第45講數列的綜合運用1、數列與函數綜合問題的主要類型及求解策略(1)已知函數條件，解決數列問題，此類問題一般利用函數的性質、圖象研究數列問題．(2)已知數列條件，解決函數問題，解決此類問題一般要利用數列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形．注意數列與函數的不同，數列只能看作是自變量為正整數的一類函數，在解決問題時要注意這一特殊性．數列在實際問題中的應用2、現實生活中涉及銀行利率、企業股金、產品利潤、人口增長、產品產量等問題，常常考慮用數列的知識去解決．1．數列實際應用中的常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定的數，則該模型是等差模型，這個固定的數就是公差；(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數，則該模型是等比模型，這個固定的數就是公比；(3)遞推數列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮是第n項an與第n＋1項an＋1的遞推關系還是前n項和Sn與前n＋1項和Sn＋1之間的遞推關系．1、（2023?北京）我國度量衡的發展有著悠久的歷史，戰國時期就出現了類似于砝碼的用來測量物體質量的“環權”．已知9枚環權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列，該數列的前3項成等差數列，后7項成等比數列，且，，，則，數列的所有項的和為．2、（2023?新高考Ⅱ）已知為等差數列，，記，為，的前項和，，．（1）求的通項公式；（2）證明：當時，．3、（2022?新高考Ⅰ）記為數列的前項和，已知，是公差為的等差數列．（1）求的通項公式；（2）證明：．4、（2021?乙卷（文））設是首項為1的等比數列，數列滿足，已知，，成等差數列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前項和．證明：．1、甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第一分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．甲、乙開始運動后，相遇的時間為________分鐘．A.3 B.7 C.11 2、（2023·黑龍江大慶·統考三模）定義，已知數列為等比數列，且，，則（

）A．4 B．±4 C．8 D．±83、對于每一個正整數n，設曲線y＝xn＋1在點(1，1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99＝________．4、(2022·江蘇南京市二十九中學高三10月月考)(多選題)南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有個球，第二層有個球，第三層有個球，…，設各層球數構成一個數列，則（）A.B.C.D.考向一數列在數學文化與實際問題中的應用例1、（1）時，發現其遞推公式就可以利用“疊羅漢”的思想來處理，即，如果該數列的前兩項分別為，其前項和記為，若，則（

）A． B． C． D．（2）（2023·湖南邵陽·統考三模）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素數的一種古老的方法.這種方法是依次寫出2和2以上的自然數，留下第一個數2不動，剔除掉所有2的倍數；接著，在剩余的數中2后面的一個數3不動，剔除掉所有3的倍數；接下來，再在剩余的數中對3后面的一個數5作同樣處理；……，依次進行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素數.在利用“埃拉托塞尼篩法”挑選2到20的全部素數過程中剔除的所有數的和為（

）A．130 B．132 C．134 D．141（3）（2023·吉林·統考三模）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中華傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題．其前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數列的第25項與第24項的差為（

）A．22 B．24 C．25 D．26變式1、（1）(2022·青島期初考試)《算法統宗》是中國古代數學名著，在這部著作中，許多數學問題都是以歌訣形式呈現的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推．在這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數為A．8B．11C．14D．16（1）、(2022·湖北華中師大附中等六校開學考試聯考)《周髀算經》是我國古老的天文學和數學著作，其書中記載：一年有二十四個節氣，每個節氣晷長損益相同（晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測影子的長度），夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降是連續的九個節氣，其晷長依次成等差數列，經記錄測算，這九個節氣的所有晷長之和為49.5尺，夏至、大暑、處暑三個節氣晷長之和為10.5尺，則立秋的晷長為（）（3）、（2020屆山東實驗中學高三上期中）古代數學著作《九章算術》有如下的問題:“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?”根據上述己知條件，若要使織布的總尺數不少于30尺，則至少需要（）A．6天 B．7天 C．8天 D．9天考向二數列中的含參問題例2、（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學校考一模）已知數列前項和，數列滿足為數列的前項和．若對任意的，不等式恒成立，則實數的取值范圍為______．變式1、（2023·江蘇南通·統考模擬預測）已知等差數列的首項為1，公差，其前n項和滿足.(1)求公差d；(2)是否存在正整數m，k使得.變式2、（2023·江蘇泰州·泰州中學校考一模）已知數列是等差數列，，且，，成等比數列．給定，記集合的元素個數為．(1)求，的值；(2)求最小自然數n的值，使得．考向三數列中的“定義型問題”例3、（2023·遼寧大連·統考三模）定義：對于各項均為整數的數列，如果(=1，2，3，…)為完全平方數，則稱數列具有“性質”；不論數列是否具有“性質”，如果存在數列與不是同一數列，且滿足下面兩個條件：（1）是的一個排列；（2）數列具有“性質”，則稱數列具有“變換性質”.給出下面三個數列：①數列的前項和；②數列：1，2，3，4，5；③數列：1，2，3，4，5，6.具有“性質”的為________；具有“變換性質”的為_________.變式1、(2022·江蘇如皋中學高三10月月考)已知數列滿足：，且.（1）求數列的通項公式；（2）已知數列滿足：，定義使為整數叫做“幸福數”，求區間內所有“幸福數”的和.變式2、(2022·江蘇蘇州市八校聯盟第一次適應性檢測)若數列{an}中不超過f(m)的項數恰為bm(m∈N*)，則稱數列{bm}是數列{an}的生成數列，稱相應的函數f(m)是數列{an}生成{bm}的控制函數．已知an＝2n，且f(m)＝m，數列{bm}的前m項和Sm，若Sm＝30，則m的值為()A．9B．11C．12D．14考向四數列與不等式等知識點的結合例4（2023·安徽馬鞍山·統考三模）已知數列中，，是數列的前項和，數列是公差為1的等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)證明：．變式1、（2023·江蘇蘇州·蘇州中學校考模擬預測）已知各項為正數的數列的前項和為，若.(1)求數列的通項公式；(2)設，且數列的前項和為，求證：．1、（2023·江蘇南通·統考模擬預測）傳說國際象棋發明于古印度，為了獎賞發明者，古印度國王讓發明者自己提出要求，發明者希望國王讓人在他發明的國際象棋棋盤上放些麥粒，規則為：第一個格子放一粒，第二個格子放兩粒，第三個格子放四粒，第四個格子放八粒……依此規律，放滿棋盤的64個格子所需小麥的總重量大約為（

）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）A．105 B．107 C．1012 D．10152、（2023·江蘇泰州·泰州中學校考一模）小李在2022年1月1日采用分期付款的方式貸款購買一臺價值元的家電，在購買1個月后的2月1日第一次還款，且以后每月的1日等額還款一次，一年內還清全部貸款（2022年12月1日最后一次還款），月利率為．按復利計算，則小李每個月應還（

）A．元 B．元C．元 D．元3、（2023·湖南長沙·長沙市明德中學校考三模）中國古代數學著作《增減算法統宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.”則此人在第六天行走的路程是__________里（用數字作答）.4、（2023·云南玉溪·統考一模）在①，②這兩個條件中選擇一個補充在下面的問題中，然后求解．設等差數列的公差為，前n項和為，等比數列的公比為q．已知，，．（說明：只需選擇一個條件填入求解，如果兩個都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評分）(1)請寫出你的選擇，并求數列和的通項公式；(2)若數列滿足，設的前n項和為，求證：．5、（2023·云南·統考一模）記數列的前n項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)設m為整數，且對任意，，求m的最小值．6、（2023·山