數學是一門邏輯性很強的學科，學習數學時處處涉及命題之間的邏輯的關系和推理論證。《全日制普通高級中學教科書（試驗本）數學》的新教材第一冊（上）的第一章新增'簡易邏輯”內容，介紹一些簡單而又實用的邏輯知識，本意是讓學生弄清命題之間的邏輯關系，自覺地使用邏輯規則，避免一些易犯的錯誤，從而增強判斷是非能力和推理能力，提高數學思維能力。由于新增內容，對于高一新生來說是較為抽象，在理解上尚一定難度，加之資料書上對這方面談得少，且我們在線教師不熟悉，知識上存在一定缺陷。至此本人根據自已參與新教材的教學實踐，談談如何來構造比較合理的命題的否定，供師生們參考。首先我們要理解好命題否定“非”的認識。“非”命題是對原命題結論的否定。一個命題p經過使用邏輯聯結詞“非”，就構成一個復合命題“非p”（記作、P”）稱為命題的否定。“非P”叫做命題P的非命題，也叫做命題P的否定。“非P”形式的復合命題的真值與原命題P的真值為一真一假，一假一真，構成一對矛盾命題。但“非P”絕不是“是”與“不是”的簡單演譯。《簡易邏輯》一節中涉及到命題的否定無外乎下面幾種類型：單稱命題的否定即簡單命題的否定，存在性命題的否定，全稱性命題的否定，復合命題“P且q”、“P或q”的否定。下面試述：1簡單命題的否定在邏輯聯結詞中的最簡單命題形式是“P是q”它的否定是“P不是礦或“并非P是q”。其中P是一個特定對象。例1寫出下列命題的否定。（1） 是有理數。（2） 菱形的對角線互相垂直。（3） N{xR|x〉-2}.（4） 方程=1沒有實數根。解：（1）的否定：不是有理數。或者是并非是有理數。（2） 的否定：菱形的對角線不互相垂直。（3） 的否定：N{xR|x〉-2}。（4） 的否定：方程=1有x育的實數根。2復合命題“P且q”；“P或q”形式的否定。給定命題P、q,用聯結詞“且”來構成的復合命題“P且q”叫做命題P、q的合取命題（也叫聯言命題）。記作Pq.用聯結詞“或”來構成的復合命題“P或q”叫做命題P、q的析取命題（也叫選言命題）。記作Pq。它的否定可以通過真值表來：（“1”表示真，“0”表示假）PqPqPqn(Pq)n(Pq)"nq"nq11110000100110010101100100001111從表可知：r(Pq)與nPrq的真值相同；r(Pq)與nPrq的真值相同，故它們分別是等價命題，因而我們認為“P且q“的否定為：“非P或非q”；“P或q”的否定為“非P且非q”。用符號語言表示：n(Pq)=nPnqn(Pq)=nPnq從而知命題“Pq”和“Pq”的否定：既否定命題P,q；又改變聯結詞。例2寫出下列命題的否定。a=±5。f(x)=0既是奇函數又是偶函數。5是10的約數且是15的約數。2+2=5或3<2。AB〃CDa,b都是0。解(1)的否定：砰5且淳-5。(原命題屬于P或q型)

q型）(2)的否定:q型）(2)的否定:f(x)不是奇函數或不是偶函數。(原命題屬于P且的否定：5不是10的約數或5不是15的約數。的否定:2+2為且3>2O的否定：AB〃CD或AB^CDo的否定：“a,b不都是0”或者“a劉或賓0”。可見回應了原命題與其否定命題是一對矛盾命題。3復合命題“若P則q”形式的否定。“若P則q”(記作Pq)型命題的否定實質上較復雜，但在中學數學里所研究的命題都是具有實質性蘊涵關系的命題，是具有真假性的命題，不能區分真假性的命題不作研究。當語句P和q能判斷其真假時就成為命題，那么“若P則q”就是邏輯中的蘊涵關系，其否定形式不妨用真值表來解決。(用“1”表示真，“0”表示假)PqnqPqnPqn(Pq)P(nq)P(nq)11011000101001110101100100111001從表可知，“若P則q”的否定命題真值性與命題“P且非q”相同，故是等價命題。我們就此認為：命題”若P則q”的否定為“P且非q”，且習慣表達為“雖然P，卻非q”的形式，或是“盡管P，然而非q”.用符號語言表示：n(Pq)=P(iq)或r(Pq)=n(nPq)=P(nq)例3寫出下列命題的否定。若x2+y2=0，則x,y全為0。若x=2或x=-1則x2-x-2=0.若集合B真包含集合A，則集合A包含于集合B。解：(1)的否定：雖然x2+y2=0，但是x和y不全為0。的否定：雖然x=2或x=-1，但x2-x-2^0.o的否定：盡管集合B真包含集合A，然而集合A不包含于集合Bo但在教學中發現有些師生把例3的答案寫成：(1)若x2+y2=0，則x,y不全為0o(2)若x=2或x=-1，則x2-x-2^0.是不對的。它誤把

若P若P則q的否定命題認為是“條件P不變，結論q否定，且聯結詞不變的命題”。即為^（Pq）=P（nq）。實際上，原命題與否定命題應屬于矛盾命題，而“若P則非q”與“若P則q”構成對立關系的命題；另方面從真值表可知，當P為假時，它們的真值都為真，故不可成為矛盾命題，因此n（Pq#P（nq）例如“若2是奇數，則7是奇數”與“若2是奇數，則7不是奇數”都為真命題。希教學中切實注意它們的區別。4含量詞命題的否定。數學命題中出現“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一個”等與“存在著”、“有”、“有些”、“某個”、“至少有一個”等的詞語，在邏輯中分別稱為全稱量詞與存在性量詞（用符號分別記為與“”來表示）；由這樣的量詞構成的命題分別稱為全稱命題與存在性命題。那么它的否定又怎么樣？一般地，全稱命題P：xA,有P（X）成立；其否定命題nP為：xA,使P（X）不成立。存在性命題P：xA,使P（X）成立；其否定命題nP為：XA,有P（X）不成立。用符號語言表示：非((X)p(x))=(x)非p(x)非((x)p(x))=(X)非p(x)在具體操作中就是從命題P把全稱性的量詞改成存在性的量詞，存在性的量詞改成全稱性的量詞，并把量詞作用范圍進行否定。即須遵循下面法則：否定全稱得存在，否定存在得全稱，否定肯定得否定，否定否定得肯定.例4寫出下列命題的否定。所有自然數的平方是正數。任何實數x都是方程5x-12=0的根。對任意實數x，存在實數y，使x+y〉0.有些質數是奇數。解；(1)的否定：有些自然數的平方不是正數。的否定：存在實數x不是方程5x-12=0的根。的否定：存在實數x,對所有實數y，有x+yM0。的否定：所有的質數都不是奇數。但解題中會遇到省略了“所有，任何，任意，等量詞的簡化形式，如“若x〉3，則x2〉9”。在求解中極易誤當為簡單命題處理；這種情形下時應先將命題寫成完整形式，再依據法則來寫出其否定形式。例5寫出下列命題的否定。(1)若x2〉4則x〉2.°

(2)若(2)若mR,則x2+x-m=0有實數根。（3）可以被5整除的整數，末位是0.o（4） 被8整除的數能被4整除。（5） 若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等。解（1）的否定：存在實數x0，雖然滿足x02〉4但x0<2.o或者說:存在小于或等于2的數x0，滿足x02〉4。（完整表達為對任意的實數x,若x2〉4貝Ux〉2）（2）的否定：雖然實數m之0，但存在一個x0，使x02+x0-m=0無實數根。（原意表達：對任意實數m,若m之0,則x2+x-m=0有實數根。）（3） 的否定：存在一個可以被5整除的整數，其末位不是0.o（4） 的否定：存在一個數能被8整除，但不能被4整除.（原意表達為所有能被8整除的數都能被4整除）（5） 的否定：存在一個四邊形，雖然它是正方形，但四條邊中至少有兩條不相等。（原意表達為無論哪個四邊形，若它是正方形，則它的四條邊中任何兩條都相等。）由此看來，要準確表達含量詞命題的否定，就要求我們掌握好一些詞語的否定如下表：

詞語是一定是都是大于小于且詞語是一定是都是大于小于且詞語的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于或詞語必有一個至少有n個至多有一個所有x成立所有x不成立詞語的否定一個也沒有至多有n-1個至少有兩個存在一個x不成立存在有一個成立5命題的否定與否命題的區別。命題的否定與否命題是完全不同的概念。其理由：一，任何命題均有否定，無論是真命題還是假命題；而否命題僅針對命題“若P則q”提出來的。二，命題的否定是原命題的矛盾命題，兩者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命題與原命題可能是同真同假，也可能是一真一假。如下面真值表可知：Pqnprq”PqnPrq”110011100101011010001111

三，原命題“三，原命題“若P則q”的形式，它的否定命題在前面已講過；而它的否命題為“若非P，則非q”，(記為“若rp,則^礦)即是說既否定條件又否定結論。例6寫出下列命題的否定命題與否命題。并判斷其真假性。若x〉y，則5x〉5y。若x2+x<2,則x2-x<2。正方形的四條邊相等。已知a,b為實數，若x2+ax+b<0有非空實解集，則a2-4b>0o解：(1)的否定：x,y(x〉y且5x<5y)。假命題否命題：Vx,y(x<y5x<5y)o真命題(原命題為：Vx,y(x〉y5x〉5y)。真命題)的否定：x(x2+x<2,且x2-x>2)。真命題否命題：Vx(x2+x>2,x2-x>2)。假命題(原命題為：Vx(x2+x<2,x2-x<2)o假命題)的否定：存在一個四邊形，盡管它是正方形，然而四條邊中至少有兩條邊不相等。假命題

否命題：若個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命否命題：若個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等。假命（原命題是真命題。看例5（5））（4）的否定：存在兩個實數