圓學子夢想鑄金字品牌7第一章1.1空間向量及其運算1.1.1空間向量及其線性運算第2課時共線向量與共面向量【素養導引】1.掌握共線向量定理,會證明空間三點共線.(數學抽象、邏輯推理)2.掌握共面向量定理,會證明空間四點共面.(數學抽象、邏輯推理)一、共線向量1.空間兩個向量共線的充要條件對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數λ,使a=λb.2.直線的方向向量在直線l上取非零向量a,與向量a平行的非零向量.【批注】1.共線向量定理中的“b≠0”,不能去掉.因為若a=b=0,λ存在,但不唯一;若b=0,a≠0,則λ不存在.2.直線l可以由其上一點和它的方向向量確定.[診斷]辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)空間向量a,b,c,若a∥b,b∥c,則a∥c. ()(2)若=,則A,B,C三點共線. ()提示:(1)×.若b=0時,a與c不一定平行.(2)√.由=知∥,且有公共點B,此時A,B,C三點共線.二、共面向量1.定義:平行于同一個平面的向量.2.共面向量定理:若兩個向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb.

[診斷]辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)三個空間向量一定是共面向量. ()(2)對于空間的任意三個向量a,b,2a-b,它們一定是共面向量. ()提示:(1)×.空間兩個向量一定是共面向量,但三個空間向量可以是共面的,也可以是不共面的.(2)√.由2a-b=2·a+(-1)·b得2a-b與a,b共面.學習任務一空間向量的共線問題(數學抽象、邏輯推理)【典例1】(1)已知A,B,C三點共線,O為直線外任意一點,若=m+n,則m+n=________.

【解析】由于A,B,C三點共線,所以存在實數λ,使得=λ,即-=λ(-),所以=(1-λ)+λ,所以m=1-λ,n=λ,所以m+n=1.答案:1(2)如圖,已知M,N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,G為AM上一點,且GM∶GA=1∶3.求證:B,G,N三點共線.【證明】設=a,=b,=c,則=+23×12(+)=+13(+)=+13(-+-)=13(++)=13(a+b+c),=+=+34=-a+14(a+b+c)=-34a+14b+14c,=+=+13(+)=-a+13b+13c=43,所以∥.又BN∩BG=B,所以B,G,N三點共線.證明空間三點P,A,B共線的思路(1)存在實數λ,使=λ成立.(2)對空間任一點O,有=+t(t∈R).(3)對空間任一點O,有=x+y(x+y=1).1.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,則一定共線的三點是 ()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D【解析】選A.因為+==2a+4b=2(a+2b)=2,所以A,B,D三點共線.2.如圖所示,已知四邊形ABCD是空間四邊形,E,H分別是邊AB,AD的中點,F,G分別是邊CB,CD上的點,且=23,=23.求證:四邊形EFGH是梯形.【證明】因為E,H分別是AB,AD的中點,所以=12,=12,則=-=12-12=12=12(-)=1232-32=34(-)=34,所以∥且||=34||.又F不在直線EH上,所以四邊形EFGH是梯形.學習任務二空間向量的共面問題(數學抽象、邏輯推理)角度1點共面的判斷【典例2】已知A,B,C三點不共線,點O是平面ABC外的任意一點,若點P分別滿足下列關系:(1)+2=6-3;(2)+=4-.試判斷點P是否與點A,B,C共面.【解析】(1)由題意知3-3=+2-3=(-)+(2-2),所以3=+2,即=-2-3.根據共面向量定理的推論可知,點P與點A,B,C共面.(2)設=+x+y(x,y∈R),則+x+y+=4-,所以+x+y+=4-,所以(1-x-y-4)+(1+x)+(1+y)=0,由題意可知,,均為非零向量,所以x,y滿足1-x-y-4=0,1+x=0本例的條件不變,若點P滿足的關系為=13+13+13,判斷點P是否與點A,B,C共面.【解析】因為++=3,所以-=(-)+(-),所以=+=--,所以向量,,共面.因為它們有共同的起點P,且A,B,C三點不共線,所以點P,A,B,C共面.角度2由共面求參數【典例3】平面α內有五點A,B,C,D,E,其中無三點共線,O為空間一點,滿足=12+x+y,=2x+13+y,則x+3y等于 ()A.56 B.76 C.53 【解析】選B.由點A,B,C,D共面得x+y=12,又由點B,C,D,E共面得2x+y=2聯立方程組解得x=16,y=13,所以x+3y=1.解決向量共面的策略(1)若已知點P在平面ABC內,則有=+y或=x+y+z(x+y+z=1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系數法求出參數;(2)證明三個向量共面(或四點共面),需利用共面向量定理,證明過程中要靈活進行向量的分解與合成,將其中一個向量用另外兩個向量來表示.2.證明四點P,M,A,B共面的等價結論(1)=x+y;(2)對空間任一點O,=+x+y;(3)對空間任一點O,=x+y+z(x+y+z=1).1.在四面體OABC中,空間的一點M滿足=14+16+λ,若,,共面,則λ= ()A.12 B.13 C.512 【解析】選D.由,,共面,知14+16+λ=1,解得λ=712.2.已知E,F,G,H分別為四面體ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中點,求證:(1)E,F,G,H四點共面;(2)BD∥平面EFGH.【證明】如圖,連接EG,BG.(1)因為=+=+12(+)=++=+,由向量共面的充要條件知E,F,G,H四點共面.(2)因為=-=12-12=12,所以EH∥BD.又EH?平面EFGH,BD?平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.【補償訓練】如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,M為DD1的中點,N∈AC,且AN∶NC=2,求證:A1,B,N,M四點共面.【證明】設=a