第4章軸對稱問題與空間問題有限元方法張洪偉軸對稱問題的有限元法空間問題的有限元法12內(nèi)容提要3一.軸對稱問題的定義

工程中有一類結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件及作用的荷載都對稱于某一固定軸(可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果)，其力學(xué)分析稱為軸對稱問題。1.離散化

由于可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果，因此軸對稱問題分析可在子午面內(nèi)劃分單元，實際是取子午面內(nèi)圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)所得“圓環(huán)形單元”對物體進(jìn)行離散。因此可用的單元與平面問題一樣。2.應(yīng)力和應(yīng)變

對軸對稱問題進(jìn)行分析一般取柱坐標(biāo)系，對稱軸為Z軸，徑向為r軸，環(huán)向為θ軸。xyz

對稱面上任一點p只在該對稱面上發(fā)生位移，即所有的應(yīng)力、應(yīng)變和位移只是z和r的函數(shù)，而與坐標(biāo)θ無關(guān)。那么軸對稱問題就可轉(zhuǎn)化為二維平面問題來進(jìn)行研究。但因與平面問題有區(qū)別，常稱二維半問題。軸對稱問題的有限元法

如圖所示的受均布內(nèi)壓作用的長圓筒，通過z軸的一個縱截面就是對稱面。由于對稱性，軸對問題共有4個應(yīng)力分量：其中表示沿半徑方向的正應(yīng)力，稱為徑向應(yīng)力；表示沿方向的正應(yīng)力，稱為環(huán)向應(yīng)力或切向應(yīng)力；表示沿ｚ方向的正應(yīng)力，稱為軸向應(yīng)力；表示在圓柱面上沿ｚ方向作用的剪應(yīng)力。

同樣，軸對稱問題共有4個應(yīng)變分量：

其中表示沿半徑方向的正應(yīng)變，稱為徑向正應(yīng)變；表示沿方向的正應(yīng)變，稱為環(huán)向正應(yīng)變或切向正應(yīng)變；表示沿ｚ方向的正應(yīng)變，稱為軸向正應(yīng)變；表示沿ｒ和ｚ方向的剪應(yīng)變。

在軸對稱問題中，彈性體內(nèi)任意一點上，不存在切向位移，只存在徑向位移u

和軸向位移w

，兩個位移分量表示為:xyz基本方程1.平衡方程2.幾何方程3.物理方程

軸對稱單元的特點(與平面三角形單元的區(qū)別)軸對稱單元為圓環(huán)體，單元與單元間為節(jié)圓相連接；節(jié)點力與節(jié)點載荷是施加于節(jié)圓上的均布力；單元邊界是一回轉(zhuǎn)面；應(yīng)變分量中出現(xiàn)了，即應(yīng)變不是常量；且應(yīng)變矩陣在r=0時，存在奇異點，需特殊處理，通常用該單元的形心坐標(biāo)替代節(jié)點坐標(biāo)。軸對稱結(jié)構(gòu)9軸對稱問題的有限元法1.離散化

由于可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果，因此軸對稱問題分析可在子午面內(nèi)劃分單元，實際是取子午面內(nèi)圖形繞對稱軸旋轉(zhuǎn)所得“圓環(huán)形單元”對物體進(jìn)行離散。因此可用的單元與平面問題一樣。2.單元分析

參照平面問題的三角形單元位移函數(shù)，軸對稱問題的三結(jié)點三角形單元位移函數(shù)取為，其中：形函數(shù)：用矩陣表示的單元位移為：單元應(yīng)變：

將單元位移函數(shù)帶入幾何方程得：其中，用幾何矩陣表示單元的應(yīng)變：

由于是坐標(biāo)r、z

的函數(shù)，分量在單元中不為常量，其它三個應(yīng)變分量在單元中仍為常量。應(yīng)變矩陣不再是常數(shù)，軸對稱三角形單元內(nèi)的應(yīng)變也不全為常量。單元應(yīng)力：由彈性矩陣D

和應(yīng)變矩陣B

可以得到應(yīng)力矩陣S，并計算出單元內(nèi)的應(yīng)力分量：其中：式中：

由于應(yīng)變矩陣中的元素不是常量，單元剛度矩陣需要通過積分得到，為簡化計算可以用三角形單元形心位置的坐標(biāo)代替B

矩陣中的變量，將單元中的r和z近似地當(dāng)作常量，并且分別等于。

經(jīng)過簡化，就可以把各個單元近似地當(dāng)作常應(yīng)變單元。3.單元剛度矩陣有了單元應(yīng)力場和應(yīng)變場，可以利用虛位移原理或最小勢能原理建立單元剛度矩陣，注意體積積分是沿單元的整個圓環(huán)求體積積分單元剛度矩陣的分塊矩陣為，

由于幾何矩陣中的元素不是常量，單元剛度矩陣需要通過積分得到，為簡化計算可以用三角形單元形心位置的坐標(biāo)代替B

矩陣中的變量。

實踐證明采用近似積分也能達(dá)到一定的精度，具體對于三角形環(huán)單元用形心處坐標(biāo)代替應(yīng)變矩陣中的坐標(biāo)變量。應(yīng)變矩陣變成：其中：單元剛度矩陣的近似表達(dá)式為：單元剛度矩陣的分塊矩陣近似表達(dá)式為：4.總剛度矩陣集成

求出了每一個三角形單元的剛度矩陣后，按照平面問題介紹的總剛矩陣的集成方法，就可以得到結(jié)構(gòu)的總剛矩陣。5.等效節(jié)點載荷計算

計算軸對稱問題的等效節(jié)點載荷與平面問題的有所不同，因為周對稱結(jié)構(gòu)的子午面上的一個節(jié)點是關(guān)于對稱軸中心對稱的圓環(huán)，故當(dāng)計算集中力、表面力和體積力時，應(yīng)在整個環(huán)上積分。（1）集中力移置集中力為

--集中力作用點的徑向坐標(biāo)。（2）體積力移置若體積力為自重，則單位體積的力為ρ為密度度如果單元離開對稱軸較遠(yuǎn)（）可認(rèn)為將1/3的自重移置到每個節(jié)點上。單元自重移置到節(jié)點i，j，m上的等效節(jié)點載荷為(i，j，m)若體積力為慣性離心力，則單位體積的力為單元離心力移置到節(jié)點i，j，m上的等效節(jié)點力(i，j，m)(3)分布面力移置

如果物體的形狀、尺寸和邊界條件不具備某種特殊性，不能簡化為平面問題和軸對稱問題處理，則必須作為空間問題來分析。與平面問題和軸對稱問題相比，空間問題的計算要復(fù)雜的多。

（1）單元為塊體形狀。常用單元：四面體單元、長方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元、軸對稱單元。（2）結(jié)點位移3個分量。（3）基本方程比平面問題多。3個平衡方程，6個幾何方程，6個物理方程。

空間問題的有限元法4結(jié)點四面體單元：是空間問題最簡單的單元，也是常應(yīng)變、常應(yīng)力單元，可以類似平面問題三結(jié)點三角形單元進(jìn)行分析。8結(jié)點長方體單元：可以類似平面四結(jié)點矩形單元進(jìn)行分析。8結(jié)點直邊六面體單元：可以類似平面四結(jié)點任意四邊形等參元分析。20結(jié)點曲邊六面體單元：等參單元,可以類似平面八結(jié)點曲邊四邊形等參元進(jìn)行分析。軸對稱單元：一平面單元繞一對稱軸旋轉(zhuǎn)形成的空間問題。只需在rz平面劃分網(wǎng)格，就像平面問題xy平面中的網(wǎng)格一樣，這樣這類空間問題可以得到簡化。（環(huán)向位移等于零）1.四結(jié)點四面體單元分析1）位移函數(shù)單元結(jié)點位移向量單元位移函數(shù)xzyijmn將節(jié)點坐標(biāo)代入位移函數(shù)

由此可解出代定常數(shù)α1~α4再代回到式單元位移函數(shù)的第1式，可得位移函數(shù)u:編號約定：當(dāng)沿i,j,m的方向轉(zhuǎn)動時，n在大拇指所指的方向采用同樣的方法，可得單元位移：2）單元應(yīng)變將單元中位移代入上式3）單元應(yīng)力彈性矩陣[D]:代入單元應(yīng)變計算公式，整理后: