專題07三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合一、知識(shí)速覽二、考點(diǎn)速覽知識(shí)點(diǎn)1三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]無(wú)對(duì)稱中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))對(duì)稱軸方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ無(wú)知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)Asin(ωx＋φ)1、y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期頻率相位初相(A>0，ω>0)AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φeq\a\vs4\al(φ)2、用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0eq\a\vs4\al(A)0－A0知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)圖象變換由函數(shù)y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法一、三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡(jiǎn)單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)圖象來(lái)求解．【注意】解三角不等式時(shí)要注意周期，且k∈Z不可以忽略．【典例1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．B．且C．D．或【答案】C【解析】由，得，∴且．∴函數(shù)的定義域?yàn)椋蔬x：C．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥?，，解得，?duì)于，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴不等式組的解為：或∴的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸镜淅?】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)定義域?yàn)椋ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】由函數(shù)式知：，∴，即.故選：B.二、三角函數(shù)值域或最值的3種求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函數(shù)，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函數(shù)，化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，確定ωx＋φ的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值)；3、換元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函數(shù)，可先設(shè)sinx＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)t＝sinx±cosx，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)【典例1】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）的最小值為.【答案】【解析】，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值.故答案為：．【典例2】（2022秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，函數(shù).【典例3】（2022秋·重慶·高三重慶一中?？迹┖瘮?shù)的最小值是．【答案】【解析】，令，則，且，，∴，，∴當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.故答案為：.【典例4】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)，的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥恳驗(yàn)?，所以，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.三、求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法1、代換法：就是將比較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t)，利用基本三角函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解；2、圖象法：畫出三角函數(shù)的正、余弦和正切曲線，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，若x的系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先化為正，同時(shí)切莫忽視函數(shù)自身的定義域．【典例1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得函數(shù)的圖象，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，即的圖象，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.故選：C.【典例2】（2023·吉林·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，沒有單調(diào)性，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，沒有單調(diào)性，D錯(cuò)誤.故選：C【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性可得，欲求的單調(diào)增區(qū)間，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：A.四、已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)范圍的3種方法1、子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；2、反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解；3、周期性法：由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過eq\f(1,4)周期列不等式(組)求解?！镜淅?】（2023秋·重慶·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)?，令，可得?duì)稱軸方程，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，,且，，即，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，所以，即，又，可得或，故選：C.【典例2】（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】由，所以，又，所以，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，即的取值范圍為.故選：D【典例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以最小正周期，即，所以.又函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定知.綜上，.故選：B.五、與三角函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論三角函數(shù)中，判斷奇偶性的前提是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．常見的結(jié)論有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)；若為奇函數(shù)，則有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則有φ＝kπ(k∈Z)．【典例1】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以，又，所以的最小值為.【典例2】（2022秋·重慶·高三重慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是偶函數(shù)，則的值為（）A．B．1C．1或-1D．【答案】B【解析】由函數(shù)得，，，其中，.故選：B.【典例3】（2022秋·河南·高三鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考）已知，則“函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】關(guān)于軸對(duì)稱，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，，故是可以推出，，但，推不出，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱是的必要不充分條件故選：B六、三角函數(shù)對(duì)稱性問題的2種求解方法1、定義法：正(余)弦函數(shù)的對(duì)稱軸是過函數(shù)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對(duì)稱中心是圖象與x軸的交點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)；2、公式法：（1）函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；（2）函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；（3）函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z【典例1】（2023秋·重慶·高三萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)校考）函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，由，得，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是.故選：A【典例2】（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，則的一個(gè)最小正周期是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根據(jù)題意得，，則，又，則，，對(duì)于A，若是的最小正周期，則，得，與矛盾，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由得，滿足條件，故B正確；對(duì)于C，由得，與矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得，與矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：B.【典例3】（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么的最小值為．【答案】【解析】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，即，令，可得的最小值為．七、三角函數(shù)圖象的變換函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，參數(shù)A，ω，φ，k的變化引起圖象的變換：（1）A的變化引起圖象中振幅的變換，即縱向伸縮變換；（2）ω的變化引起周期的變換，即橫向伸縮變換；（3）φ的變化引起左右平移變換，k的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規(guī)律為：“左加右減，上加下減”．【注意】（1）平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依賴于ωx加減多少值；（2）余弦型、正切型函數(shù)的圖象變換過程與正弦型函數(shù)的圖象變換過程相同?！镜淅?】（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，則為了得到函數(shù)的圖像，可以將圖像（）A．向右平移個(gè)單位，再向上移動(dòng)1個(gè)單位B．向左平移個(gè)單位，再向上移動(dòng)1個(gè)單位C．向右平移個(gè)單位，再向下移動(dòng)1個(gè)單位D．向右平移個(gè)單位，再向下移動(dòng)1個(gè)單位【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，所以，所以，又，所以，所以所以要得到函數(shù)的圖像則只需將圖像：向右平移個(gè)單位，再向上移動(dòng)1個(gè)單位，故選：A.【典例2】（2023·西藏林芝·?？寄M預(yù)測(cè)）為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】因?yàn)椋裕蕿榱说玫降膱D象，只需將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選:B.易錯(cuò)點(diǎn)1忽視正、余弦函數(shù)的有界性點(diǎn)撥：許多三角函數(shù)問題可以通過換元的方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決，在換元時(shí)注意正、余弦函數(shù)的有界性．【典例1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)y＝cos2x－sinx的值域是【答案】【解析】，，當(dāng)時(shí)取最大值，當(dāng)時(shí)，取最小值；故答案為：.【典例2】（2023春·河丘·高三臨潁縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考）函數(shù)的最小值為（）A．B．0C．2D．6【答案】B【解析】因?yàn)?，設(shè)，，則，，由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值0，故的最小值為0．故選：B.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，則的最小值為.【答案】【解析】設(shè)，由，得，又由，得，所以，令，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，即當(dāng)時(shí)，原函數(shù)取到最小值.故答案為：.【典例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的值域．【答案】【解析】由題知，，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?易錯(cuò)點(diǎn)2三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯(cuò)誤點(diǎn)撥：對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)，由于內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞增的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決；但當(dāng)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決。一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對(duì)于帶有絕對(duì)值的三角函數(shù)宜根據(jù)圖象從直觀上加以解決。【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函數(shù)，故求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可，令，解得故選：A【典例2】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．B．C．，D．，【答案】D【解析】可化為，故單調(diào)增區(qū)間：，，解得，.令，，令，.，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.故選：D易錯(cuò)點(diǎn)3圖象變換的方向把握不準(zhǔn)點(diǎn)撥：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，平移的量為，平移的量為。【典例1】（2023春·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？迹┖瘮?shù)的圖象經(jīng)過下列哪個(gè)變換可以得到的圖象，這個(gè)變換是（）A．先將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍B．先將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的C．先把函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，再將圖象向左平移個(gè)單位D．先把函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，再將圖象向左平移個(gè)單位【答案】B【解析】先將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到，再把圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到，即.故選：B【典例2】（2023·河北唐山·統(tǒng)考三模）（多選）為了得到函數(shù)的圖象，只需把余弦曲線上所有的點(diǎn)（）A．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移B．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移C．向右平移，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變D．向右平移，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變【答案】BC【解析】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位，得，再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得；函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，得，再向右平移個(gè)長(zhǎng)