下，住院率大于出院率，這種情況的直接結果就是導致累計的排隊長度越來越長。由此，我們可以得出結論：當前病床安排缺乏合理性，較合理的安排情況下，應使得住院率和出院率盡可能相等，且排隊長度盡量的小。2、問題二的模型建立與求解2.1模型準備2.1.1數據分析根據已知數據可得：每天住院人數均達到最大容量79人。下面給出證明。由題目要求可知外傷疾病屬于急癥，若病床有空時則立即安排住院。而分析數據發現，外傷病人均是當天門診，隔天才住院。由此我們得出：從7月13日到9月11日，每天住院人數均達到最大容量79人。根據題目所給數據，9月11日的病人住院情況已經給出，見表1。表19月11日的住院情況疾病外傷白內障(雙眼)白內障視網膜疾病青光眼類型IIIIIIIVV住院人數8227339題目所給數據中，9月11日出院7人，住院7人，出院人數剛好等于住院人數。而根據表1中數據，9月11日的住院人數為79人，達到最大住院人數。那么9月10日的住院人數也應為79人，否則9月11日的住院人數就不是79人。依次逆推，發現每天的住院和出院人數均相等，一直到8月8日都是出院人數等于住院人數。將7月13日到8月7日的住院人數和出院人數做差，得數據表2。表27月13日到8月7日住院人數和出院人數之差的數據日期7－137－147－157－167－177－187－19人數差0100111日期7－207－217－227－237－247－257－26人數差1211227日期7－277－287－297－307－318－18－2人數差10874757日期8－38－48－8－68－7人數差44111將表2的數據累加得，總人數剛好等于79人，也就是說，7月12日住院的人數也應為79人，這樣才能保證從7月13日到8月7日總共多空出79個床位給7月13日之后門診的人入住。同時，7月13日到8月7日這段時間內，每天的住院人數也是滿的，且每天的入院人數應等于每天的出院人數，否則，表2數據累加也不會等于79。另外，表2中7月13日人數差為“0”，并不是指，這一天沒有人出院，其實這一天也有人出院和入院，只是由于這一天中出院、入院的人數是相等的，且7月13日之前門診的病人的統計數據沒有給出，而7月13日這一天門診的外傷病人由于當前已經沒有空床，所以這一天門診的病人既沒有入也沒有出，之差為0。同樣分析數據“1”，指的是，7月14日出院的病人比7月13日之前門診的病人入院人數多1個。這樣，根據外傷優先住院原則，7月13日門診的外傷病人就可以入院。通過以上證明和分析，每天的住院人數均為79人，達到最大床位容量。每天來門診的外傷病人，由于當天沒有空床，只能隔天入院，這跟題目所給數據分析后的結果是吻合的。在證明的過程中同時得出，每天的入院人數等于出院人數。由此我們可以進一步得出以下兩個結論：1）不用給外傷病人預留床位由于外傷病人門診時，當天沒有空床，所以只能隔天入院。而隔天出院的人數根據他們痊愈的狀況可得出。那么根據已知條件，隔天的入院人數就等于隔天的出院人數。再根據外傷住院優先原則，隔天空出來的床位應先安排給外傷病人就住，其它空出的床位再分給其它病人，若隔天沒有空出床位，則再考慮下一天的出院人數。由此，下一天的入院人數均可由當天的門診情況和下一天的出院人數確定，而不必給外傷病人預留床位。2）可從9月11日開始，逆推出每天的住院情況設第天每種類型病人的住院人數為，，第天的每種類型病人入院人數和出院人數分別為和，。根據結論，第天的住院人數與第天出、入院變換之前的人數相等，而第天的住院情況就是第天出、入院變換之前的狀態，所以第天五種類型病人的住院人數可根據公式：下面以逆推9月10日的住院情況為例。將9月10日的入院人數和出院人數按照I～V五種類別統計人數，見表3。表39月10日的入院人數和出院人數按類統計疾病外傷白內障(雙眼)白內障視網膜疾病青光眼類型IIIIIIIVV入院人數02320出院人數14011再結合表1數據，求得9月10日的住院情況，見表4。表49月10日的住院情況疾病外傷白內障(雙眼)白內障視網膜疾病青光眼類型IIIIIIIVV住院人數92443210用同樣的逆推方法，可計算出7月13日到9月9日的每一天的病人住院情況。2.1.2數據處理為了便于闡述和編程，需要對時間數據進行編碼。首先分別對日期和星期的信息進行編碼，編碼方式如下：1）日期的編碼將7月13日到9月11日這61天順序編碼為：。2）星期的編碼查閱日歷得，2008年7月13日是星期天，對這一天的星期編碼為‘7’。從這一天開始按照7天一個星期的輪回進行編碼，即，。2.1.3估計第61天（9月11日）已住院病人的出院時間每個人的生理機體都是不一樣的，且在不同的時間段內，其痊愈的能力也會有所不同，從而導致痊愈的時間是隨機的。同時，對于每種類型的病人，可認為其痊愈時間服從一定的概率分布。我們取前60天外傷病人的痊愈時間進行分析，對數據做頻數統計，見圖1。圖1外傷痊愈時間頻數分布圖由圖1，根據統計學原理，當樣本容量大于40，即可認為是大樣本。在大樣本情況下，依據古典概率，可認為頻率近視等于概率。由此，可得，外傷病人不同痊愈時間發生的概率為：表5外傷病人不同痊愈時間發生的概率痊愈時間3天4天5天6天7天8天9天10天概率0.040.220.180.160.200.090.050.05其它類型病人的痊愈時間發生的概率均可類似求出。在此基礎上，分析這些概率值，它們也是隨機的。我們用計算機產生隨機數來模擬這種隨機性。以外傷病人為例，對其痊愈時間進行模擬，設某人的痊愈時間為，用以下模擬方法來估計的值。令按照此估計方法，我們可估計出第61天住院的病人的痊愈時間，見附表1。同樣的，也可估計出102名排隊病人的痊愈時間。得知痊愈時間后，若知道病人手術的時間，即可估計出病人的出院時間：出院時間＝最后一次手術時間＋痊愈時間。2.2模型建立根據問題可設以下0－1決策變量：，，，，其中病人類型分別對應I，II，III，IV，V。設總住院病人數為，按照問題一中的指標一，應使病人等待入院的天數越少越好，有目標函數1：按照指標二，應使病人等待手術的天數越少越好，有目標函數2：下面考慮此規劃問題的約束。1）約束1：分類FCFS規則對病人的排隊序列進行分類，再按照FCFS規則安排住院。這樣，在安排病人住院時，就會避免出現安排了的病人不做手術卻占用病床的情況。這個規則不用考慮第一類病人，因為第一類病人由外傷優先住院原則就可對其安排進行約束。所以只需考慮另外四種類型的病人。設第天的出院病人數為，到天為止累計的總排隊長度為，每種類型的累計病人數分別為，即。根據規劃，先安排的是外傷病人的病人數，若有剩余床位，才安排其它類型的病人入住，這時就要考慮分類的FCFS規則。設向量，有約束：，，（1）2）約束2：外傷住院優先原則（2）其中，，，3）約束3：等待手術時間最短原則根據問題一分析，為了使病床的安排更為合理，應使病人等待手術的天數最少。也就是要確定哪天的空床可以安排給病人入住，使得他們等待手術的時間最短。對于不同的病人其手術時間有特殊的限制，下面我們分類型討論每種類型的入院時間范圍。①考慮第I類病人。這類病人屬于急癥，如果當前有空床位，則立即入住，隔天就能手術。其手術日期不受星期限值，則任何一天的空床位都可以安排給這一類病人入住，對于病人來說，入院的星期范圍就是：。②考慮第II類病人。這類病人是白內障雙眼手術患者，其手術時間規定為星期一和星期三，星期一做一只，星期三做另一只。若太早安排其入院，則等待手術的時間就較長。根據題目，手術前的準備時間是1～2天，那么，若星期六和星期天有空床，則醫院就應先將病床安排給這類病人入院，這樣其入院后等待手術的時間較短為1～2天。對于病人來說，也就是限制其入院的星期范圍是：。③考慮第III類病人。這類病人是白內障患者，其手術時間是星期一或星期三，那么同樣可以確定其入院的星期限制是：。④考慮第IV類病人。這類病人是視網膜疾病患者，其手術時間不能在星期一和星期三，其它時間均可以做手術，手術前的準備時間是2～3天，若星期二、三、四、五這四天中有空床，則醫院應先將病床安排給這類病人入住，入院后等待手術的時間較短，為2～3天。對于病人來說，其入院星期范圍就是：。⑤考慮第V類病人。這類病人與第IV類病人的范圍是一樣的，即。綜上考慮，取出這五類病人被安排入院的星期下限和上限，分別建立向量，，可得出約束3：（3）4）約束4：每天住滿原則因為存在排隊現象，故合理的安排應能滿足每天住滿的原則，即每天住院的病人應等于79：，（4）5）約束5：當天的住院人數應等于當天的出院人數（5）6）約束6：（6）7）約束7：（7）通過以上分析可建立雙目標的0－1規劃模型如下：2.3模型求解求解上述模型存在一定的復雜性，因此，我們給出一種等效求解此模型的算法。建立每天住院情況矩陣，530表示門診的總人數，7列分別表示：序號、類型、門診時間、入院時間、第一次手術時間、第二次手術時間和出院時間，其中已知病人類型和門診時間。需要重新安排入院時間、手術時間和出院時間。建立7月13日之前門診的病人在7月13日到8月7日這26天的出院與入院人數差矩陣，即表2數據。擴展到61天得到矩陣。建立每個病人術后痊愈時間矩陣，前349人的痊愈時間由出院時間與手術時間作差得出，后181人的痊愈時間按照之前我們給出的計算機模擬方法估計出。根據這些已知數據，設計床位安排算法，其步驟如下：：，計算第天的出院人數，。判斷，轉；否則，，繼續循環；，結束算法，得到矩陣。：首先滿足外傷住院優先原則，判斷第天有無外傷門診病人，，轉；否則，轉。：計算第天外傷門診人數，，則將多出來的外傷門診病人放入第天的排隊序列，轉。，先記錄這些外傷病人的門診次序號，保存于，再將他們安排在第天入住，相應的手術時間為，出院時間為：，，第的出院人數加，更改矩陣，。第天排隊人數減少個，剩余空床數。此時如果沒有空床，即，轉；否則轉；：根據分類FCFS原則，對第天的排隊序列按類型分類，分類時按每類病人的FCFS原則進行統計，計數結果為：，。在此基礎上，再根據之前分析的等待手術時間最短原則確定出的每類病人的入院星期限制，，判斷哪些類的病人可以被安排入院。判斷時可從每一類的第一個門診的病人開始判斷，如果病人當天入院的星期在的范圍內，則安排其入住，統計累計入住人數，直到。同樣更改的數據，將其他沒入住的病人放入第天的排隊序列，轉。上述算法充分考慮了雙目標0－1規劃模型的目標和約束，其程序參照附錄。按照上述算法進行求解，得到61天的住院安排情況。然后就可根據已知的第二天擬出院病人數來確定第二天應該安排哪些病人住院。由于數據量太大，附表2中只列出7月26日到7月2.4評價問題二的結果1）用評價模型一評價合理性根據附表2的數據，可求出評價模型一中的三個指標值。我們安排的情況下，當前累計住院492人次，而當前正住院的人數是79，所以已出院人數為413人，即當前能統計到的有出院時間和入院時間的人數為413人。平均等待住院天數為：＝2777/413＝6.7240（天）平均等待手術天數為：＝722/413＝1.7482（天）平均排隊長度為：＝2285/61＝37.4590（人）將上述三個指標值與題目所給安排情況下計算出的三個指標值（10.7106，2.4413，88.1475）對比，每個指標值都比題目所給安排情況下的三個指標值要小，故我們可以得出結論：根據我們設計的算法的病床安排情況是比較合理的。2）用評價模型二評價合理性根據我們算法得出的安排情況，已住院的人數為：492人，已出院人數為：413人，住院率為：492/530×100％＝92.83％，出院率為：413/530×100％＝80.75％，最后一天累計的排隊長度為：38。分析以上數據，按照我們的算法安排的住院情況，住院率和出院率都要高于題目所給的安排情況，且住院率和出院率的值更接近。同時，最后一天累計的排隊長度為38，相對題目所給情況要小很多。我們將兩種不同安排情況下，每天的排隊長度分布情況作圖2、3進行比較。為了方便描述，設題目所給病床安排情況為方案一，根據我們的算法得出的安排情況為方案二。圖2圖3由圖2、3可以看出，方案一由于安排病床不合理，導致排隊長度降低的趨勢趨于平緩；而方案二，隨著門診人數的增多，排隊長度出現增長的趨勢，但是通過合理的安排床位，我們設計的方案二能夠使得排隊長度降低，且根據我們的算法，在未來的時間里，排隊長度也不會有很大的增長，能夠趨于一個平穩的值。由此，我們得出結論：根據我們設計的算法的病床安排情況是比較合理的。3、問題三的模型建立與求解3.1估計病人入住時間區間外傷病人可以及時入院，故在考慮等待入院時間時，可不將外傷病人的等待時間計入。對題目中所給出的數據進行統計，其等待入院時間呈現出如圖4所示的分布，由圖可看出該分布近似呈正態分布。根據該分布我們可以對某門診病人的入院時間范圍進行估計并能給出該病人在該時間段內入院的概率。圖4將其頻率作為概率，得該分布服從期望、方差的正態分布。由此，可計算出某門診病人等待入院的時間在、范圍內的概率分別為：經計算：，，，，則該門診病人在,的概率下，其等待入院時間的區間分別為：[11.5788，13.7198]，[10.5083，14.7903]?？紤]到天數為整，將天數向正無窮取整，等待入院時間的區間分別變為：[12，14]，[11，15]。在兩種概率下，的范圍均比較合適。由上可知，在FCFS規則下，根據第天住院病人人數以及排隊長度，可以告訴這一天門診病人的大致入住時間。3.2算法1對于第天，患者來門診，其入住時間區間使用以下方法進行運算，稱之為算法1：如果，可以根據這個病人的情況，計算出到第天累計出院個人，則患者的入住時間為第天到第天。如果，可以根據這個病人的情況，計算出到第天累計出院人數。若，此時剩余的等待入院病人數，住院病人人數仍是，依此類推，當時，時間為第天。在這一天的基礎上，再按照第一種情況得出患者的入住時間應為第天至第天。根據算法1，從所給數據中隨機的選擇第26天某個病人進行檢驗。第26天是8月7日，這天的第五個病人是視網膜疾病患者，此時不包括他共有105個人等待入院，有79個人已從8月7日到8月15日,累計出院病人83人，超過79人，則剩余等待入住人數是從8月15日到8月19日，累計出院病人23人，可知該患者將在8月19日至8月20日實際中該患者在8月20日入院，與計算所得告知結果相符，表明該方法是可行的。根據病人等待入院時間作出其分布，該分布所反映出的結果是“可以告知病人入住時間范圍”的充分條件。當分布得出的結果比較集中時，那么病人入住時間的范圍可以告知；當分布得出的結果比較分散時，不能確切地告知病人其入住時間的范圍。病人的等待時間受床位安排的影響，其所表現出來的統計規律是變化的，也就是其概率分布是變化的，說明如下：根據問題二建立的模型，病人的等待入住時間分布如圖5所示。圖5將其頻率作為概率，得該分布服從期望、方差的正態分布。由此，可計算出某門診病人等待入院的時間在范圍內的概率分別為：經計算：，。考慮到天數為整，將天數向正無窮取整得：，。由于所得到的范圍過大，無法確切告訴病人入住時間范圍。但根據問題二的床位分配原則，結合算法1是能夠告知病人入住時間范圍的。從問題二所得到的數據中隨機的選擇第26天某個病人進行說明。第26天是8月7日，這天的第五個病人是視網膜疾病患者，此時不包括他共有72個人等待入院，有79個人已從8月7日到8月13日，累計出院病人73人，即該患者將在8月13日至8月14日即可入院。實際中該患者在8月13日入院，這表明對于問題二得出的床位安排情況，在已知等待入院人數和住院人數的前提下，是可以告知患者入院時間的范圍的。對于患者入院時間范圍的估計，應綜合考慮其等待入院人數分布及其病床安排情況。3.3算法2算法1雖然精確，但過于復雜，給計算帶來困難，因此設計算法2，并以問題二得出的數據來說明此算法。每天的出院人數的分布圖，如圖6所示。圖6由上圖可以看出每天的出院人數以某一值為中心上下波動，可近似的認為它在區間[4,25]上服從均勻分布。第26天是8月7日，這天的第五個病人是視網膜疾病患者，此時不包括他共有72個人等待入院，有79個人已估計等待入院時間的算法2：：初始，8月7日這一天的等待入院人數為，累計出院人數為，的初始值為0，循環次數為；：，；：若，則結束，輸出值；否則轉；在初始條件不變的情況下不斷地運行，直到出現重復，并記錄最大和最小的值，則該患者的入住時間位于當天的時間加上最大的和最小的之間。使用算法2可得該患者的入院時間范圍是8月12日至8月14日，實際中該患者的入院時間是8月13日利用本文給出的數據，可以根據當時住院病人及等待住院病人的統計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區間。利用問題二求解出的數據，也可以根據當時住院病人及等待住院病人的統計情況，在病人門診時即告知其大致入住時間區間。4、問題四的模型建立與求解4.1模型建立解決本問題可建立在第二問模型的基礎上進行改進：考慮周六、周日不手術這個新條件。根據問題分析，考慮從病人入院時間的調整和手術時間的調整兩個方面入手。1）入院時間的調整在問題二中，我們分析了使得等待手術時間最短的情況下，每種類型的病人的入院星期范圍，，在此基礎上，結合問題四重新考慮他們的入院星期范圍。①第I類病人。由于外傷病人住院優先，若這類病人在星期五、星期六這兩天來門診，隔天同樣要安排其入院，但是星期六、星期天不手術，所以他們的手術時間就要推到星期一，且必須是星期一。而其它時間來門診不會影響其手術時間。故可得，安排這類病人入院的星期范圍不變：，但星期五、星期六這兩天門診的病人的手術時間和出院時間會發生變化。②第II類病人。按照問題二分析，，手術時間是星期一和星期三。若同樣將星期六、星期天的空床安排給這類病人，不會影響其手術時間，故這類病人被安排入院的星期范圍不會改變，。③第III類病人。這類病人按問題二安排入院同樣也不會影響手術時間，即入院星期范圍不會改變，。④第IV類病人。按照等待手術時間最短原則，這類病人的術前準備時間是2天，若按問題二的入院安排，星期四、星期五入院的病人就必須等到下個禮拜才能手術，從而增加了病床占用時間。所以，在星期四、星期五這兩天中不能安排這類病人入院，從而。⑤考慮第V類病人。這類病人與第IV類病人的范圍是一樣的，即。綜上，第IV類和第V類病人安排在星期二和星期三入院，星期四和星期五這兩天就只有第I類病人入院，不一定能滿足每天住滿的原則。另外，星期二和星期三這兩天出院數目的變化不大，但是當天等待入院的人數卻增多了，所以排隊的長度會越來越長。應用問題二的算法，可得到，最后一天累計排隊長度為：143人。根據以上分析，調整入院時間不能達到合理的床位安排。2）手術時間的調整根據以上分析，為了更合理的安排第IV類和第V類病人的入院時間，考慮對白內障手術時間進行調整。表6第IV、V類病人的入院星期和手術時間入院星期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日若準備2天則手術時間星期三星期四星期五星期六星期日星期一星期二若準備3天則手術時間星期四星期五星期六星期日星期一星期二星期三由表6可以看出，若根據等待手術時間最短原則，那么第IV、V類病人的手術準備時間是2天，由于星期六和星期天這兩天不安排手術，所以第IV、V類病人的入院時間均不能安排在星期四、星期五。①若將白內障手術的時間改為星期二和星期四。那么第IV、V類病人的手術時間就不能是星期二和星期四，反推可得：第IV、V類病人的入院時間不能安排在星期二、日。由此，第IV、V類病人的入院時間可以在星期一、三、六。再考慮第II、III類病人，見表7。表7第II、III類病人的入院星期和手術時間入院星期星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日若準備1天則手術時間星期二星期三星期四星期五星期六星期日星期一由表7，白內障病人不能安排在星期五、六入院，白內障（雙眼）應安排在星期一、日入院，單眼應安排在星期一、二、三入院。②若將白內障手術的時間改為星期三和星期五。那么第IV、V類病人的手術時間就不能是星期三和星期五，反推可得：第IV、V類病人的入院時間不能安排在星期一、三。由此，第IV、V類病人的入院時間可以在星期二、六、日。再考慮第II、III類病人，白內障病人不能安排在星期五、六入院，白內障（雙眼）應安排在星期一，二入院，單眼應安排在星期一、二、三，四入院。綜合比較上述兩種手術時間的調整，將白內障手術的時間定在星期三和星期五，要比定在星期二和星期四合理。因為調整到第二種狀態下，在任一個星期內，若有空床位，每天基本上都能安排病人入院，除了星期五這一天。對于這一天，可以把第IV、V類病人安排入院，并使他們的等待手術時間均為3天。3）新的約束通過上述調整，每類病人可被安排入院的星期范圍分別是：；；；；4.2模型求解將上述分析得到的新的約束代替舊的約束，對問題二的動態搜索算法進行一定的改進，可求出本問題的床位安排方案，設為方案三。附表3給出7月13日到7月18日的病床安排情況。應用問題一的評價模型一對方案三進行評價，求得三個指標值分別為：（8.2301，1.8329，64.7568）。根據指標值分析，周六、周日不手術的情況下，比題目所給的病床安排方案要合理，但是不如問題二得出的方案合理。5、問題五的模型建立與求解5.1模型的準備5.1.1各類病的比例通過統計題目附表中的530名患者的所屬疾病類型，可以得出患各類疾病的人數及比例，具體的數據見下表8。表8五類病人的人數疾病類型外傷白內障(雙眼)白內障青光眼視網膜疾病人數6413310063170比例12．08%25．09%18．87%11．89%32．08%5.根據以上的分析，各類病床的比例與各類疾病的人數正相關，因此可以認為各類疾病患者數的比例即確定為各類病床的比例，由此得到具體的初步病床比例分配方案如下表9。表9初步病床比例分配方案疾病類型外傷白內障(雙眼)白內障青光眼視網膜疾病所占比例12.08%25.09%18.87%11.89%32.08%分配病床數1020159255.2建立仿真模型分析數據可知逗留時間服從在均勻分布。取題目中7月13日到8月13日的門診病人作為仿真的對象，并假設7月13日仿真算法如下所示：：初始比例值按各類病人所占比例給出；：按照所給比例，計算其中的最長逗留時間和最短逗留時間；：使用函數，模擬出每人的逗留時間，并取平均值；：調整比例，轉；：如果最長逗留時間和最短逗留時間不再發生變化，則結束，輸出個類病人所占病床的比例；否則轉。定理：在重復次數不變的情況下，對于區間上的均勻分布，若中有任意一個減小，則所得到個值的平均值減小。證明：若減小或減小，則減小，于是減小。證畢。5.3仿真模型結果通過仿真模型，解得每類病人的病床比例見表10。表10仿真每類病人的病床比例類型外傷白內障（雙眼）白內障視網膜疾病青光眼初始比例102015925仿真比例102115825六、模型的評價與改進1.模型評價1.1優點：1）問題一中，對選取的指標的合理性做出了一定的解釋，并從不同角度出發，建立了兩個評價模型。2）針對病床安排中的FCFS規則存在的不足，提出了分類FCFS規則。3）給問題二的模型設計了一種等效求解的動態搜索算法。4）合理的運用了概率統計知識，對問題的簡化和求解起到一定的作用。1.2缺點：1）本文沒有考慮病人病情的嚴重性。2）在設計動態搜索算法時，沒有較好的體現病人等待入院時間較短的目標，偏向于考慮等待手術時間較短。等待手術時間的變短有可能是建立在增加了等待入院時間的基礎上，但是，這種情況也只是極個別的。我們的算法從總體上能使等待入院的時間變短，因為極個別的病人縮短了等待手術的時間，能給更多的病人人縮短入院時間，從使得排隊的長度變短，排隊的長度變短相當于提前了病人住院的時間，等待入院時間也就變短。根據我們的算法，隨著時間的增加，等待入院天數的是越來越少的。所以，我們求得的結果也是較優的。2.模型改進對于問題五，可以考慮用規劃模型來尋求最優的病床比例分配方案，以所有病人平均最短逗留時間為目標，而對于某一種病床比例分配方案，在此方案中要運用第二問中的病床分配模型將病人都安排好才能計算出所有病人的最短平均逗留時間。參考文獻[1]峁詩松，程依明，濮曉龍，概率論與數理統計教程，北京：高等教育出版社，2005，12。[2]馬振華，運籌學與最優化理論卷[M]北京：清華大學出版社,1998。[3]薛定宇，陳陽泉，高等應用數學問題的求解，北京：清華大學出版社，2007.1。[4]韓中庚，數學建模方法及其應用[M].北京：高等教育出版社，2005，6。附表1：9月11日住院的病人的估計痊愈時間床位12345678910痊愈時間13122481235103床位11121314151617181920痊愈時間293810712935床位21222324252627282930痊愈時間33796211238床位31323334353637383940痊愈時間113813278962床位41424344454647484950痊愈時間2724131352103床位51525354555657585960痊愈時間6226693378床位61626364656667686970痊愈時間96310222393床位717273747576777879痊愈時間12336485810附表2：7月26日到7月類型門診時間入院時間第一次手術時間第二次手術時間出院時間青光眼2008-7-262008-8-62008-8-82008-8-16白內障2008-7-262008-8-32008-8-42008-8-8白內障2008-7-262008-8-42008-8-62008-8-9青光眼2008-7-262008-8-62008-8-82008-8-15外傷2008-7-272008-7-272008-7-282008-8-2青光眼2008-7-272008-8-62008-8-82008-8-17白內障2008-7-272008-8-42008-8-62008-8-9白內障(雙眼)2008-7-272008-8-92008-8-112008-8-132008-8-15白內障2008-7-272008-8-42008-8-62008-8-8視網膜疾病2008-7-272008-8-62008-8-92008-8-19外傷2008-7-272008-7-282008-7-292008-8-5視網膜疾病2008-7-272008-8-62008-8-92008-8-20白內障(雙眼)2008-7-272008-8-92008-8-112008-8-132008-8-16青光眼2008-7-282008-8-62008-8-92008-8-17視網膜疾病2008-7-282008-8-62008-8-92008-8-22外傷2008-7-282008-7-292008-7-302008-8-6青光眼2008-7-282008-8-62008-8-92008-8-16外傷2008-7-282008-7-292008-7-302008-8-5視網膜疾病2008-7-282008-8-62008-8-92008-8-22青光眼2008-7-282008-8-62008-8-92008-8-17視網膜疾病2008-7-282008-8-62008-8-92008-8-21白內障(雙眼)2008-7-282008-8-92008-8-112008-8-132008-8-16青光眼2008-7-282008-8-62008-8-92008-8-16視網膜疾病2008-7-282008-8-62008-8-92008-8-21視網膜疾病2008-7-282008-8-72008-8-92008-8-18青光眼2008-7-292008-8-72008-8-102008-8-20白內障(雙眼)2008-7-292008-8-92008-8-112008-8-132008-8-16視網膜疾病2008-7-292008-8-72008-8-92008-8-22白內障2008-7-292008-8-42008-8-62008-8-9青光眼2008-7-292008-8-72008-8-92008-8-20白內障2008-7-302008-8-42008-8-62008-8-10視網膜疾病2008-7-302008-8-72008-8-102008-8-17白內障2008-7-302008-8-42008-8-62008-8-8外傷2008-7-302008-7-312008-8-12008-8-11白內障(雙眼)2008-7-302008-8-92008-8-112008-8-132008-8-16外傷2008-7-302008-7-312008-8-12008-8-6外傷2008-7-312008-8-12008-8-22008-8-7青光眼2008-7-312008-8-72008-8-102008-8-15視網膜疾病2008-7-312008-8-72008-8-102008-8-21青光眼2008-7-312008-8-72008-8-102008-8-13青光眼2008-7-312008-8-72008-8-102008-8-16白內障(雙眼)2008-7-312008-8-92008-8-112008-8-132008-8-15視網膜疾病2008-7-312008-8-72008-8-102008-8-24外傷2008-7-312008-8-12008-8-22008-8-9視網膜疾病2008-7-312008-8-72008-8-102008-8-21青光眼2008-7-312008-8-72008-8-102008-8-19視網膜疾病2008-7-312008-8-72008-8-102008-8-23外傷2008-8-12008-8-22008-8-32008-8-10視網膜疾病2008-8-12008-8-82008-8-102008-8-25附表3：類型門診時間入院時間第一次手術第二次手術出院時間視網膜疾病2008/7/132008/7/252008/7/28\2008/8/7白內障2008/7/132008/7/302008/8/1\2008/8/4視網膜疾病2008/7/132008/7/252008/7/28\2008/8/7青光眼2008/7/132008/7/252008/7/28\2008/8/5視網膜疾病2008/7/132008/7/252008/7/28\2008/8/8白內障(雙眼)2008/7/132008/7/282008/7/302008/8/12008/8/5視網膜疾病2008/7/142008/7/262008/7/28\2008/8/7白內障(雙眼)2008/7/142008/7/282008/7/302008/8/12008/8/4白內障2008/7/142008/7/302008/8/12008/8/3視網膜疾病2008/7/142008/7/262008/7/282008/8/9白內障(雙眼)2008/7/142008/7/282008/7/302008/8/12008/8/5白內障(雙眼)2008/7/142008/7/282008/7/302008/8/12008/8/4青光眼2008/7/142008/7/262008/7/282008/8/6視網膜疾病2008/7/142008/7/262008/7/282008/8/10視網膜疾病2008/7/142008/7/262008/7/292008/8/12視網膜疾病2008/7/152008/7/262008/7/292008/8/11白內障2008/7/152008/7/302008/8/12008/8/4青光眼2008/7/152008/7/262008/7/292008/8/5白內障(雙眼)2008/7/152008/7/282008/7/302008/8/12008/8/4視網膜疾病2008/7/152008/7/262008/7/292008/8/10青光眼2008/7/1520087/272008/7/292008/8/5白內障2008/7/152008/7/302008/8/12008/8/3白內障2008/7/152008/7/302008/8/12008/8/4白內障(雙眼)2008/7/152008/7/282008/7/302008/8/12008/8/5視網膜疾病2008/7/1520087/272008/7/292008/8/10青光眼2008/7/1620087/272008/7/292008/8/7白內障2008/7/162008/7/302008/8/12008/8/4白內障(雙眼)2008/7/162008/7/282008/7/302008/8/12008/8/5視網膜疾病2008/7/1620087/272008/7/292008/8/10白內障(雙眼)2008/7/162008/7/282008/7/302008/8/12008/8/5視網膜疾病2008/7/1620087/272008/7/292008/8/10視網膜疾病2008/7/1720087/272008/7/292008/8/10白內障2008/7/172008/7/302008/8/12008/8/3視網膜疾病2008/7/1720087/272008/7/292008/8/10視網膜疾病2008/7/1720087/272008/7/292008/8/10白內障(雙眼)2008/7/172008/7/282008/7/302008/8/12008/8/5白內障(雙眼)2008/7/172008/7/292008/7/302008/8/12008/8/5青光眼2008/7/1720087/272008/7/292008/8/7白內障(雙眼)2008/7/172008/7/292008/7/302008/8/12008/8/5白內障(雙眼)2008/7/172008/7/292008/7/302008/8/12008/8/5白內障(雙眼)2008/7/172008/7/292008/7/302008/8/12008/8/6白內障(雙眼)2008/7/172008/7/292008/7/302008/8/12008/8/4視網膜疾病2008/7/1820087/272008/7/292008/8/10白內障(雙眼)2008/7/182008/7/292008/7/302008/8/12008/8/4白內障(雙眼)2008/7/182008/7/292008/7/302008/8/12008/8/4白內障2008/7/182008/7/302008/8/12008/8/4青光眼2008/7/1820087/272008/7/292008/8/6白內障2008/7/182008/7/302008/8/12008/8/4附錄：程序flag=zeros(530,1);time2=zeros(530,1);time4=zeros(530,1);chy=zeros(530,1);aa=0;forj=14:61aa=chd(j,1)+chy(j,1);ifaa~=0fori=1:max(find(time3==j))ifflag(i,1)~=1ifxq(j,1)==1if(menz(i,1)==1)||(menz(i,1)==3)flag(i,1)=1;aa=aa-1;time2(i,1)=j;ifmenz(i,1)==1s=j+2+round(unifrnd(2,4,1,1));elses=j+1+round(unifrnd(3,10,1,1));endendtime4(i,1)=s;ifs<=61chy(s,1)=chy(s,1)+1;endbreakelseifxq(j,1)==2;ifmenz(i,1)~=2flag(i,1)=1;aa=aa-1;time2(i,1)=j;ifmenz(i,1)==1s=j+1+round(unifrnd(3,10,1,1));elseifmenz(i,1)==3s=j+1+round(unifrnd(2,4,1,1));elseifmenz(i,1)==4s=j+2+round(unifrnd(4,12,1,1));elseifmenz(i,1)==5s=j+2+round(unifrnd(5,15,1,1));endtime4(i,1)=s;ifs<=61chy(s,1)=chy(s,1)+1;endendbreakelseifxq(j,1)==3if(menz(i,1)~=3)&&(menz(i,1)~=2)flag(i,1)=1;aa=aa-1;time2(i,1)=j;ifmenz(i,1)==1s=j+1+round(unifrnd(3,10,1,1));elseifmenz(i,1)==4s=j+2+round(unifrnd(4,12,1,1));elses=j+2+round(unifrnd(5,15,1,1));endtime4(i,1)=s;ifs<=61