學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精2016-2017學年云南省大理州南澗縣民族中學高二（上)12月月考數學試卷(理科)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的）1．已知集合A=｛a,4}，B={2，a2｝,且A∩B={4}，則A∪B=（）A．｛2,4} B．｛﹣2，4} C．{﹣2，2，4｝ D．｛﹣4，2，4｝2．下列函數中，既是偶函數又存在零點的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx3．若函數f（x）的定義域是R,則“f(0）=0”是“f(x)為奇函數”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件4．函數y=lncosx（）的圖象是（）A． B． C． D．5．下列說法正確的是（）A．已知命題p：?x0＞0，2x0=3，則￢p是?x≤0,2x≠3B．“p∧q為假命題”是“p∨q為假命題”的充分不必要條件C．命題“?x∈（0，1），lnx+x2=0”是真命題D．命題“?x∈R，sinx＜x”是真命題6．函數f(x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的圖象與x軸有且僅有一個交點，則實數m的值為（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．07．已知點P（x,y)滿足，則的最大值為（）A．2 B． C． D．48．若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數k的取值范圍是（）A．（0，+∞) B．(0,2） C．（1，+∞) D．（0，1）9．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是(）A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+1210．若某程序框圖如圖所示,當輸入50時，則該程序運算后輸出的結果是（)A．8 B．6 C．4 D．211．在△ABC中，若a=2,，B=60°，則角A的大小為(）A．30°或150° B．60°或120° C．30° D．60°12．在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（)A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形二、填空題（本大題共4個小題，每個小題5分，共20分)13．若銳角△ABC的面積為,且AB=5,AC=8，則BC等于．14．已知點G是△ABC的重心，若∠A=120°，?=﹣2，則||的最小值是．15．已知在數列｛an｝中，an+1=,且a1=2,則an=．16．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球,其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，求取得兩球顏色為一白一黑的概率．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟）17．已知數列｛an}是等差數列，｛bn}是等比數列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求數列{an｝和{bn}的通項公式；（2）數列｛cn}滿足cn=anbn，求數列｛cn｝的前n項和Sn．18．已知橢圓Γ:+=1（a＞b＞0）的一個焦點為，且Γ上一點到其兩焦點的距離之和為4．（Ⅰ）求橢圓Γ的標準方程；(Ⅱ）設直線y=x+m與橢圓Γ交于不同兩點A,B，若點P（0，1)滿足｜｜=|｜，求實數m的值．19．如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，BC=2,CD=，AB=AC．（1）求證:BE⊥面ABC；(2)設△ABC為等邊三角形，求直線CE與平面ABE所成角的正弦值．20．某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度)，以［160，180),［180,200），［200，200），[220，240），[240，260），[260，280），［280，300)分組的頻率分布直方圖如圖．(1）求月平均用電量的眾數和中位數;(2）在月平均用電量為［220，240）,[240，260），[260，280），［280，300）的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在［240,260）的用戶中應抽取多少戶？21．已知銳角三角形△ABC內角A、B、C對應邊分別為a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；(Ⅱ）求cosB+cosC的取值范圍．22．已知點P（2，2）,圓C:x2+y2﹣8y=0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標原點．（1）求M的軌跡方程；（2）當|OP｜=｜OM｜時，求l的方程及△POM的面積．

2016—2017學年云南省大理州南澗縣民族中學高二（上）12月月考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分。在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合A=｛a,4}，B=｛2，a2｝,且A∩B={4}，則A∪B=(）A．｛2，4} B．{﹣2，4} C．｛﹣2，2，4｝ D．{﹣4,2，4}【考點】并集及其運算．【分析】由A與B交集的元素為4,得到4屬于A且屬于B,得到a2=4，求出a的值，確定出A與B，即可確定出兩集合的并集．【解答】解：∵集合A=｛a，4}，B=｛2，a2}，且A∩B=｛4}，∴a2=4，解得：a=2或a=﹣2，當a=2時,A={2，4｝，B={2，4}，不合題意，舍去；當a=﹣2時，A={﹣2，4｝，B={2，4}，則A∪B=｛﹣2,2，4}．故選：C2．下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【考點】函數的零點;函數奇偶性的判斷．【分析】利用函數奇偶性的判斷一件零點的定義分別分析解答．【解答】解:對于A，y=lnx定義域為（0，+∞）,所以是非奇非偶的函數；對于B，是偶函數,但是不存在零點；對于C，sin（﹣x）=﹣sinx,是奇函數；對于D，cos（﹣x)=cosx,是偶函數并且有無數個零點；故選:D3．若函數f(x）的定義域是R,則“f（0）=0”是“f（x）為奇函數"的(）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】若函數f（x）的定義域是R，由“f（0）=0”推不出“f（x）為奇函數”．由奇函數的定義可知f(0)=﹣f（0)所以可得2f(0）=0所以f(0)=0．【解答】解：若函數f(x）的定義域是R,由“f（0）=0”推不出“f（x）為奇函數”．由奇函數的定義可知f(0)=﹣f(0）所以可得2f（0)=0所以f（0）=0．∴若函數f(x)的定義域是R，則“f（0)=0”是“f(x）為奇函數”的必要非充分條件．故選B．4．函數y=lncosx（）的圖象是（）A． B． C． D．【考點】函數的圖象與圖象變化．【分析】利用函數的奇偶性可排除一些選項,利用函數的有界性可排除一些個選項．從而得以解決．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx,∴是偶函數，可排除B、D，由cosx≤1?lncosx≤0排除C，故選A．5．下列說法正確的是（）A．已知命題p：?x0＞0，2x0=3，則￢p是?x≤0，2x≠3B．“p∧q為假命題”是“p∨q為假命題”的充分不必要條件C．命題“?x∈（0，1）,lnx+x2=0”是真命題D．命題“?x∈R,sinx＜x”是真命題【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】寫出特稱命題的否定判斷A；由復合命題的真假判斷判斷B；利用函數零點判定定理判斷C;舉例說明D錯誤．【解答】解：命題p：?x0＞0，2x0=3，則￢p是?x＞0,2x≠3，故A錯誤；由p∧q為假命題,可知p、q中至少一個為假命題，則p∨q可能為真命題；反之，p∨q為假命題，可知p、q均為假命題，則p∧q為假命題．∴“p∧q為假命題”是“p∨q為假命題”的必要不充分條件，故B錯誤;令f(x）=lnx+x2，f′（x）=＞0在（0，1）上恒成立，f（x）=lnx+x2在（0，1）上為增函數，又f（1）=1＞0，當x＞0且趨于0時，f(x）＜0．∴f（x)在(0，1）上有零點，即命題“?x∈（0，1)，lnx+x2=0”是真命題,故C正確；當x=0時，sin0=0,∴命題“?x∈R，sinx＜x”是假命題,故D錯誤．故選：C．6．函數f（x）=（m+1）x2﹣2(m+1）x﹣1的圖象與x軸有且僅有一個交點,則實數m的值為（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．0【考點】二次函數的性質．【分析】當m=﹣1時，f（x)=﹣1，與x軸沒有交點，當m≠﹣1時,△=4(m+1）2+4（m+1)=0，解得即可．【解答】解:∵函數f（x)=(m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的圖象與x軸只有一個交點，當m=﹣1時，f(x）=﹣1，與x軸沒有交點，當m≠﹣1時,△=4（m+1）2+4（m+1）=0，解得，m=﹣2，故選:C．7．已知點P(x,y）滿足，則的最大值為（）A．2 B． C． D．4【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域,利用的幾何意義，利用數形結合即可得到結論．【解答】解：設k=,則k的幾何意義是動點P(x,y)到定點D（﹣1，0）的斜率，作出不等式組對應的平面區域，由圖象可知，AD的斜率最大，由，解得，即A（1，3），此時AD的斜率k=,故選:C8．若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數k的取值范圍是（）A．（0，+∞） B．(0，2） C．(1，+∞） D．(0，1）【考點】橢圓的定義．【分析】先把橢圓方程整理成標準方程，進而根據橢圓的定義可建立關于k的不等式，求得k的范圍．【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦點在y軸上的橢圓∴故0＜k＜1故選D．9．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是(）A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】通過三視圖復原的幾何體的形狀,利用三視圖的數據求出幾何體的表面積即可．【解答】解：三視圖復原的幾何體是底面為直角邊長為4和5的三角形，一個側面垂直底面的等腰三角形，高為4,底邊長為5，如圖,所以S底==10，S后=，S右==10,S左==6．幾何體的表面積為：S=S底+S后+S右+S左=30+6．故選:B．10．若某程序框圖如圖所示，當輸入50時，則該程序運算后輸出的結果是（）A．8 B．6 C．4 D．2【考點】程序框圖．【分析】因為n=50，由程序框圖寫出每次循環S,i的值，判斷當S≥n時,退出循環，即可求得輸出i的值．【解答】解:由程序框圖知,n=50,S=0,i=1S=1，i=2，S＜n，繼續執行循環；S=4,i=3，S＜n，繼續執行循環;S=11,i=4，S＜n，繼續執行循環;S=26，i=5，S＜n，繼續執行循環；S=57，i=6,此時S＞n,退出循環，輸出i的值為6;故答案為：B．11．在△ABC中,若a=2，，B=60°,則角A的大小為（）A．30°或150° B．60°或120° C．30° D．60°【考點】正弦定理．【分析】由B的度數求出sinB的值，再由a與b的值，利用正弦定理求出sinA的值,由a小于b,根據大邊對大角得到A小于B，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數．【解答】解：∵a=2，b=2，B=60°,∴由正弦定理=得：sinA==，又a＜b,∴A＜B，則A=30°．故選C12．在△ABC中，若2cosB?sinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形【考點】兩角和與差的正弦函數．【分析】在△ABC中，總有A+B+C=π，利用此關系式將題中：“2cosB?sinA=sinC,"化去角C，最后得到關系另外兩個角的關系，從而解決問題．【解答】解析:∵2cosB?sinA=sinC=sin（A+B）?sin（A﹣B)=0,又B、A為三角形的內角，∴A=B．答案：C二、填空題（本大題共4個小題，每個小題5分，共20分）13．若銳角△ABC的面積為，且AB=5，AC=8，則BC等于7．【考點】余弦定理的應用．【分析】利用三角形的面積公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因為銳角△ABC的面積為，且AB=5，AC=8，所以,所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案為：7．14．已知點G是△ABC的重心，若∠A=120°，?=﹣2,則｜|的最小值是．【考點】向量的模；三角形五心．【分析】根據點G是△ABC的重心，故=（+），又由∠A=120°，?=﹣2，我們可以求出｜｜?||=4,進而根據基本不等式，求出｜+|的取值范圍，進而得到|｜的最小值．【解答】解：∵∠A=120°，?=﹣2，∴｜|?｜｜=4，又∵點G是△ABC的重心，∴｜|=｜+|==≥=故答案為：15．已知在數列{an}中,an+1=,且a1=2,則an=．【考點】數列遞推式．【分析】利用累積法進行求解．【解答】解：（1)∵a1=4，an+1=，∴，則=,=，=,…=，兩式相乘得==，則an=×2=．故答案為：．16．袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球，從袋中任取兩球，求取得兩球顏色為一白一黑的概率．【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】用列舉法求得所有的情況共有15種，其中滿足兩球顏色為一白一黑的有6種，由此求得取得兩球顏色為一白一黑的概率．【解答】解:1個紅球，2個白球和3個黑球記為a1；b1，b2；c1，c2，c3，從袋中任取兩球有（a1，b1），（a1，b2),（a1，c1），(a1，c2）,（a1，c3），（b1，b2）,（b1，c1）,(b1,c2），（b1，c3）,(b2，c1），（b2，c2)，（b2，c3），（c1，c2）,（c1，c3），(c2，c3)共15種情況,故滿足兩球顏色為一白一黑有6種，故所求事件的概率等于．三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知數列{an}是等差數列，｛bn｝是等比數列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求數列{an}和｛bn｝的通項公式;（2）數列{cn｝滿足cn=anbn，求數列{cn}的前n項和Sn．【考點】等差數列與等比數列的綜合;數列的求和．【分析】（1）利用等比數列的通項公式，可求確定公比，從而可求｛bn}的通項公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得數列的公差，從而可求數列｛an｝的通項公式；（2)利用錯位相減法可求數列｛cn}的前n項和Sn．【解答】解:(1）設{an}的公差為d,{bn}的公比為q由=54,得，從而q=3因此又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24,∴a2=8從而d=a2﹣a1=6，故an=a1+(n﹣1）?6=6n﹣4（2）令兩式相減得=﹣（3n﹣2)?3n=∴,又．18．已知橢圓Γ：+=1（a＞b＞0）的一個焦點為，且Γ上一點到其兩焦點的距離之和為4．(Ⅰ)求橢圓Γ的標準方程；（Ⅱ）設直線y=x+m與橢圓Γ交于不同兩點A，B,若點P（0，1）滿足｜|=｜|，求實數m的值．【考點】橢圓的簡單性質．【分析】(Ⅰ）由橢圓Γ:+=1（a＞b＞0)的一個焦點為，且Γ上一點到其兩焦點的距離之和為4,求出a，b，即可求橢圓Γ的標準方程;（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理確定AB的中點坐標,利用R（0，1)，且|RA｜=|RB｜,可得斜率之間的關系，從而可得結論．【解答】解：(Ⅰ）∵橢圓Γ：+=1（a＞b＞0）的一個焦點為，且Γ上一點到其兩焦點的距離之和為4，∴，a=2．…故b=1．…故橢圓方程為．…（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2,y2）,由得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，由△＞0得．…，得，故AB的中點．…因為PM⊥AB,所以,…得滿足條件．…19．如圖,在四棱錐A﹣BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC．（1）求證：BE⊥面ABC；(2）設△ABC為等邊三角形，求直線CE與平面ABE所成角的正弦值．【考點】直線與平面所成的角；直線與平面垂直的判定．【分析】(1）利用底面是矩形得到BE⊥BC，結合側面ABC⊥底面BCDE得到所證;（2）利用（1)的結論，取AB的中點H,連接EH利用△ABC為等邊三角形得到∠CEH是直線CE與平面ABE所成角．【解答】(1)證明：∵底面BCDE為矩形，∴BE⊥BC．∵側面ABC⊥底面BCDE，且交線為BC,BE?平面ABCD．∴BE⊥面ABC．（2）解：由（1）可知BE⊥面ABC．∵BE?平面ABE．∴平面ABE⊥底面ABC，且交線為AB．取AB的中點H，連接EH．∵△ABC為等邊三角形，∴CH⊥AB，CH⊥平面ABE．∴∠CEH是直線CE與平面ABE所成角．在矩形BCDE中，．在正△ABC中，．∴．．20．某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160,180），［180，200），[200，200），［220，240），[240，260)，［260，280），［280，300）分組的頻率分布直方圖如圖．(1）求月平均用電量的眾數和中位數；（2)在月平均用電量為［220，240），[240，260），［260，280），［280，300）的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[240，260）的用戶中應抽取多少戶？【考點】列舉法計算基本事件數及事件發生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（1)根據累積頻率為1，求出x，進而可得月平均用電量的眾數和中位數；(2）根據分層抽樣的等比例性質,計算出抽樣比,可得答案．【解答】解:（1）①由（0。002+0.0095+0.011+0。0125+x+0.005+0。0025)×20=1得：x=0。0075，所以直方圖中x的值是0.0075．…②月平均用電量的眾數是．…③因為（0。002+0。0095+0。011）×20=0。45＜0.5,所以月平均用電量的中位數在［220，240）內，設中位數為a,由(0。002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220=0。5）得a=224．所以月平均用電量的中位數是224．…（2）月平均用電量為［220，240）的用戶有0。0125×20×100=25戶，月平均用電量為［240，260）的用戶有0.0075×20×100=15戶,月平均用電量為[260，280）的用戶有0.005×20×100=10戶，月平均用電量為[280,300)的用戶有0。0025×20×100=5戶，…抽取比例：,…所以月平均用電量在［240，260）的用戶應抽取戶．…21．已知銳角三角形△ABC內角A、B、C對應邊分別為a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ)求cosB+cosC的取值范圍．【考點】余弦定理;同角三角函數基本關系的運用;正弦函數的定義域和值域．【分析】（Ⅰ）由余弦定理表示出b2+c2﹣a2=2bccosA,代入即可得到sinA的值,然后