提公因式法第四章因式分解

1.準確地找出各項的多項式公因式進行因式分解；（重點）2.能運用整體思想進行因式分解.（難點）學習目標1.多項式的第一項系數為負數時，先提取“-”號，注意多項式的各項變號；2.公因式的系數是多項式各項__________________;3.字母取多項式各項中都含有的____________;4.相同字母的指數取各項中最小的一個,即_________.提公因式法因式分解的一般步驟：系數的最大公約數相同的字母最低次冪復習引入思考1：提公因式時，公因式可以是多項式嗎？找找上面各式的公因式.思考2：公因式是多項式形式，怎樣運用提公因式法分解因式？提公因式為多項式的因式分解講授新課1例1把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一個因式是(

)A．a－b

B．a＋bC．x＋yD．x－y因為y－x＝－(x－y)，所以若將－b(y－x)轉化為＋b(x－y)，則多項式出現公因式x－y，由此可確定剩余的因式．導引：B1.公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.2.整體思想是數學中一種重要而且常用的思想方法.歸納總結（1）

x(a+b)+y(a+b)（2）3a(x－y)－(x－y)（3）6(p+q)2－12(q+p)=(a+b)(x+y)=(x－y)(3a－1)=6(p+q)(p+q-2)練一練把下列各式因式分解：用提公因式法分解因式2(1)a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)(a＋2b)；(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]＝y(x＋1)(xy＋y＋1).解：把下列各式因式分解：(1)a(x－3)＋2b(x－3); (2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.例2(1)a(x－y)＋b(y－x)

＝a(x－y)－b(x－y)

＝(x－y)(a－b)；解：把下列各式因式分解：(1)a(x－y)＋b(y－x)；(2)6(m－n)3－12(n－m)2.(2)6(m－n)3－12(n－m)2

＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2

＝6(m－n)3－12(m－n)2

＝6(m－n)2(m－n－2).例3

兩個只有符號不同的多項式是否有關系,有如下判斷方法:(1)當相同字母前的符號相同時,則兩個多項式相等.

如:a-b和-b+a

即a-b=-b+a

(2)當相同字母前的符號均相反時,則兩個多項式互為相反數.

如:a-b和b-a

即a-b=-(a-b)

歸納總結由此可知規律：(1)a-b與-a+b互為相反數.(a-b)n=(b-a)n(n是偶數）

(a-b)n=-(b-a)n(n是奇數）(2)a+b與b+a相等.(a+b)n=(b+a)n(n是整數）

a+b與-a-b互為相反數.(-a-b)n=(a+b)n(n是偶數）(-a-b)n=-(a+b)n(n是奇數）

在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“-”號，使等式成立：(1)(a-b)=___(b-a);

(2)(a-b)2=___(b-a)2;(3)(a-b)3=___(b-a)3;(4)(a-b)4=___(b-a)4;(5)(a+b)

=___(b+a);(6)(a+b)2=___(b+a)2.+－－+++(7)(a+b)3=___(-b-a)3;－(8)(a+b)4=__(-a-b)4.+下面用提公因式法分解因式的結果是否正確？說明理由．若不正確，請寫出正確的結果．(1)3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；(2)4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；(3)x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．(1)中括號內的多項式還有公因式，沒有分解完；(2)中漏掉了商是“1”的項；(3)中(a－b)3與(b－a)3是不同的，符號相反，另外中括號內沒有化簡．導引：例4(1)不正確，理由：公因式沒有提完全；正確的是：3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)．(2)不正確，理由：提取公因式后剩下的因式中有常數項“1”；正確的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．(3)不正確，理由：(a－b)3與(b－a)3不一樣，應先統一，且因式是多項式時要最簡；正確的是：x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝x(a－b)3·(a＋b)＋

(a－b)3y＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．解：當堂練習1．因式分解2x(－x＋y)2－(x－y)3時應提取的公因式是(

)A．－x＋yB．x－yC．(x－y)2D．以上都不對C2．把多項式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，結果正確的是(

) A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m＋1) C．m(a－2)(m－1) D．m(2－a)(m－1)C3．若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，則M等于(

)A．y－xB．x－yC．3a(x－y)2D．－3a(x－y)4．若m－n＝－1，則(m－n)2－2m＋2n的值是(

)A．3B．2C．1D．－1CA5．把下列各式因式分解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；(2)3a(x－y)－(x－y)；(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；(4)a(m－2)＋b(2－m)；(5)2(y－x)2＋3(x－y)；(6)mn(m－n)－m(n－m)2解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)．(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)

＝(m－2)(a－b)．(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)

＝(x－y)[2(x－y)＋3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．(6)mn(m－n)－m(n－m)2

＝mn(m－n)－m(m－n)2

＝m(m－n)[n－(m－n)]

＝m(m－n)(n－m＋n)

＝m(m－n)(2n－m)．因式分解公因式為多項式確定公因式的方法：三定，即定系數；定字母；定指數分兩步：（整體思想）第一步找公因式；第二步提公因式注意1.分解因式是一種恒等變形；2.公因式：要提盡；3.不要漏項；4.提負號，要注意變號課堂小結謝謝大家！第三章

圖形的平移與旋轉圖形的平移（第1課時）北師大版

八年級下冊

學習重點學習難點探索圖形平移的主要特征和基本性質，會畫簡單圖形的平移圖.探索和理解平移的基本性質.學習目標1.

通過具體實例認識平移，理解平移的基本內涵，理解和運用平移的基本性質．2．認識平面圖形的平移，探索平移的基本性質，會進行簡單的平移畫圖.3．通過收集自己身邊“平移”的實例，感受“生活處處有數學”，激發學生學習數學的興趣；通過欣賞生活中的平移圖案，使學生感受數學美.前

言創設情境，導入新課請同學們觀察如圖所示的兩幅圖片．

問題1：你能發現傳送帶上的箱子和手扶電梯上的人在移動前后什么沒有改變，什么發生了改變嗎？問題2：在傳送帶上，如果箱子的把手向前移動了80cm，那么箱子的其他部位向什么方向移動？移動的距離是多少？問題3：如果把移動前后的同一個箱子看成長方體，那么移動前后的長方體各個面的形狀、大小是否相同？實踐探究，交流新知探究1平移的定義

問題1：根據上述分析，你能說明什么樣的圖形運動被稱為平移嗎？

如何定義平移呢？問題2：根據平移的定義，你認為平移應具備哪幾個要素？1．平移的定義：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．平移不改變圖形的形狀和大小．2．平移三要素：(1)平移的對象；(2)平移的方向；(3)平移的距離．注意：判斷平移的關鍵主要是觀察平移前后的圖形的大小、形狀是否發生變化.實踐探究，交流新知探究2平移的性質

如圖，將△ABC沿射線XY的方向平移一定距離后得到△DEF.問題1：(1)平移前后的兩個圖形有什么關系？

(2)在上圖中，線段AD，BE，CF有怎樣的位置關系和數量關系？

(3)圖中每對對應線段之間有怎樣的位置關系和數量關系？

(4)圖中的對應角有什么關系？問題2：將上面的圖形再次平移，線段AD，BE，CF有怎樣的位置關系？

每對對應線段之間還有怎樣的位置關系？實踐探究，交流新知（1）變換前后對應點的連線平行且相等：平移變換是圖形的每一個點的變換，一個圖形沿某個方向移動一定的距離，那么每一個點也沿著這個方向移動相同的距離，所以對應點的連線平行且相等．（2）變換前后的圖形全等：平移變換是由一個圖形沿著某個方向移動一定的距離，所以平移前后的圖形是全等的．（3）變換前后對應角相等．（4）變換前后對應線段平行且相等．規律：圖形平移前后各邊、各角是對應相等的，關鍵是找準對應邊、對應角及對應線段.連接對應點的線段的長度都等于平移的距離.平移的性質：一個圖形和它經過平移所得的圖形中，對應點所連的線段平行(或在一條直線上)且相等，對應線段平行(或在一條直線上)且相等，對應角相等.開放訓練，體現應用例

(教材第66頁例1)經過平移，△ABC的頂點A移到了點D.(1)指出平移的方向和平移的距離；(2)畫出平移后的三角形．解：(1)如圖，連接AD，平移的方向是點A到點D的方向．平移的距離是線段AD的長度．(2)如圖，分別過點B，C按射線AD的方向作線段BE，CF，使得它們與線段AD平行且相等．連接DE，DF，EF，△DEF就是平移后的三角形．開放訓練，體現應用探究3（教材P67）在上述例子中，你還有畫△DEF的其他方法嗎？與同伴交流.1.平移作圖的步驟：（1）分析題目要求，找出平移的方向和平移的距離；（2）分析所作的圖形，找出構成圖形的關鍵點；（3）沿一定的方向，按一定的距離平移各個關鍵點；（4）連接所作的各個關鍵點，并表上相應的字母；（5）寫出結論.2.平移作圖的方法：“對應點連線法”和“全等圖形法”.開放訓練，體現應用變式訓練

1．下列生活中的現象不屬于平移運動的是(

)

A．升降式電梯的運動

B．開門時門的運動

C．筆直的傳送帶上，產品的移動

D．火車在筆直的鐵軌上飛馳而過2．如圖，將△ABC沿BC方向平移到△DEF.若A，D兩點之間的距離

為1，CE＝2，則BF的長為(

)

A．1B．2

C．3

D．4BD開放訓練，體現應用變式訓練

3．如圖，將△ABC沿直線AB向右平移后到達△BDE的位置．(1)若AC＝6cm，則BE＝

cm；(2)若∠CAB＝50°，∠BDE＝100°，則∠CBE的度數為

．630°課堂檢測，鞏固新知1.下列說法中正確的是(

)

A．一個圖形經過平移后，與原圖形成軸對稱

B．如果兩個圖形成軸對稱，那么一個圖形可由另一個圖形經過平移變換得到

C．一個圖形經過平移后，它的性質都發生了變化

D．圖形的平移由平移的方向和距離決定2．如圖，大長方形的長是10cm，寬是8cm，陰影部分的寬均為2cm，則空白部分的面積是(

)

A．36cm2B．40cm2