課時跟蹤訓練（十六）圓周運動問題分析A級—學考達標1.(2019·濰坊高一檢測)如圖所示，小球P用兩根長度相等、不可伸長的細繩系于豎直桿上，隨桿轉動。若轉動角速度為ω，則下列說法不正確的是()A．ω只有超過某一值時，繩子AP才有拉力B．繩子BP的拉力隨ω的增大而增大C．繩子BP的張力一定大于繩子AP的張力D．當ω增大到一定程度時，繩子AP的張力大于繩子BP的張力解析：選D小球P的重力、繩子BP的張力及繩子AP中可能存在的張力的合力提供小球P做勻速圓周運動的向心力。用正交分解法求出小球P分別在水平、豎直兩個方向受到的合力Fx合、Fy合，由牛頓運動定律列方程，Fx合＝mrω2，Fy合＝0，分析討論可知A、B、C正確，D錯誤。“飛車走壁”，由雜技演員駕駛摩托車沿圓臺形表演臺的側壁高速行駛，做勻速圓周運動。如圖所示，圖中虛線表示摩托車的行駛軌跡，軌跡離地面的高度為h，下列說法中正確的是()A．h越高，摩托車對側壁的壓力將越大B．h越高，摩托車做圓周運動的線速度將越大C．h越高，摩托車做圓周運動的周期將越小D．h越高，摩托車做圓周運動的向心力將越大解析：選B摩托車受力如圖所示。由于FN＝eq\f(mg,cosθ)，所以摩托車受到側壁的壓力與高度無關，保持不變，摩托車對側壁的壓力F也不變，A錯誤；由F＝mgtanθ＝meq\f(v2,r)＝mω2r知，h變化時，向心力F不變，但高度升高，r變大，所以線速度變大，角速度變小，周期變大，選項B正確，C、D錯誤。3．如圖所示是兩種不同的過山車過最高點時的情形，圖甲情形中，乘客經過軌道最高點時頭朝上，圖乙情形中，乘客經過軌道最高點時頭朝下，假設兩種圓軌道的半徑均為R。下列說法正確的是()A．圖甲中，乘客經過軌道最高點時，若v＜eq\r(gR)，座椅對乘客的作用力方向豎直向下B．圖甲中，乘客經過軌道最高點時，若v＜eq\r(gR)，座椅對乘客的作用力方向豎直向上C．圖乙中，乘客經過軌道最高點時，若v＝eq\r(gR)，座椅對乘客的作用力方向豎直向下D．圖乙中，乘客經過軌道最高點時，若v＞eq\r(gR)，座椅對乘客的作用力方向豎直向上解析：選B題圖甲中，若過最高點只有重力提供向心力，則mg＝meq\f(v2,R)，則速度為v＝eq\r(gR)，若v＜eq\r(gR)，則合力小于重力，所以人受到向上的支持力，故A錯誤，B正確；題圖乙中，乘客經過軌道最高點時，若過最高點只有重力提供向心力，則mg＝meq\f(v2,R)，則速度為v＝eq\r(gR)，此時座椅對人沒有作用力，故C錯誤；題圖乙中，乘客經過軌道最高點時，若v＞eq\r(gR)，則合力大于重力，所以人受到座椅施加的向下的壓力，故D錯誤。4.如圖所示，長度均為L的兩根輕繩，一端共同系住質量為m的小球，另一端分別固定在等高的A、B兩點，A、B兩點間的距離也為L。重力加速度大小為g。今使小球在豎直面內以AB為軸做圓周運動，若小球在最高點的速率為v時，兩根繩的拉力恰好均為零，則小球在最高點的速率為2v時，每根繩的拉力大小為()A.eq\r(3)mg B.eq\f(4,3)eq\r(3)mgC．3mg D．2eq\r(3)mg解析：選A當小球在最高點的速率為v時，有mg＝meq\f(v2,R)，其中R＝eq\f(\r(3),2)L；當小球在最高點的速率為2v時，有F＋mg＝meq\f(2v2,R)，解得兩繩拉力的合力F＝3mg，由幾何知識得FT＝eq\r(3)mg，故A正確。5.如圖所示，長為L的輕桿一端固定質量為m的小球，另一端有固定轉軸O。現使小球在豎直平面內做圓周運動，P為圓周軌道的最高點。若小球通過圓周軌道最低點時的速度大小為eq\r(\f(9,2)gL)，則以下判斷中正確的是()A．小球不能到達P點B．小球到達P點時的速度大于eq\r(gL)C．小球能到達P點，且在P點受到輕桿向上的彈力D．小球能到達P點，且在P點受到輕桿向下的彈力解析：選C由機械能守恒定律得eq\f(1,2)meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(\f(9,2)gL))))2＝mg·2L＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,P)，解得vP＝eq\r(\f(1,2)gL)。由輕桿模型可得，0<vP<eq\r(gL)時，桿對小球有豎直向上的支持力，故C正確。r的豎直光滑圓形軌道，將一玩具小車放到與軌道圓心O處于同一水平面的A點，并給小車一豎直向下的初速度，使小車沿軌道內側做圓周運動。要使小車不脫離軌道，則在A處使小車獲得豎直向下的最小初速度應為()A.eq\r(7gr) B.eq\r(5gr)C.eq\r(3gr) D.eq\r(2gr)解析：選C小車恰好不脫離軌道的條件是在最高點滿足mg＝meq\f(v2,r)。小車沿軌道內側做圓周運動的過程中，只有重力做功，機械能守恒。設小車在A處獲得的最小初速度為vA，由機械能守恒定律得eq\f(1,2)mveq\o\al(A,2)＝mgr＋eq\f(1,2)mv2，解得vA＝eq\r(3gr)。故選項C正確。7.如圖，abc是豎直面內的光滑固定軌道，ab水平，長度為2R；bc是半徑為R的四分之一圓弧，與ab相切于b點。一質量為m的小球，始終受到與重力大小相等的水平外力的作用，自a點處從靜止開始向右運動。重力加速度大小為g。小球從a點開始運動到其軌跡最高點，機械能的增量為()A．2mgR B．4mgRC．5mgR D．6mgR解析：選C小球從a點運動到c點，根據動能定理得，F·3R－mgR＝eq\f(1,2)mv2，又F＝mg，故v＝2eq\r(gR)。小球離開c點在豎直方向做豎直上拋運動，水平方向做初速度為零的勻加速直線運動，且水平方向的加速度大小也為g，故小球從c點到最高點所用的時間t＝eq\f(v,g)＝2eq\r(\f(R,g))，水平位移x＝eq\f(1,2)gt2＝2R，根據功能關系，小球從a點到軌跡最高點機械能的增量等于力F做的功，即ΔE＝F·(3R＋x)＝5mgR。8.如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉圓臺上，動摩擦因數均為μ，A的質量為2m，B、C的質量均為m，A、B離軸的距離為R，C離軸的距離為2R，則當圓臺旋轉時(設A、B、C都沒有滑動)，下列說法錯誤的是()A．C的向心加速度最大B．B的靜摩擦力最小C．當圓臺轉速增大時，A比B先滑動D．當圓臺轉速增大時，C將最先滑動解析：選CA、B、C三個物體隨轉臺一起轉動，它們的角速度ω相等。由公式F靜＝Ma＝Mrω2，可知C的向心加速度最大，B的靜摩擦力最小，故選項A、B均正確；當轉速增大時，靜摩擦力達到最大，有F靜max＝μmg＝mrωeq\o\al(2,max)，得最大角速度ωmax＝eq\r(\f(μg,r))，可見A、B應同時滑動，而C將最先滑動，故選項C錯誤，D正確。L，勁度系數為k的輕彈簧一端固定一小鐵塊，另一端連接在豎直軸OO′上，小鐵塊放在水平圓盤上，若圓盤靜止，把彈簧拉長后將小鐵塊放在圓盤上，使小鐵塊能保持靜止時彈簧的最大長度為eq\f(5L,4)，現將彈簧長度拉長到eq\f(6L,5)后，把小鐵塊放在圓盤上，在這種情況下，圓盤繞中心軸OO′以一定角速度勻速轉動，如圖所示。已知小鐵塊的質量為m，為使小鐵塊不在圓盤上滑動，圓盤轉動的角速度ω最大不得超過多少？解析：以小鐵塊為研究對象，圓盤靜止時：設鐵塊受到的最大靜摩擦力為Fmax，由平衡條件得Fmax＝eq\f(kL,4)。圓盤轉動的角速度ω最大時，鐵塊受到的摩擦力Fmax與彈簧的拉力kx的合力提供向心力，由牛頓第二定律得kx＋Fmax＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6L,5)))ωeq\o\al(max,2)，又因為x＝eq\f(L,5)解以上三式得角速度的最大值ωmax＝eq\r(\f(3k,8m))。答案：eq\r(\f(3k,8m))B級—選考提能10．如圖所示，一水平放置的木板上放有砝碼，砝碼與木板間的動摩擦因數為μ，讓木板在豎直平面內做半徑為R的勻速圓周運動，假如運動中木板始終保持水平，砝碼始終沒有離開木板，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，那么下列說法正確的是()A．在通過軌道最高點時砝碼處于超重狀態B．在經過軌道最低點時砝碼所需靜摩擦力最大C．勻速圓周運動的速度小于eq\r(μgR)D．在通過軌道最低點和最高點時，砝碼對木板的壓力之差為砝碼重力的6倍解析：選C在通過軌道最高點時，向心加速度豎直向下，砝碼處于失重狀態，選項A錯誤；木板和砝碼在豎直平面內做勻速圓周運動，砝碼受到重力mg，木板支持力FN和靜摩擦力Ff，所受合外力提供向心力，由于重力mg和支持力FN在豎直方向上，因此只有當砝碼所需向心力在水平方向上時靜摩擦力有最大值，最大靜摩擦力必須大于或等于砝碼所需的向心力，即μFN≥meq\f(v2,R)，此時在豎直方向上FN＝mg，故v≤eq\r(μgR)，選項B錯誤，C正確；在最低點，FN1－mg＝meq\f(v2,R)，在最高點，mg－FN2＝meq\f(v2,R)，則FN1－FN2＝2meq\f(v2,R)≤2μmg，故選項D錯誤。11.[多選]如圖所示，可視為質點的、質量為m的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形軌道內做圓周運動，下列有關說法中正確的是()A．小球能夠通過最高點時的最小速度為0B．小球能夠通過最高點時的最小速度為eq\r(gR)C．如果小球在最高點時的速度大小為2eq\r(gR)，則此時小球對管道的外壁有作用力D．如果小球在最高點時的速度大小為eq\r(gR)，則小球通過最高點時與管道間無相互作用力解析：選ACD因為管道內壁可以提供支持力，故小球在最高點的最小速度可以為零。若在最高點v>0且較小時，球做圓周運動所需的向心力由球的重力跟管道內壁對球向上的支持力FN1的合力提供，即mg－FN1＝meq\f(v2,R)，當FN1＝0時，v＝eq\r(gR)，此時只有重力提供向心力。由此知，速度在0<v<eq\r(gR)時，球的向心力由重力和管道內壁對球向上的彈力提供。當v>eq\r(gR)時，球的向心力由重力跟管道外壁對球的向下的彈力FN2共同提供，綜上所述，選項A、C、D正確。12．(2019·浙江6月學考)如圖所示是質量可忽略不計的秋千，懸點O離地面高度H＝2m。質量m＝5kg的小猴(可視為質點)趴在秋千上，它到懸點O的距離l1＝1.6m。飼養員在圖中左側推秋千，每次做功都為W＝5J。秋千首次從最低點被推動，以后每次推動都是在秋千蕩回左側速度變為零時進行。若不計空氣阻力，求：(g取10m/s2)(1)經1次推動，小猴蕩起的最高點比最低點高多少？(2)經多少次推動，小猴經過最低點的速度v＝4m/s?(3)某次小猴向右經過最低點時，一個掛在秋千繩上C點的金屬小飾物恰好脫落，并落在地上D點。D到C的水平距離x＝0.96m，C到O的距離l2＝1.28m，則小猴此次經過最低點時對秋千的作用力多大？解析：(1)推動一次，W＝mgh解得：h＝0.1m。(2)推動n次后，回到最低點，由動能定理nW＝eq\f(1,2)mv2得：n＝8。(3)小飾