第03講兩角和與差的正弦、余弦、正切公式兩角和與差的余弦、正弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtanβ一．兩角和與差的三角函數公式例1．（1）已知，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據同角三角函數基本關系得出的值，再用兩角差的余弦公式即可解題.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.故選：D【點睛】方法點睛：該題考查的是有關三角函數求值問題，解題方法如下：（1）利用同角三角函數關系式，結合角的范圍，求得的值；（2）湊角，利用差角余弦公式求得結果.（2）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將所給的三角函數式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數式的值.【詳解】由題意可得：，則：，，從而有：，即.故選：B.【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應用，屬于中等題.（3）已知α∈,cosα=,則tan等于()A．7 B． C． D．7【答案】B【分析】先根據同角三角函數關系求tanα，再根據兩角差正切公式求結果.【詳解】由已知得tanα=,則tan.選B【點睛】本題考查同角三角函數關系、兩角差正切公式，考查基本求解能力.（4）若，，則________.【答案】【解析】首先根據同角三角函數的基本關系求出，然后再根據利用兩角和的正弦公式計算可得結果.【詳解】因為，，所以，因為，所以，所，所以.故答案為：【點睛】關鍵點睛：本題考查同角三角函數的基本關系及兩角和的正弦公式的應用，其中將變形為是解題的關鍵，屬于常考題.（5）________．【答案】【分析】由題意觀察出角之間的關系為，，故原式轉化為，利用兩角差的余弦公式化簡求解.【詳解】.故答案為：【復習指導】：兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣，可用α，β的三角函數表示α±β的三角函數，在使用兩角和與差的三角函數公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角與角轉換的目的．二．兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形例2．（1）的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據積化和差及誘導公式即得.【詳解】.故選：A.（2）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】逆用兩角差余弦公式及二倍角公式得到結果.【詳解】．故選：B．【復習指導】：兩角和（差）的正/余弦公式常見題型及解法(1)兩特殊角之和/差的正/余弦值，利用公式直接展開求解．(2)含有常數的式子，先將系數轉化為特殊角的三角函數值，再利用兩角差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函數值，把非特殊角轉化為兩個特殊角的差，然后利用兩角和/差的正/余弦公式求解．（3）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數恒等變換公式化簡已知等式，再根據誘導公式簡化即可得到答案.【詳解】故選:A（4）中已知且，則（

）A．2 B．2 C．1 D．1【答案】B【分析】根據進行化簡整理即可求得的值.【詳解】由題意得，則有整理得：，故選：B（5）（多選）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據兩角和的正切公式、二倍角公式、誘導公式求得正確答案.【詳解】因為，故A正確；，故B正確；，故C正確；因為，所以，故D錯誤．故選：ABC（6）____________．【答案】【分析】由正切的差角公式，可得，經過等量代換與運算可得答案.【詳解】．故答案為：.【復習指導】：利用公式T(α±β)化簡求值的兩點說明=1\*GB4㈠分析式子結構，正確選用公式形式：T(α±β)是三角函數公式中應用靈活程度較高的公式之一，因此在應用時先從所化簡(求值)式子的結構出發，確定是正用、逆用還是變形用，并注意整體代換．(1)整體意識：若化簡的式子中出現了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”兩個整體，常考慮tan(α±β)的變形公式．(2)熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β)；③tanα＋tanβ＋tanα·tanβ·tan(α＋β)＝tan(α＋β)；④tanα·tanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).提醒：當一個式子中出現兩角正切的和或差時，常考慮使用兩角和或差的正切公式．=2\*GB4㈡化簡求值中要注意“特殊值”的代換和應用：當所要化簡(求值)的式子中出現特殊的數值“1”，“eq\r(3)”時，要考慮用這些特殊值所對應的特殊角的正切值去代換，如“1＝tan

eq\f(π,4)”，“eq\r(3)＝tan

eq\f(π,3)”，這樣可以構造出利用公式的條件，從而可以進行化簡和求值．三．角的變換問題例3．（1）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用題目條件結合誘導公式即可得出答案.【詳解】故選：B.（2）若，，且，，則的值是（

）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根據角的變換可得，，從而可得，然后根據已知條件分別得到，的值，進而求解得到結果．【詳解】解：因為，，，，，，，又因為，，所以為第二象限角，為第二象限角，所以，，又因為，所以，所以，．故選：A.（3）已知，，則的值為（

）A． B．或 C． D．【答案】A【分析】由給定條件探求并縮小與的范圍，再求出的值即可作答.【詳解】因，，且，于是得，則，，所以.故選：A【復習指導】：已知三角函數值求角的解題步驟(1)界定角的范圍，根據條件確定所求角的范圍．(2)求所求角的某種三角函數值．為防止增解最好選取在范圍內單調的三角函數．(3)結合三角函數值及角的范圍求角．提醒：在根據三角函數值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案．（4）已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq\f(4\r(3),5)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))的值是()A．－eq\f(2\r(3),5)B．－eq\f(\r(2),10)C.eq\f(2\r(3),5)D．－eq\f(4,5)【答案】B【詳解】由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq\f(4\r(3),5)，得cosαcoseq\f(π,6)－sinαsineq\f(π,6)－sinα＝eq\f(4\r(3),5)，即eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(3,2)sinα＝eq\f(4\r(3),5)，所以eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5)，即coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(4,5).因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))，所以α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))))＝eq\f(3,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,12)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)－\f(4,5)))＝－eq\f(\r(2),10).故選B.【復習指導】：解決給值(式)求角問題的方法解決此類題目的關鍵是求出所求角的某一三角函數值，而三角函數的選取一般要根據所求角的范圍來確定，當所求角范圍是(0，π)或(π，2π)時，選取求余弦值，當所求角范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時，選取求正弦值．（5）已知，則的值為______．【答案】【解析】由誘導公式可得，，且，代入可得到答案.【詳解】因為，，所以，，所以．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角函數誘導公式、湊角的應用，涉及到同角三角函數的基本關系，關鍵點是利用，轉化求值，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.（6）若為銳角，且，，則________，________.【答案】

【分析】先由三角恒等式求出的值，利用正弦的和角公式，即可代值計算求得；根據的范圍，即可由其余弦值，求得角.【詳解】因為為銳角，且，，所以，，所以；，又0<α+β<π，所以cos(α+β)=，α+β=.故答案為：；.（7）已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝eq\f(24,25)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝.【答案】－eq\f(4,5)【詳解】由題意知，α＋β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)<0，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，因為β－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(7,25)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))))＝cos(α＋β)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))＝－eq\f(4,5).思維升華常見的角變換：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(π,3)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(π,2)等．【復習指導】：給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，即拆角與湊角．=1\*GB3①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式．=2\*GB3②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系，然后應用誘導公式把“所求角”變成“已知角”．(2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換．常見角的變換有：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．1．已知，且，則（

）A．7 B． C． D．【答案】A【分析】由同角三角函數的基本關系計算可得、，再根據兩角差的正切公式計算可得.【詳解】因為，所以，又，所以，則，所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角恒等變換，解題的關鍵是利用同角關系求出、，再利用湊角去求值，出考查運算求解能力，屬于基礎題.2．已知，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，再利用和角的正切公式求的值.【詳解】由題得，所以，所以.故選C【點睛】本題主要考查解三角方程，考查和角的正切公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.3．（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據誘導公式，以及兩角和的余弦公式直接化簡，即可得出結果.【詳解】.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：該題主要考查利用兩角和的余弦公式化簡求值，涉及誘導公式，正確解題的關鍵是熟練掌握公式.4．若為銳角，＝，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用兩角和的余弦公式展開所給條件，平方求得，代入即可得到答案．【詳解】因為＝，所以．兩邊平方得：．所以．故選：B．5．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據向量數量積的坐標表示及兩角和差的余弦公式求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：A6．已知，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】由題意，可將展開為，再結合兩角和的正切公式及即可求值.【解答】∵，∴.故選：D.7．已知，則（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】利用兩角和的正切恒等變換公式可求得=，對所求式子利用誘導公式進行化簡，再利用弦化切即可求解.【詳解】因為，所以，解得=，則，故選：D.8．（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】逆用正切的和差公式與特殊角的三角函數值即可求解.【詳解】.故選：C.9．已知，均為銳角，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對已知的式子化簡，然后利用兩角和的正切公式可求出結果【詳解】由，得，所以所以，所以，所以，因為，所以，所以，故選：B10．的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由正切的和角公式展開、移項整理即可得出答案.【詳解】因為所以所以故選：B.11．在△ABC中，cosAcosB>sinAsinB，則△ABC的形狀是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】C【詳解】依題意可知cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)>0，所以－cosC>0，所以cosC<0，所以C為鈍角．故選C.12．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinBcosC，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】D【詳解】因為sin(B＋C)＝2sinBcosC，所以sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，即sinBcosC－cosBsinC＝0，所以sin(B－C)＝0，所以B＝C.所以△ABC是等腰三角形．13．已知α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα，tanβ是方程x2＋12x＋10＝0的兩根，則tan(α＋β)等于()A.eq\f(4,3)B．－2或eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．－2【答案】A【詳解】因為α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tanα，tanβ是方程x2＋12x＋10＝0的兩根，所以tanα＋tanβ＝－12，tanα·tanβ＝10，所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(－12,1－10)＝eq\f(4,3).故選A.14．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，則cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的值是()A．－eq\f(2\r(3),3)B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1D．±1【答案】C【詳解】cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－1.15．若cos2α－cos2β＝a，則sin(α＋β)sin(α－β)等于()A．－eq\f(a,2)B.eq\f(a,2)C．－aD．a【答案】C【詳解】sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)·(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a.16．已知α－β＝eq\f(π,6)，tanα－tanβ＝3，則cos(α＋β)的值為()A.eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),3) B.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),2) D.eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2)【答案】D【詳解】由tanα－tanβ＝3，得eq\f(sinα,cosα)－eq\f(sinβ,cosβ)＝3，即eq\f(sinαcosβ－cosαsinβ,cosαcosβ)＝3.∴sin(α－β)＝3cosαcosβ.又知α－β＝eq\f(π,6)，∴cosαcosβ＝eq\f(1,6).而cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2)，∴sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,6).∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(1,6)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,6)))＝eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2).17．已知sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)，α，β均為銳角，則β等于()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)【答案】C【詳解】因為sinα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(β－α)＝－eq\f(\r(10),10)，且α，β均為銳角，所以cosα＝eq\f(\r(5),5)，cos(β－α)＝eq\f(3\r(10),10)，所以sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinα·cos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq\f(25\r(2),50)＝eq\f(\r(2),2)，所以β＝eq\f(π,4).故選C.18．已知則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用同角三角函數基本關系式求出和，然后利用兩角和的余弦公式展開代入即可求出cos（α+β）．【詳解】∵∴∴，∴，∴．故選：D19．已知，為第二象限角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據同角三角函數基本關系求出的值，再利用兩角和的余弦公式計算的值即可求解.【詳解】因為為第二象限角，所以，又因為，所以，所以，所以，故選：A.20．已知且，則=（

）A．B．C．D．或【答案】C【分析】根據給定條件利用三角恒等變換求出的值，再判斷的范圍即可得解.【詳解】因，則，，因，，則，又，有，于是得，因此，，所以.故選：C21．設，且，，則（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】根據兩角和與差的余弦公式，結合角度的范圍求解即可【詳解】因為，，所以，.易知，，，則，故.故選：A22．（多選）已知，則的可能取值為（

）A．0 B． C． D．【答案】AD【分析】根據兩角和的余弦公式，結合輔助角公式、正弦型函數的性質進行求解即可.【詳解】由，得，即，所以或，即或，當時，或，故選：AD23．（多選）下列選項中正確的有（

）A．若是第二象限角，則B．C．D．【答案】ABCD【分析】對于A，可利用同角三角函數基本關系化簡；對于B，可利用及同角三角函數基本關系化簡；對于C，可先利用兩角差的余弦公式及誘導公式統一角之后再進行化簡；對于D，可利用二倍角的正切公式化簡.【詳解】對于A，因為是第二象限角，所以，從而，所以A正確；對于B，，所以B正確；對于C，，所以C正確；對于D，，所以D正確.故選：ABCD.24．已知，tanα=2，則cos(α?π4)【答案】【詳解】由得，又，所以，因為，所以，因為，所以．25．已知，則__________．【答案】【詳解】∵，∴，∴，整理得，解得．∴．答案：26．已知，則______．【答案】或【分析】首先根據誘導公式求出，再利用同角三角函數關系式求出的值，從而可求出的值.【詳解】因為，所以，所以或，當時，，；當時，，.故答案為：或.27．函數

是奇函數，則______；【答案】【分析】由兩角和的余弦公式化簡函數后，根據奇偶性得出的表達式，從而得出結論．【詳解】，它是奇函數，則，，，又，所以．故答案為：．28．的值是_____.【答案】【分析】利用余弦的和差公式、誘導公式及特殊角的三角函數值可解.【詳解】.故答案為：.29．求值________.【答案】【分析】由題意，根據正弦函數的和角公式，可得答案.【詳解】.故答案為：.30．_________.【答案】1【分析】根據誘導公式及兩角和的正弦公式即得.【詳解】.故答案為：1.31．式子的值為__________【答案】【分析】逆用兩角和正切公式進行求解即可.【詳解】故答案為：32．在中，若，則_________.【答案】【分析】利用兩角和的正切公式結合誘導公式化簡可得的值，再利用二倍角的正切公式化簡可得的值.【詳解】因為，所以，，由題意可得，若，則，不妨設為銳角，則，則，不合乎題意，所以，，故，因此，.故答案為：.33．tan25°－tan70°＋tan70°tan25°＝________.【答案】－1【分析】逆用兩角差的正切公式化簡求值．【詳解】∵tan25°－tan70°＝tan(25°－70°)(1＋tan25°tan70°)＝tan(－45°)(1＋tan25°tan70°)＝－1－tan25°tan70°∴tan25°－tan70°＋tan70°tan25°＝－1.故答案為：．34．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝.【答案】eq\f(1,2)【詳解】原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).35．cos75°－cos15°的值等于．【答案】－eq\f(\r(2),2)【詳解】原式＝cos(120°－45°)－cos(45°－30°)＝cos120°cos45°＋sin120°sin45°－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(2),2).36．已知sinα－cosβ＝eq\f(1,2)，cosα－sinβ＝eq\f(1,3)，則sin(α＋β)＝.【答案】eq\f(59,72)【詳解】由sinα－cosβ＝eq\f(1,2)兩邊平方得sin2α－2sinαcosβ＋cos2β＝eq\f(1,4)，①由cosα－sinβ＝eq\f(1,3)兩邊平方得cos2α－2cosαsinβ＋sin2β＝eq\f(1,9)，②①＋②得(sin2α＋cos2α)－2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋(cos2β＋sin2β)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,9)，∴1－2sin(α＋β)＋1＝eq\f(13,36).∴sin(α＋β)＝eq\f(59,72).37．形如eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))的式子叫做行列式，其運算法則為eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，則行列式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\f(π,6),sin\f(π,3)cos\f(π,6)))的值是．【答案】0【詳解】eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\f(π,6),sin\f(π,3)cos\f(π,6)))＝coseq\f(π,3)coseq\f(π,6)－sineq\f(π,3)sineq\f(π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＝coseq\f(π,2)＝0.38．化簡：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝.【答案】sin(α＋γ)【詳解】sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．39．已知3cosα－eq\r(3)sinα＝2eq\r(3)cos(α＋φ)，其中－π<φ<π，則φ＝.【答案】eq\f(π,6)【詳解】∵3cosα－eq\r(3)sinα＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα－\f(1,2)sinα))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosαcos\f(π,6)－sinαsin\f(π,6)))＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))，又∵3cosα－eq\r(3)sinα＝2eq\r(3)cos(α＋φ)且－π<φ<π，∴φ＝eq\f(π,6).40．已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝eq\f(1,2)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))＝－eq\f(1,3)，則taneq\f(α＋β,2)＝________.【答案】eq\f(1,7)【詳解】taneq\f(α＋β,2)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(α,2)))))＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,3),1－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝eq\f(1,7).41．化簡：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值等于________．【答案】1【詳解】原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)＝tan10°tan20°＋eq\r(3)tan(20°＋10°)(1－tan20°tan10°)＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.42．在中，，，則的形狀為______．【答案】等邊三角形.【分析】根據兩角和的正切公式，整理化簡，可得角C的大小，根據兩角和、差的正弦公式，化簡整理，即可得答案.【詳解】，，，，，則．，且，，，，為等邊三角形.43．已知，，若，則________．【答案】【詳解】因為,所以,又因為,所以,所以===,又因為,所以β=.44．已知，．(1)證明：；(2)計算：的值．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由已知可得，然后利用兩角和與差的正弦公式化簡后，整理，再根據同角三角函數的關系化為正切即可得結論，或對已知式子利用兩角和與差的正弦公式展開，可求出，，兩式相除可得結論，（2）結合兩角差的正切公式的變形公式化簡，再將（1）中的結論代入可求得結果（1）方法一：由條件，則即整理得也即，得證．方法二：由條件，即，得，從而可得得證．（2）由于所以原式45．已知為銳角，(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出，再利用求解即可；（2）直接通過計算出正弦值，再通過角的范圍求出答案.【詳解】(1).為銳角，，又在上單調遞減，，，

.(2)，為銳角，，.46．已知，，其中.（1）求的值；（2）求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據求得的值；（2）先求，再求，再根據的范圍，求得.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴.則.（2）由（1），，，則.則.∵，∴，∴.【點睛】本題考查了同角三角函數的基本關系式，兩角和的正弦公式、正切公式，還考查了由三角函數值確定角的大小，屬于中檔題.47．已知α，β均為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3).(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．【詳解】(1)∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2).又∵tan(α－β)＝－eq\f(1,3)＜0，∴－eq\f(π,2)＜α－β＜0.∴sin(α－β)＝－eq\f(\r(10),10).(2)由(1)可得，cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10).∵α為銳角，且sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(10),10)))＝eq\f(9\r(10),50).48．已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，求eq\f(tanα,tanβ)的值．【詳解】∵sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2).①∵sin(α－β)＝eq\f(1,3)，∴sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,3).②由①，②解得sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，∴eq\f(tanα,tanβ)