歐陽(yáng)學(xué)文創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)文創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)文創(chuàng)編歐陽(yáng)學(xué)文創(chuàng)編《現(xiàn)代控制理論參考答案》歐陽(yáng)學(xué)文第一章答案11試求圖127系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并建立其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：令三，則冋所以，系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及輸出方程表達(dá)式為12有電路如圖128所示。以電壓s為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻3上的電壓作為輸出量的輸出方程。解：由圖，令I(lǐng) ,輸出量耳有電路原理可知： 既得

寫(xiě)成矢量矩陣形式為：14兩輸入目，3,兩輸出因，因的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖130所示，試求其狀態(tài)空間表達(dá)式和傳遞函數(shù)陣。解：系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式如下所示：15系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性由下列微分方程描述列寫(xiě)其相應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，并畫(huà)出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。解：令I(lǐng) ,則有相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖如下：16（2）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) r^i，試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實(shí)現(xiàn)，并畫(huà)出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖解:解:17給定下列狀態(tài)空間表達(dá)式[3畫(huà)出其模擬結(jié)構(gòu)圖⑵求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：⑵IKI18求下列矩陣的特征矢量(3) |X|解：A的特征方程解之得：當(dāng)E時(shí)，

解得：1—II 令因 得E（或令,得叵］）當(dāng)國(guó)時(shí),解得：1X1 令國(guó)得 H（或令，得叵］）當(dāng)國(guó)時(shí),解得：廠I=:| 今1-1得 H19將下列狀態(tài)空間表達(dá)式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解）⑵解：A的特征方程 [當(dāng)E時(shí)，[H1解之得W1 令E 得當(dāng)國(guó)時(shí)，解之得 匸一TI 今EH3當(dāng)凹時(shí)，解之得 c一1 令凹得得SEE約旦標(biāo)準(zhǔn)型110已知兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為Wl（s）和W2⑸試求兩子系統(tǒng)串聯(lián)聯(lián)結(jié)和并聯(lián)連接時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣，并討論所得結(jié)果解：（1）串聯(lián)聯(lián)結(jié)（2）并聯(lián)聯(lián)結(jié)111（第3版教材）已知如圖122所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：111（第2版教材）已知如圖122所示的系統(tǒng)，其中子系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)陣分別為求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)解：112已知差分方程為試將其用離散狀態(tài)空間表達(dá)式表示，并使驅(qū)動(dòng)函數(shù)u的系數(shù)b（即控制列陣）為⑴兇解法1:解法2:求T,使得因得叵］所以］所以，狀態(tài)空間表達(dá)式為第二章習(xí)題答案24用三種方法計(jì)算以下矩陣指數(shù)函數(shù)3。A=0解：第一種方法：令WJ則 ,即 o求解得到叵I,凹凹時(shí)，特征矢量由y,得IXI即I乂I，可令S當(dāng)凹時(shí)，特征矢量H

由S,得IXI即,可令兇則［HJ,S第二種方法，第三種方法，即拉氏反變換法：即凱萊一哈密頓定理由第一種方法可知回，凹25下列矩陣是否滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件，如果滿足，試求與之對(duì)應(yīng)的A陣。(3)I I (4)㈢解：（3）因?yàn)?,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的條件（4）因?yàn)槿齶 ,所以該矩陣滿足狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的

條件26求下列狀態(tài)空間表達(dá)式的解：初始狀態(tài)因，輸入因時(shí)單位階躍函數(shù)。解：國(guó)因?yàn)?， ㈢29有系統(tǒng)如圖2.2所示，試求離散化的狀態(tài)空間表達(dá)式。設(shè)采樣周期分別為T(mén)二0.1s和Is,而勺和勺為分段常數(shù)。圖2.2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：將此圖化成模擬結(jié)構(gòu)圖列出狀態(tài)方程則離散時(shí)間狀態(tài)空間表達(dá)式為由㈢和r^i得：當(dāng)t=i時(shí) I—三二三―I當(dāng)T當(dāng)T二().1時(shí)第三章習(xí)題31判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對(duì)能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取值條件如何？(1)系統(tǒng)如圖3.16所示：解：由圖可得：狀態(tài)空間表達(dá)式為：由于因、目、因與刁無(wú)關(guān)，因而狀態(tài)不能完全能控，為不能控系統(tǒng)。由于兇只與蚪有關(guān)，因而系統(tǒng)為不完全能觀的，為不能觀系統(tǒng)。系統(tǒng)如下式：解：如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對(duì)于約旦塊的最后一行元素不能為0,故有w]o要使系統(tǒng)能觀，則C中對(duì)應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全為0,故有IK」O32時(shí)不變系統(tǒng)試用兩種方法判別其能控性和能觀性。解：方法一：方法二：將系統(tǒng)化為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。a,叵］兇中有全為零的行，系統(tǒng)不可控。3中沒(méi)有全為0的列，系統(tǒng)可觀。33確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)凹解：構(gòu)造能控陣：要使系統(tǒng)完全能控，則WI,即構(gòu)造能觀陣：要使系統(tǒng)完全能觀，則㈢，即34設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是當(dāng)Q取何值時(shí)，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達(dá)式。當(dāng)a取上述值時(shí)，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達(dá)式。解：⑴方法1: ■ I系統(tǒng)能控且能觀的條件為W(s)沒(méi)有零極點(diǎn)對(duì)消。因此當(dāng)次二1,或滸3或尸6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。方法2:系統(tǒng)能控且能觀的條件為矩陣C不存在全為0的列。因此當(dāng)滸1,或次二3或次二6時(shí)，系統(tǒng)為不能控或不能觀。當(dāng)a=l,a=3或次二6時(shí)，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型根據(jù)對(duì)偶原理，當(dāng)心1,次二2或次二4時(shí)，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)H型為T(mén)OC\o"1-5"\h\z36已知系統(tǒng)的微分方程為： 匚mi試寫(xiě)出其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式及其傳遞函數(shù)。解： ■ ■系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為傳遞函數(shù)為其對(duì)偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：傳遞函數(shù)為 1XI39已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。

解:解:系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為310給定下列狀態(tài)空間方程，試判別其是否變換為能控和能觀標(biāo)準(zhǔn)型。解:解:311試將下列系統(tǒng)按能控性進(jìn)行分解解:rankM=2<3,系統(tǒng)不是完全能控的。構(gòu)造奇異變換陣列:是任意的，只要滿足兇滿秩。即叵]得|X|312試將下列系統(tǒng)按能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解⑴IKI解：由已知得 [=-==[則有IX|rankN=2<3,該系統(tǒng)不能觀構(gòu)造非奇異變換矩陣□,有則IX|313試將下列系統(tǒng)按能控性和能觀性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解(1)I=-=I解：由已知得rankM=3,則系統(tǒng)能控rankN=3,則系統(tǒng)能觀所以此系統(tǒng)為能控并且能觀系統(tǒng)取|X| ,則314求下列傳遞函數(shù)陣的最小實(shí)現(xiàn)。（1）士解：凹，國(guó)，EHJ系統(tǒng)能控不能觀取［HJ，則［HJ所以IX] ,IK|所以最小實(shí)現(xiàn)為叵］，㈢，固驗(yàn)證:驗(yàn)證:315設(shè)列和兇是兩個(gè)能控且能觀的系統(tǒng)試分析由兇和勺所組成的串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫(xiě)出其傳遞函數(shù)；試分析由兇和列所組成的并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀性，并寫(xiě)出其傳遞函數(shù)。解：(1)兇和勺串聯(lián)當(dāng)a的輸出兇是兇的輸入a時(shí)， imi則rankM=2<3,所以系統(tǒng)不完全能控。當(dāng)兇得輸出(3是13的輸入日時(shí)[H]因?yàn)閞ankM=3則系統(tǒng)能控因?yàn)閨K|rankN=2<3則系統(tǒng)不能觀⑵因和兇并聯(lián)因?yàn)閞ankM=3,所以系統(tǒng)完全能控因?yàn)閞ankN=3,所以系統(tǒng)完全能觀現(xiàn)代控制理論第四章習(xí)題答案41判斷下列二次型函數(shù)的符號(hào)性質(zhì)：(1) ■— ■(2) r~—~J解：(1)由已知得

ElEl因此El是負(fù)定的（2）由已知得LHJ,y，因此a不是正定的42已知二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的條件。解：方法（1）：要使系統(tǒng)在平衡狀態(tài)處大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定,則要求滿足A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。即：有解，且解具有負(fù)實(shí)部。即： 廠=^=F方法（2）:系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)凹為大范圍漸近穩(wěn)定,等價(jià)于 o取回，令叵],貝帰入L=J，得到,則此方程組有唯,則此方程組有唯一解。即其中1—要求回正定，則要求因此L^J,且耳43試用lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。⑴[HJ（2）解：（1）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是LlI。選取Lyapunov函數(shù)為■—■,則S是負(fù)定的。曰，有㈢。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。（2）系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是凹o(jì)選取Lyapunov函數(shù)為I_】,則S是負(fù)定的。E,有㈢。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍

漸近穩(wěn)定。46設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試確定平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：若采用克拉索夫斯基法，則依題意有：取凹很明顯，s的符號(hào)無(wú)法確定，故改用李雅普諾夫第二法。選取Lyapunov函數(shù)為I=卩,則S是負(fù)定的。回，有耳。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范圍漸近穩(wěn)定。49設(shè)非線性方程：試用克拉索夫斯基法確定系統(tǒng)原點(diǎn)的穩(wěn)定性。解：(1)采用克拉索夫斯基法，依題意有：,有。取凹則IyI,根據(jù)希爾維斯特判據(jù)，有：S的符號(hào)無(wú)法判斷。S的符號(hào)無(wú)法判斷。(2)李雅普諾夫方法：選取Lyapunov函數(shù)為0是負(fù)定的。圍漸近穩(wěn)定。國(guó)，有㈢。即系統(tǒng)在原點(diǎn)處大范412試用變量梯度法構(gòu)造下列系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)解：假設(shè)a的梯度為：計(jì)算s的導(dǎo)數(shù)為：選擇參數(shù)，試選1 ＞于是得：IZ1，顯然滿足旋度方程|X| ,表明上述選擇的參數(shù)是允許的。則有：如果1^1 ,則s是負(fù)定的，因此，S是S的約束條件。計(jì)算得到B為：s是正定的，因此在r^~i范圍內(nèi)，s是漸進(jìn)穩(wěn)定的。現(xiàn)代控制理論第五章習(xí)題答案51已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試設(shè)計(jì)一狀態(tài)反饋陣使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置為1,2,3。解：依題意有：g,系統(tǒng)能控。系統(tǒng)S的特征多項(xiàng)式為：則將系統(tǒng)寫(xiě)成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ,其中㈢矩陣，設(shè)「一】,則系統(tǒng)I=1的特征多項(xiàng)式為：根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為：比較㈢各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得： ■—?jiǎng)t有：「X1O53有系統(tǒng)：（1） 畫(huà)出模擬結(jié)構(gòu)圖。（2） 若動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點(diǎn)？（3） 若指定極點(diǎn)為3,3,求狀態(tài)反饋陣。解（1）系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下：（2）系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)的充要條件是系統(tǒng)完全能控。對(duì)于系統(tǒng)有：耳,系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點(diǎn)。系統(tǒng)㈢的特征多項(xiàng)式為：則將系統(tǒng)寫(xiě)成能控標(biāo)準(zhǔn)I型，則有 Glo引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： I—■,設(shè)WI,則系統(tǒng)17的特征多項(xiàng)式為：根據(jù)給定的極點(diǎn)值，得到期望特征多項(xiàng)式為：比較7各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解得：54設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為試問(wèn)能否利用狀態(tài)反饋將傳遞函數(shù)變成若有可能，試求出狀態(tài)反饋兇，并畫(huà)出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。解： ■ 1由于傳遞函數(shù)無(wú)零極點(diǎn)對(duì)消，因此系統(tǒng)為能控且能觀。能控標(biāo)準(zhǔn)I型為令 為狀態(tài)反饋陣，則閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為由于狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，根據(jù)題意，配置極點(diǎn)應(yīng)為2,2,3,得期望特征多項(xiàng)式為比較國(guó)與回的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可得即■ *系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：55使判斷下列系統(tǒng)通過(guò)狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。⑴IKI解：系統(tǒng)的能控陣為：m,系統(tǒng)能控。由定理5.2.1可知，采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng)㈢任意配置極點(diǎn)的充要條件是W3完全能控。又由于