4.4數學歸納法人教A版（2019）選擇性必修第二冊新知導入情景1：

有人看到樹上有一只烏鴉，感慨道“天下烏鴉一般黑”這個結論正確嗎？

情景2：

《田舍翁之子學書》（明朝劉元卿的《賢弈篇·應諧錄》）即財主的兒子學寫字.文中財主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”這個結論是否正確呢？

新知導入情景3：如果{}是一個等差數列，怎樣得到

？

歸納可得

以上都是不完全歸納法的體現，其結果不一定正確。如何解決不完全歸納法存在的問題呢？新知導入

在數列的學習過程中，我們已經用歸納的方法得出了一些結論，例如等差數列的通項公式

等，但并沒有給出嚴格的數學證明.那么，對于這類與正整數n有關的命題，怎樣證明它對每一個正整數n都成立呢？本節我們就來介紹一種重要的證明方法——數學歸納法.新知講解探究

已知數列滿足

，，計算猜想其通項公式，并證明你的猜想.分析：

如何證明這個猜想呢？思路1：我們可以從n=5開始一個個往下驗證.

一般來說，與正整數n有關的命題，當n比較小時可以逐個驗證，但當n較大時，驗證起來會很麻煩.特別是證明n取所有正整數都成立的命題時，逐一驗證時不可能的.因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數時命題都成立.新知講解多米諾骨牌游戲這是一種碼放骨牌的游戲.碼放骨牌時，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊骨牌也倒下.

這樣，只要推倒第1塊骨牌，就可導致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導致第3塊骨牌倒下；…….總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下.多米諾骨牌游戲思考1：在這個游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？可以看出，使所有骨牌都能倒下的條件有兩個：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導致后一塊倒下.你認為條件（2）的作用是什么？如何用數學語言描述它？

可以看出，條件（2）實際上是給出了一個遞推關系：

第k塊骨牌倒下

第k+1塊骨牌倒下.思考2：合作探究這樣，只要第1塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒下.事實上，無論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.合作探究思考3：

你認為證明前面的猜想“數列的通項公式是

”與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？分析：

這樣，對于猜想“”，由n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3成立；……，所以，對于任意正整數n，猜想都成立，即數列的通項公式是

.

由條件容易知道，n=1時猜想成立.這就相當于游戲的條件（1）.

即n=k+1時猜想也成立

合作探究骨牌原理猜想的證明步驟（1）第一塊骨牌倒下；（1）n=1時，猜想正確（2）證明“如果前一塊倒下，則后一塊也跟著倒下”.這句話是真實的（2）證明“當n=k時猜想成立，則n=k+1時猜想也成立”是真命題根據（1）（2），所有的骨牌都能倒下.根據（1）（2），這個猜想對一切正整數n都成立

通過上面的類比，我們找到了“通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數時命題都成立”的方法，這個方法就叫做數學歸納法.“骨牌原理”與“猜想的證明步驟”對比分析合作探究數學歸納法的定義一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：（1）（歸納奠基）證明當時命題成立；（2）（歸納遞推）以“當時命題成立”為條件，推出“當n=k+1時命題也成立”.

這種證明方法稱為數學歸納法，用框圖表示就是：合作探究合作探究思考1：思考2：數學歸納法的第一步

的初始值是否一定為1？提示：不一定.如證明n變形的內角和為

，第一個值

.數學歸納法中的兩個步驟之間有什么關系？記P(n)是一個關于正整數n的命題.我們可以把用數學歸納法證明的形式改寫如下：條件：（1）

為真；（2）若P(k)為真，則P(k+1)也為真.結論：P(n)為真.

第二步是證明一種遞推關系，實際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k+1)也為真.

只要將這兩步交替使用，就有為真，為真……P(k)真，P(k+1)真…….從而完成證明.合作探究例1.用數學歸納法證明：如果是一個公差為d的等差數列，那么

①

對任何都成立.分析：因為等差數列的通項公式涉及全體正整數，所以用數學歸納法證明的第一步應證明n=1時命題成立.第二步要明確證明的目標，即要證明一個新命題：如果n=k時①式是正確的，那么n=k+1時①式也是正確的.證明：（1）當n=1時，左邊=，右邊=,①式成立.（2）假設n=k時，①式成立，即

，根據等差數列的定義，有,于是

即當n=k+1時①式也成立.由（1）（2）可知，①式對任何都成立.合作探究例2用數學歸納法證明：

②分析：用數學歸納法證明時，第二步要證明的是一個以“當n=k時，②式成立”為條件，得出“當n=k+1時，②式也成立”的命題，證明必須用上上述條件.合作探究例2用數學歸納法證明：

②證明：（1）當n=1時，②式的左邊=，

右邊=，所以②式成立.（2）假設當時，②式成立，即

，在上式兩邊同時加上，有

即當n=k+1時，②式也成立.由（1）（2）可知，②式對任何都成立.

合作探究例3已知數列滿足

，試猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明.分析：

先將數列的遞推關系

化為，通過計算的值，歸納共性并作出猜想，再應用數學歸納法證明猜想.解：由

，可得

由

可得

同理可得

歸納上述結果，猜想

③合作探究例3已知數列滿足

，試猜想數列的通項公式，并用數學歸納法加以證明.下面用數學歸納法證明這個猜想.（1）當n=1時，③式的左邊=，右邊=，猜想成立.（2）假設當時，③式成立，即

那么

即當n=k+1時，猜想也成立.由（1）（2）可知，猜想對任何都成立.

合作探究例4設

x

為正實數，n為大于1的正整數，若數列1，1+x，，…，，…

的前n項和為，試比較與n的大小，并用數學歸納法證明你的結論.分析：

該問題中涉及兩個字母

x和n，x是正實數，n是大于1的正整數.

一種思路是不求和，而直接通過n取特殊值比較與n的大小關系，并作出猜想；

另一種思路是先由等比數列的求和公式求出，再通過n取特殊值比較與n的大小關系后作出猜想.兩種做法都必須用數學歸納法證明得到的猜想.合作探究例4設

x

為正實數，n為大于1的正整數，若數列1，1+x，，…，，…

的前n項和為，試比較與n的大小，并用數學歸納法證明你的結論.解法一：由已知可得

當n=3時，，

由，可得.由此，我們猜想，當且時，合作探究下面用數學歸納法證明這個猜想.（1）當n=2時，由上述過程知，不等式成立.（2）假設當

時，不等式成立，即

由，可得

，所以

于是

所以，當n=k+1時，不等式也成立由（1）（2）可知，不等式

對于任何大于1的正整數n都成立.合作探究例4設

x

為正實數，n為大于1的正整數，若數列1，1+x，，…，，…

的前n項和為，試比較與n的大小，并用數學歸納法證明你的結論.解法二：顯然，所給數列是等比數列，公比為1+x，于是

當n=2時，

，由，可得

；當n=3時，

，由，可得.由此，我們猜想，當且時，

合作探究下面用數學歸納法證明這個猜想.（1）當n=2時，由上述過程知，不等式成立.（2）假設當時，不等式成立，即,由，知

所以

又，所以，當n=k+1時，不等式也成立.由（1）（2）可知，不等式對于任何大于1的正整數n都成立.課堂練習

3課堂練習2①欲證不等式成立，只需證

②用數學歸納法證明,在驗證n=1時，左邊所得項為

③“凡是自然數都是整數，0是自然數，所以0是整數”以上三段論推理完全正確的個數是（

）A．0B.1C.2D.3解：

②

驗證n=1時，左邊所得項為，故推理正確③命題中大前提是：凡是自然數都是整數，小前提是：0是自然數，結論為：0是整數，其中大前提，小前提，結論都正確，故推理正確C課堂練習3用數學歸納法證明,則當n=k+1時，左端應在n=k的基礎上加上（

）A.4k+1B．C．4(k+1)D．(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)解：當

n=k時，左側=要證n=k+1時，左側=可得當n=k+1時，左端應在n=k的基礎上加上的項為(4k+1)+(4k+2)+(4k+3)+(4k+4)D課堂練習4已知數列的前n項和為，

且滿足.

（1）計算，根據計算結果，猜想的表達式；（2）用數學歸納法證明你對的猜想.解：（1）在中，令n=1，，解得，令n=2，，即

，解得

，令n=3，，即

，

解得

，令n=4，，即，解得

，故猜想課堂練習4