抽象函數單調性、奇偶性、周期性和對稱性典例分析[1]抽象函數的對稱性、奇偶性與周期性一、典例分析1.求函數值例1.設是上的奇函數，當時，，則等于（）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例2．已知是定義在實數集上的函數，且，求的值.。2、比較函數值大小例3.若是以2為周期的偶函數，當時，試比較、、的大小.3、求函數解析式例4.設是定義在區間上且以2為周期的函數，對，用表示區間已知當時，求在上的解析式.6、在數列中的應用例8.在數列中，，求數列的通項公式，并計算7、在二項式中的應用例9.今天是星期三，試求今天后的第天是星期幾？8、復數中的應用例10.（上海市1994年高考題）設，則滿足等式且大于1的正整數中最小的是（A）3；（B）4；（C）6；（D）7.9、解“立幾”題例11.ABCD—是單位長方體，黑白二蟻都從點A出發，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是黑蟻爬行的路線是它們都遵循如下規則：所爬行的第段所在直線與第段所在直線必須是異面直線（其中.設黑白二蟻走完第1990段后，各停止在正方體的某個頂點處，這時黑白蟻的距離是（A）1；（B）；（C）；（D）0.例題與應用例1：f(x)是R上的奇函數f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]時f(x)=x，求f(2007)的值例2：已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值。例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數，f(x)=f(4-x)，且當時，f(x)=－2x+1，則當時求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，試判斷函數f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數，f(x)=f(4-x)，且當時，f(x)是減函數，求證當時f(x)為增函數例6：f(x)滿足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上單調.求a的值.例7：已知f(x)是定義在R上的函數，f(x)=f(4－x)，f(7+x)=f(7－x),f(0)=0，求在區間[－1000，1000]上f(x)=0至少有幾個根？

例8、函數y＝f(x)是定義在實數集R上的函數，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象之間（）A．關于直線x＝5對稱B．關于直線x＝1對稱C．關于點（5，0）對稱D．關于點（1，0）對稱例9、設f(x)是定義在R上的偶函數，其圖象關于x＝1對稱，證明f(x)是周期函數。例10、設f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時f(x)＝x，則f(7.5)等于（）例11、設f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（）A．偶函數，又是周期函數B．偶函數，但不是周期函數C．奇函數，又是周期函數D．奇函數，但不是周期函數二、鞏固練習1、函數y＝f(x)是定義在實數集R上的函數，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象（

）。A．關于直線x＝5對稱

B．關于直線x＝1對稱C．關于點（5，0）對稱

D．關于點（1，0）對稱2、設f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)=（

）。A．0.5

B．－0.5

C．1.5

D．－1.53、設f(x)是定義在（－∞，＋∞）上的函數，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（

）。A．偶函數，又是周期函數B．偶函數，但不是周期函數C．奇函數，又是周期函數

D．奇函數，但不是周期函數4、f(x)是定義在R上的偶函數，圖象關于x＝1對稱，證明f(x)是周期函數。5、在數列求=抽象函數的對稱性、奇偶性與周期性常用結論一.概念:抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式或圖像,只給出一些函數符號及其滿足的條件的函數,如函數的定義域,解析遞推式,特定點的函數值,特定的運算性質等,它是高中函數部分的難點,也是大學高等數學函數部分的一個銜接點,由于抽象函數沒有具體的解析表達式作為載體,因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數的題目需要有嚴謹的邏輯思維能力、豐富的想象力以及函數知識靈活運用的能力1、周期函數的定義：對于定義域內的每一個，都存在非零常數，使得恒成立，則稱函數具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數叫的最小正周期。分段函數的周期：設是周期函數，在任意一個周期內的圖像為C:。把個單位即按向量在其他周期的圖像：。2、奇偶函數：設=1\*GB3①若=2\*GB3②若。分段函數的奇偶性3、函數的對稱性：（1）中心對稱即點對稱：=1\*GB3①點=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤（2）軸對稱：對稱軸方程為：。=1\*GB3①關于直線=2\*GB3②函數關于直線成軸對稱。=3\*GB3③關于直線成軸對稱。二、函數對稱性的幾個重要結論（一）函數圖象本身的對稱性（自身對稱）若，則具有周期性；若，則具有對稱性：“內同表示周期性，內反表示對稱性”。1、圖象關于直線對稱推論1：的圖象關于直線對稱推論2、的圖象關于直線對稱推論3、的圖象關于直線對稱2、的圖象關于點對稱推論1、的圖象關于點對稱推論2、的圖象關于點對稱推論3、的圖象關于點對稱（二）兩個函數的圖象對稱性（相互對稱）（利用解析幾何中的對稱曲線軌跡方程理解）1、偶函數與圖象關于Y軸對稱2、奇函數與圖象關于原點對稱函數3、函數與圖象關于X軸對稱4、互為反函數與函數圖象關于直線對稱5.函數與圖象關于直線對稱推論1:函數與圖象關于直線對稱推論2:函數與圖象關于直線對稱推論3:函數與圖象關于直線對稱（三）抽象函數的對稱性與周期性1、抽象函數的對稱性性質1若函數y＝f(x)關于直線x＝a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性質2若函數y＝f(x)關于點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數分別為性質1（或2）當a＝0時的特例。2、復合函數的奇偶性定義1、若對于定義域內的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復數函數y＝f[g(x)]為偶函數。定義2、若對于定義域內的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復合函數y＝f[g(x)]為奇函數。說明：（1）復數函數f[g(x)]為偶函數，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復合函數y＝f[g(x)]為奇函數，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）兩個特例：y＝f(x＋a)為偶函數，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函數，等價于單層函數y＝f(x)關于直線x＝a軸對稱（或關于點（a，0）中心對稱）3、復合函數的對稱性性質3復合函數y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關于直線x＝（b－a）/2軸對稱性質4、復合函數y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關于點（（b－a）/2，0）中心對稱推論1、復合函數y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關于y軸軸對稱推論2、復合函數y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關于原點中心對稱4、函數的周期性若a是非零常數，若對于函數y＝f(x)定義域內的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數y＝f(x)是周期函數，且2|a|是它的一個周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)5、函數的對稱性與周期性性質5若函數y＝f(x)同時關于直線x＝a與x＝b軸對稱，則函數f(x)必為周期函數，且T＝2|a－b|性質6、若函數y＝f(x)同時關于點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函數f(x)必為周期函數，且T＝2|a－b|性質7、若函數y＝f(x)既關于點（a，0）中心對稱，又關于直線x＝b軸對稱，則函數f(x)必為周期函數，且T＝4|a－b|6、函數對稱性的應用（1）若,即（2）例題1、;2、奇函數的圖像關于原點（0，0）對稱：。3、若的圖像關于直線對稱。設.（四）常用函數的對稱性三、函數周期性的幾個重要結論1、()的周期為，()也是函數的周期2、的周期為3、的周期為4、的周期為5、的周期為6、的周期為7、的周期為8、的周期為9、的周期為10、若11、有兩條對稱軸和周期推論：偶函數滿足周期12、有兩個對稱中心和周期推論：奇函數滿足周期13、有一條對稱軸和一個對稱中心的四、用函數奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應用函數奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答某些數學問題，它對訓練學生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實例說明其應用類型。答案1.求函數值例1.（1996年高考題）設是上的奇函數，當時，，則等于（-0.5）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例2．（1989年北京市中學生數學競賽題）已知是定義在實數集上的函數，且，求的值.。2、比較函數值大小例3.若是以2為周期的偶函數，當時，試比較、、的大小.解：是以2為周期的偶函數，又在上是增函數，且，3、求函數解析式例4.（1989年高考題）設是定義在區間上且以2為周期的函數，對，用表示區間已知當時，求在上的解析式.解：設時，有是以2為周期的函數，.例5．設是定義在上以2為周期的周期函數，且是偶函數，在區間上，求時，的解析式.解：當，即，又是以2為周期的周期函數，于是當，即時，4、判斷函數奇偶性例6.已知的周期為4，且等式對任意均成立，判斷函數的奇偶性.解：由的周期為4，得，由得，故為偶函數.5、確定函數圖象與軸交點的個數例7.設函數對任意實數滿足，判斷函數圖象在區間上與軸至少有多少個交點.解：由題設知函數圖象關于直線和對稱，又由函數的性質得是以10為周期的函數.在一個周期區間上，故圖象與軸至少有2個交點.而區間有6個周期，故在閉區間上圖象與軸至少有13個交點.6、在數列中的應用例8.在數列中，，求數列的通項公式，并計算分析：此題的思路與例2思路類似.解：令則不難用歸納法證明數列的通項為：，且以4為周期.于是有1，5，9…1997是以4為公差的等差數列，，由得總項數為500項，7、在二項式中的應用例9.今天是星期三，試求今天后的第天是星期幾？分析：轉化為二項式的展開式后，利用一周為七天這個循環數來進行計算即可.解：因為展開式中前92項中均有7這個因子，最后一項為1，即為余數，故天為星期四.8、復數中的應用例10.（上海市1994年高考題）設，則滿足等式且大于1的正整數中最小的是（A）3；（B）4；（C）6；（D）7.分析：運用方冪的周期性求值即可.解：，9、解“立幾”題例11.ABCD—是單位長方體，黑白二蟻都從點A出發，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是黑蟻爬行的路線是它們都遵循如下規則：所爬行的第段所在直線與第段所在直線必須是異面直線（其中.設黑白二蟻走完第1990段后，各停止在正方體的某個頂點處，這時黑白蟻的距離是（A）1；（B）；（C）；（D）0.解：依條件列出白蟻的路線立即可以發現白蟻走完六段后又回到了A點.可驗證知：黑白二蟻走完六段后必回到起點，可以判斷每六段是一個周期.1990=6，因此原問題就轉化為考慮黑白二蟻走完四段后的位置，不難計算出在走完四段后黑蟻在點，白蟻在C點，故所求距離是例題與應用例1：f(x)是R上的奇函數f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]時f(x)=x，求f(2007)的值例2：已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值。故f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數，f(x)=f(4-x)，且當時，f(x)=－2x+1，則當時求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定義在R上的函數，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，試判斷函數f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數，f(x)=f(4-x)，且當時，f(x)是減函數，求證當時f(x)為增函數例6：f(x)滿足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上單調.求a的值.例7：已知f(x)是定義在R上的函數，f(x)=f(4－x)，f(7+x)=f(7－x),f(0)=0，求在區間[－1000，1000]上f(x)=0至少有幾個根？

解：依題意f(x)關于x=2，x=7對稱，類比命題2（2）可知f(x)的一個周期是10故f(x+10)=f(x)∴f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在區間(0，10]上，方程f(x)=0至少兩個根又f(x)是周期為10的函數，每個周期上至少有兩個根，因此方程f(x)=0在區間[－1000，1000]上至少有1+=401個根.例1、函數y＝f(x)是定義在實數集R上的函數，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象之間（D）A．關于直線x＝5對稱B．關于直線x＝1對稱C．關于點（5，0）對稱D．關于點（1，0）對稱解：據復合函數的對稱性知函數y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)之間關于點（（6－4）/2，0）即（1，0）中心對稱，故選D。（原卷錯選為C）例2