考研數(shù)學(xué)三二次型1.【單項選擇題】A.相似且合同.B.相似但不合同.C.合同但不相似.D.不合同也不相似.正確答案：C參考解析：2.【單項選擇題】二次型f(x1，x2，x3)=x1x2+x2x3+x1x3的矩陣為(??).A.B.C.D.正確答案：B參考解析：3.【單項選擇題】A.B.C.D.正確答案：B參考解析：4.【單項選擇題】設(shè)A是n階方陣，將A的第i列與第j列互換，再交換第i行與第j行得到B，則(??).A.A與B等價、相似且合同B.A與B相似、合同但不等價C.A與B相似但不合同D.A與B等價但不相似正確答案：A參考解析：A的第i列與第j列、第i行與第j行交換，相當(dāng)于右乘、左乘初等矩陣，即5.【單項選擇題】二次型f(x1，x2，x3)=的規(guī)范形為(??).A.f=B.f=C.f=D.f=正確答案：A參考解析：判定規(guī)范形，只要確定二次型的秩及正、負(fù)慣性指數(shù)，可以通過求二次型矩陣A的特征值來確定．廠的矩陣為得λ1=9，λ2=λ3=0，所以r(A)=1，正慣性指數(shù)p=1，負(fù)慣性指數(shù)q=0，故A正確．6.【單項選擇題】二次型f(x1，x2，x3)=x1x2+x2x3的正、負(fù)慣性指數(shù)分別為(??).A.p=1，q=1B.p=1，q=2C.p=1，q=0D.p=0，q=2正確答案：A參考解析：求正、負(fù)慣性指數(shù)，可通過標(biāo)準(zhǔn)形(規(guī)范形)或特征值得到，已知二次型廠中沒有平方項，先作可逆線性變換產(chǎn)生平方項，再化為標(biāo)準(zhǔn)形或求其矩陣的特征值．7.【單項選擇題】A是n階實對稱矩陣，則A合同于矩陣B的充分必要條件是(??)．①r(A)=r(B)，②A與B的正慣性指數(shù)相等，③A與B均正定矩陣，④B是實對稱矩陣.A.①成立B.④成立C.①②④均成立D.③成立正確答案：C參考解析：首先④是必要條件．若A與B合同，則存在可逆矩陣c，使得CTAC=B，故r(A)=r(B)，且正、負(fù)慣性指數(shù)不變，即pA=pB，反之，若r(A)=r(B)，且pA=pB，由于pA+qA=r(A)，pB+qB=r(B)，故qA=qB，所以A與B合同．③是充分條件．8.【單項選擇題】設(shè)n元二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，理)均為實數(shù)，若二次型正定，則(??).A.1+(-1)n+1a1a2…an≠0B.1+(-1)n+1a1a2…an=0C.1-(-1)n+1a1a2…an≠0D.1+(-1)n+1a1a2…an=0正確答案：A參考解析：9.【單項選擇題】A.3個B.2個C.1個D.0個正確答案：C參考解析：10.【單項選擇題】設(shè)A，B為正定矩陣，C是可逆矩陣，下列矩陣不是正定矩陣的是(??)．A.CTACB.A-1+B-1C.A*+B*D.A-B正確答案：D參考解析：顯然四個選項中的矩陣都是實對稱陣，因為A，B正定，所以A-1B-1及A*，B*都是正定的，對任意X≠0，XT(CTAC)X=(CX)TA(CX)>0(因為C可逆，所以當(dāng)X≠0時，CX≠0)，于是CTAC為正定矩陣，同樣用定義法可證，A-1+B-1與A*+B*都是正定矩陣，D正確。11.【單項選擇題】n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是(??)．A.A無負(fù)特征值B.A是滿秩矩陣C.A的每個特征值都是單值D.A-1是正定矩陣正確答案：D參考解析：A正定的充分必要條件是A的特征值都是正數(shù)，(A)不對；若A為正定矩陣，則A一定是滿秩矩陣，但A是滿秩矩陣只能保證A的特征值都是非零常數(shù)，不能保證都是正數(shù)，(B)不對；(C)既不是充分條件又不是必要條件；顯然(D)既是充分條件又是必要條件，選(D)．12.【單項選擇題】設(shè)n階矩陣A與對角矩陣合同，則A是(??)．A.可逆矩陣B.實對稱矩陣C.正定矩陣D.正交矩陣正確答案：B參考解析：因為A與對角陣B合同，所以存在可逆矩陣P，使得PTAP=B，從而A=(PT)-1BP-1=(P-1)TBP-1，AT=[(P-1)TBP-1]T=(P-1)BP-1=A，B正確。13.【單項選擇題】A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同正確答案：C參考解析：【解】14.【填空題】請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：1【解析】

二次型矩陣15.【填空題】取值為_____.請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：a<0【解析】16.【填空題】請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】17.【填空題】取值范圍是_____.請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】

二次型矩陣18.【填空題】已知二次型f(x1，x2，x3)=正定，則a的取值范圍為______．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：-2<a<1【解析】得-2<a<2且-2<a<1，故-2<a<1．19.【填空題】請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】求規(guī)范形的關(guān)鍵是確定正、負(fù)慣性指數(shù)．由A，B合同，知pA=pB，qA=qB．由20.【填空題】設(shè)A是n階矩陣，方程組Ax=b有唯一解，則二次型xT(ATA)x的正慣性指數(shù)為_____．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：n【解析】由已知，Ax=b有唯一解，故Ax=0只有零解．21.【填空題】設(shè)A是3階實對稱矩陣，二次型xTAx經(jīng)過正交變換x=Qy后的標(biāo)準(zhǔn)形為，則二次型xTA*X的規(guī)范形為．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】由xTAx經(jīng)正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形，知A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=-1，且|A|=1×1×(-1)=-1．22.【填空題】請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：【解析】23.【填空題】請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：0或5【解析】24.【填空題】請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了正確答案：參考解析：25.【解答題】已知A是3階矩陣，滿足A2-2A-3E=O，(1)證明A可逆，并求A-1(2)如|A+2E|=25，求|A-E|的值.(3)證明ATA是正定矩陣.請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：(1)(2)(3)

26.【解答題】設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=．(Ⅰ)求一個正交變換x=Qy，將f化為標(biāo)準(zhǔn)形；(Ⅱ)利用配方法，將f化為標(biāo)準(zhǔn)形．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：解(Ⅰ)(Ⅱ)用配方法．27.【解答題】請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：解28.【解答題】證明：n階矩陣A正定的充分必要條件是存在可逆矩陣P，使得A=PTP．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：證

29.【解答題】設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=的正負(fù)慣性指數(shù)都是1．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求可逆線性變換x=By，將f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：解(Ⅰ)|A|=-(a-1)2(a+2)=0，得a=1或a=-2．當(dāng)a=1時，r(A)=1，不合題意，故a=-2，所以(Ⅱ)由(Ⅰ)知，二次型為由配方法，得30.【解答題】是方程組A*x=4α的解向量．(Ⅰ)求矩陣A；(Ⅱ)求正交變換x=Qy，將二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)形．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：解(Ⅰ)由已知A*α=4α，等式兩邊同時左乘A，得AA*α=4Aα，即|A|α=4Aα，①(II)由于α1，α2已正交，所以只需將α1，α2，α3單位化，得31.【解答題】設(shè)二次型f(x1，x2，…，xn)=-(x1+x2+…+xn)2．(Ⅰ)求二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx的秩；(Ⅱ)求可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ，并求二次型的正慣性指數(shù)．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：解(Ⅰ)f(x1，x2，…，xn)(Ⅱ)由|λE-A|=0，解得A的特征值為λ1=λ2=…=λn-1=n，λn=0．對λ1=λ2=…=λn-1=n，解(nE-A)x=0，得A的特征向量為32.【解答題】矩陣．(Ⅰ)求k的值；(Ⅱ)設(shè)x=(x1，x2，x3)T，求xTx=1時，xTAx的最大值．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：解(Ⅰ)由已知，齊次線性方程組有非零解，故其系數(shù)行列式為零，即(Ⅱ)因A為實對稱矩陣，故存在正交矩陣P，經(jīng)正交變換x=Py化二次型XTAx為標(biāo)準(zhǔn)33.【解答題】設(shè)n階實對稱矩陣A只有兩個不同的特征值λ1=1和λ2，且A屬于λ1=1的特征向量僅有k(1，0，…，0，1)T(忌≠0)．(Ⅰ)求矩陣A；(Ⅱ)當(dāng)λ2滿足什么條件時，A是正定矩陣．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：解(Ⅰ)設(shè)λ2對應(yīng)的特征向量為x=(x1，x2，…，xn)T，由A是實對稱矩陣，得(Ⅱ)由于A是實對稱矩陣，所以A正定的充要條件是其特征值全大于0，故λ2>0．34.【解答題】設(shè)A是實對稱矩陣，證明：A可逆的充要條件是存在方陣B，使得AB+BTA為正定矩陣．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：證

35.【解答題】設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2+3x2x3+4x1x3，求可逆線性變換x=Py，使得f(x1，x2，x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求二次型的秩及正、負(fù)慣性指數(shù)．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：解所用可逆線性變換為二次型的秩為3，正、負(fù)慣性指數(shù)分別為1和2．36.【解答題】(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求正交矩陣Q．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：解(Ⅰ)由二次型在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為，知矩陣A的值分別為λ1=-1，λ2=2，λ3=a．又由|A|=λ1λ2λ3=(-1)×2×a=-4，得a=2．(Ⅱ)37.【解答題】(1)求正交矩陣Q，使得在正交變換X=QY下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形．(2)求矩陣A．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：(1)(2)38.【解答題】(1)求a；(2)用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：(1)(2)

39.【解答題】設(shè)A是三階實對稱矩陣，且A2+2A=O，r(A)=2．(1)求A的全部特征值；(2)當(dāng)k為何值時，A+kE為正定矩陣?請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了參考解析：(1)由A2+