PAGEPAGE2論數(shù)學(xué)的對(duì)稱美在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的意義摘要：人們對(duì)數(shù)學(xué)美的追求與數(shù)學(xué)的研究是同步進(jìn)行的，數(shù)學(xué)的美，如同音樂家演奏的美妙旋律，畫家筆下的精美作品一樣。同樣是在表達(dá)美，只不過形式不同而已。本文通過對(duì)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美的研究，希望能引起共鳴，使更多的人來關(guān)注數(shù)學(xué)美學(xué)的發(fā)展。關(guān)鍵詞：對(duì)稱美數(shù)學(xué)思想中圖分類號(hào)：O1-099文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ATalkaboutthesymmetricalAmericanmeaninginmathematicsisstudiedofmathematicsSummary:People'sstudyonmathematicsbeautifulpursuitandmathematicsiscarriedoninstep,mathematicsisbeautiful,likethewonderfulmelodywhichthemusicianplays,theexquisiteworksintheworksofthepainterarethesame.Expressingtoobeautifully,onlyformsaredifferent.Thistextpassesthesymmetricalandbeautifulresearchtomathematics,hopeYestocausethesympatheticresponse,makemorepersonspaycloseattentiontothedevelopmentofmathematicsaestheticsKeyword:SymmetricalanbeautifulMathematicsthought1.引言“萬物皆數(shù)”這是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的觀點(diǎn)，的確數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類社會(huì)的發(fā)展是密不可分的，人類對(duì)文明的追求，正是沿著挖掘事物美這條道路前進(jìn)的，同樣數(shù)學(xué)的發(fā)展也是追求數(shù)學(xué)美的過程。數(shù)學(xué)也是自然科學(xué)的語言，故它有一般語言文學(xué)藝術(shù)所共有的美學(xué)特征，即數(shù)學(xué)在內(nèi)容結(jié)構(gòu)上，方法上也都有自身的某種美，即所謂的數(shù)學(xué)美。因此數(shù)學(xué)美是具體的，形象生動(dòng)的，數(shù)學(xué)的美起源遙遠(yuǎn)，歷史悠久。2.什么是數(shù)學(xué)的對(duì)稱美在原始意義上，對(duì)稱性是指組成一種事物或?qū)ο蟮膬蓚€(gè)部分的對(duì)等性。從古希臘起，對(duì)稱美就是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本形式。對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的一個(gè)特征。除次外，還有統(tǒng)一美，簡(jiǎn)潔美等等。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：一個(gè)圖形的對(duì)稱性越多，圖形越完美。他們指出：“一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形”因?yàn)檫@兩個(gè)形體各個(gè)方面都是對(duì)稱的。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)稱的概念得到了不斷的發(fā)展，即由一個(gè)含糊的概念發(fā)展成為精確的幾何概念，包括雙側(cè)的，旋轉(zhuǎn)的，平移的，對(duì)稱的等等，至今更為一般的概念，指元素的構(gòu)形在自相變換下的不變性，另外由數(shù)學(xué)歷史可以看出，對(duì)于對(duì)稱性的追求的確在具體的數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮著極其重要的作用。3.對(duì)稱美在具體問題中的應(yīng)用數(shù)學(xué)問題浩如煙海，解題時(shí)很難找到一定的程式。有時(shí)在美的號(hào)召下，憑借美的感受，領(lǐng)悟問題顯露的美，并以此為思維導(dǎo)向，另辟新徑。常可獲得別開生面的妙解。例如求P=sinsinsinsin的值解：設(shè)q=coscoscoscospq=sinsinsinsin=coscoscoscos=q而q0,所以p=這里為求p而巧設(shè)q，解法巧妙，呈現(xiàn)了平衡的對(duì)稱美，令人愉快，具有美感。利用題目中的已知條件，如果圖形，式子具有某種對(duì)稱性，可考慮結(jié)論是否符合對(duì)稱性的要求。例2若三角形ABC邊長(zhǎng)為a,b,c且滿足等式判斷三角形ABC的形狀。A直角三角形B等腰三角形C鈍角三角形D等邊三角形由于題目的條件等式關(guān)于a,b,c是對(duì)稱的，而A，B，C并不滿足這樣的條件，所以都是錯(cuò)誤的。事實(shí)上，由條件可得即有a=b=c所以正確答案為D。數(shù)學(xué)中的許多結(jié)論都具有驚人的對(duì)稱性。出于對(duì)稱性的考慮，數(shù)學(xué)家常常不滿足于一個(gè)命題本身的研究，而且還要探討它的逆命題，否命題，逆否命題。因此，一個(gè)完美的命題，它的“充要條件”使得命題具有對(duì)稱美。利用數(shù)學(xué)的對(duì)稱性解決數(shù)學(xué)問題，例如歐幾里德曾證明希帕索斯的發(fā)現(xiàn)—無理數(shù)的存在，他的證法如下：設(shè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)（m,n不可約）+=，即，從而m為偶數(shù)，n必為奇數(shù)。。又設(shè)m=2p,則因而n是偶數(shù)，這便產(chǎn)生了矛盾，即對(duì)角線長(zhǎng)不能用整數(shù)之比來表示。上述是利用了等式的對(duì)稱性。等式是對(duì)稱的，那么等式的兩邊必須有相同的意義。又如古希臘科學(xué)家海羅巧妙的運(yùn)用“對(duì)稱變換”，解決了幾何著名極值問題“A，B是直線CD兩側(cè)兩點(diǎn)，試求CD上一點(diǎn)使得PA+PB最短。”德國(guó)幾何學(xué)家斯丹納在證明“周長(zhǎng)一定的一切平面封閉圖形中，以圓的面積最大”時(shí)，由于靈活應(yīng)運(yùn)了圖形的對(duì)稱性而使得證法簡(jiǎn)潔而又漂亮。涉及到對(duì)稱的還很多，如代數(shù)的多項(xiàng)式方程的虛根的成對(duì)出現(xiàn)，線性方程組的矩陣和克萊姆法則齊次輪換對(duì)稱式等等，甚至對(duì)稱與群也存在著密切的關(guān)系。我們知道，關(guān)于兩個(gè)對(duì)稱圖形，我們總可以通過一些變換將它們疊合。這些變換最基本的有：平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，反射變換，這三種變換都是對(duì)稱變換，因此在某種意義下也可以說合同變換也是對(duì)稱變換，所有的對(duì)稱變換構(gòu)成群，我們稱之為對(duì)稱群。進(jìn)而我們還可以看到，圖形的對(duì)稱性和它的對(duì)稱群是密切相關(guān)的。凡對(duì)稱圖形，總存在若干個(gè)非恒等的對(duì)稱變換，這些變換的全體與恒等對(duì)稱變換一起構(gòu)成該圖形的對(duì)稱群。反之，如果一個(gè)圖形，存在著一個(gè)關(guān)于它的非恒等的對(duì)稱變換，那么該圖形是對(duì)稱圖形。圖形的對(duì)稱性程度的高度是與它的對(duì)稱群的階密切相關(guān)的，這樣就啟發(fā)人們用群去刻畫對(duì)稱圖形及其性質(zhì)。用群的理論去研究對(duì)稱的數(shù)學(xué)理論。許多數(shù)學(xué)分支實(shí)際就是研究其中變換群下的不變性的。4.數(shù)學(xué)中的對(duì)稱思想及應(yīng)用數(shù)學(xué)美學(xué)中的對(duì)稱美并不局限于客觀事物外形的對(duì)稱。正如魏爾所說:“對(duì)稱是一種思想。多少世紀(jì)以來，人們希望借助它來解釋和創(chuàng)造秩序，美和完善.”數(shù)學(xué)的對(duì)稱主要是一種思想，它著重追求的是數(shù)學(xué)對(duì)象乃至整個(gè)數(shù)學(xué)體系的合理，勻稱與協(xié)調(diào)。數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)方程式，數(shù)學(xué)結(jié)論甚至數(shù)學(xué)方法中，都蘊(yùn)含著奇妙的對(duì)稱性。數(shù)學(xué)的對(duì)稱思想是數(shù)學(xué)思想的一種平移，對(duì)稱，或者是類比。研究對(duì)稱思想不僅使人眼界豁然開闊，而且能推陳出新出一種新的領(lǐng)域。從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，對(duì)稱性的考慮在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，加法與減法，乘法與除法。微分與積分等逆運(yùn)算的建立，甚至黎曼積分與Lesbegue積分(對(duì)定義域的劃分與值域的分割)，這些都是追求數(shù)學(xué)美的產(chǎn)物。真數(shù)N與對(duì)數(shù)的增長(zhǎng)表現(xiàn)出明顯的不對(duì)稱性，而且真數(shù)的增長(zhǎng)均勻，而對(duì)數(shù)的增長(zhǎng)不均勻，數(shù)學(xué)家從對(duì)數(shù)的對(duì)稱美考慮，而導(dǎo)致自然對(duì)數(shù)的產(chǎn)生。又比如，在射影平面內(nèi)，兩點(diǎn)那能確定一條直線，反之兩直線未必有一個(gè)交點(diǎn)，為解除這個(gè)不對(duì)稱關(guān)系，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛沙格大膽猜想：兩條平行線相交于一個(gè)理想點(diǎn)(無窮遠(yuǎn)點(diǎn))這樣就創(chuàng)立了對(duì)偶原理(射影平面內(nèi)的定理中將直線與點(diǎn)互換后成立)以至射影幾何學(xué)。1931年狄拉克從數(shù)學(xué)對(duì)稱美考慮，大膽的提出反物質(zhì)的假說：認(rèn)為真空中的反電子就是正電子。1932年美國(guó)物理學(xué)家安德遜終于在宇宙射線中發(fā)現(xiàn)了正電子，從而使狄拉克的假說從數(shù)學(xué)形式的美終于變成了物理世界的真。因此對(duì)于數(shù)學(xué)美的探討，可以啟迪人們的思維，開闊人們的眼界，指出發(fā)展的前景，告戒人們方法……例如，在數(shù)學(xué)模型中，如何求解速降線的運(yùn)動(dòng)軌跡問題？如果直接用解析幾何方法去解決，困難很大，我們將物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，分解為每點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)聯(lián)想到物理學(xué)中光折射后的運(yùn)動(dòng)，類比光的折射定理。從而可求出速降線軌跡方程。再比如說，解析幾何的坐標(biāo)法與純幾何證法之間的對(duì)稱關(guān)系。一道陌生的幾何證明題擺在面前時(shí)，常使人感到無從下手，當(dāng)我們用解析幾何方法去解決時(shí)，把這個(gè)問題化成一個(gè)代數(shù)問題之后，問題轉(zhuǎn)化為很明確，很具體的一系列代數(shù)演算，只要耐心的算下去，通常是可以算出一個(gè)結(jié)果的。然而，用解析幾何的方法證明一個(gè)幾何命題之后，我們往往仍不滿足，總想再找一個(gè)不用坐標(biāo)的純幾何證法。解析幾何法與純幾何證法之間，并沒有一條不可逾越的鴻溝，解析幾何法中，把坐標(biāo)軸看成是待定的輔助線，把點(diǎn)的坐標(biāo)記為x,y換成對(duì)應(yīng)的線段，解析幾何中解題中的語言，幾乎可以逐字逐句的對(duì)稱平移為純幾何證法的語言。如：兩點(diǎn)間的距離公式對(duì)稱為勾股定理，定比分點(diǎn)對(duì)稱為相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱為比例相似形求線段長(zhǎng)，點(diǎn)到直線的距離公式對(duì)稱為利用三角形求高等等。研究解析幾何證法與純幾何的對(duì)稱關(guān)系。一方面這不僅純幾何證法的證明方式常常是巧妙的。簡(jiǎn)潔的，給人一種藝術(shù)上的美感，而且也出于是教學(xué)工作上的需要。一個(gè)初中生問的問題。教師本人雖然會(huì)用解析幾何的方法求解，但是只能用純幾何的證明，就有了很大的好處了。另一方面，研究解析幾何與純幾何之間的關(guān)系，去處理同一個(gè)題目，這不僅使我們對(duì)題目本身有了更好地理解，有助于我們更深刻的認(rèn)識(shí)解析幾何與純幾何之間的聯(lián)系。既能提高我們處理問題時(shí)的直觀想象，而且又能提高我們處理幾何問題時(shí)的分析運(yùn)算能力。5.小結(jié)數(shù)學(xué)是邏輯的實(shí)用的，也是美妙的，激勵(lì)人心的。數(shù)學(xué)美集中體現(xiàn)在數(shù)學(xué)本身的簡(jiǎn)單美，對(duì)稱美，相似美，和諧美和奇異美。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，深入挖掘數(shù)學(xué)材料的美學(xué)因素，并揭示數(shù)學(xué)美讓學(xué)生充分體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)，數(shù)學(xué)概念的簡(jiǎn)潔精煉美，解題方法的技巧美，幾何圖形和數(shù)學(xué)排列的對(duì)稱美，黃金分割與數(shù)量關(guān)系的和諧美，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美……盡量顯示數(shù)學(xué)美的因素，給人美的感受和美的熏陶，這有助于培養(yǎng)他們的審美能力，有助于激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)他們的創(chuàng)造力。由審美獲取數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)已成為不爭(zhēng)的事實(shí)，被稱為數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法。解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)有著相同的創(chuàng)造本質(zhì)，在數(shù)學(xué)解題中，往往是通過數(shù)學(xué)審美而獲得數(shù)學(xué)美的直覺，使題感經(jīng)驗(yàn)與審美直覺相配合，激發(fā)數(shù)學(xué)思維中的關(guān)聯(lián)因素，從而產(chǎn)生解題思路。與方法和策略相比，用數(shù)學(xué)美啟發(fā)解題的思路應(yīng)該是指導(dǎo)性原則，我們稱之為審美思想。法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊說過：“缺乏這種審美感的人永遠(yuǎn)不會(huì)成為真正的創(chuàng)造者”。致謝感謝袁曉紅老師的悉心指導(dǎo)。參考文獻(xiàn)[1]張雄等編著數(shù)學(xué)方法論與解題研究[M]高等教育出版社2003[2]數(shù)學(xué)方法論[M]廣西教育出版社1996[3]沈繼紅等編著數(shù)學(xué)建模[M]