/專題13與角相關的旋轉（翻折）問題專項講練與角有關的旋轉（翻折）問題屬于人教版七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內容，對考生的綜合素養要求較高。絕大部分學生對角度旋轉問題信心不足，原因就是很多角度旋轉問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數形結合思想等結合得很緊密，思考性強，難度大。本專題重點研究與角有關的旋轉問題（求值問題；定值問題；探究問題；分類討論問題）和與角有關的翻折問題。【與角相關的旋轉問題】【解題技巧】1、角度旋轉問題解題步驟：①找——根據題意找到目標角度；②表——表示出目標角度：1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×時間；2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標角=起始角—速度×時間；3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大：變小：目標角=起始角—速度×時間；變大：目標角=速度×時間—起始角③列——根據題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②注意旋轉角度取值范圍。常見的三角板旋轉的問題：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。總之不管這個角如何旋轉，它的角度大小是不變的，旋轉的度數就是組成角的兩條射線旋轉的度數（角平分線也旋轉了同樣的度數）。抓住這些等量關系是解題的關鍵，三角板只是把具體的度數隱藏了起來。【重要題型】題型1：求值問題例1．（2022·江蘇·七年級期中）已知∠AOB和∠COD均為銳角，∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，將∠COD繞著點O逆時針旋轉，使∠BOC=α（0≤α＜180°）（1）若∠AOB=60°，∠COD=40°，①當α=0°時，如圖1，則∠POQ=；②當α=80°時，如圖2，求∠POQ的度數；③當α=130°時，如圖3，請先補全圖形，然后求出∠POQ的度數；（2）若∠AOB=m°，∠COD=n°，m＞n，則∠POQ=，（請用含m、n的代數式表示）．【答案】（1）①50°；②50°；③130°；（2）m°+n°或180°-m°-n°【分析】（1）根據角的和差和角平分線的定義即可得到結論；（2）根據角的和差和角平分線的定義即可得到結論．【詳解】解：（1）①∵∠AOB=60°，∠COD=40°，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，∴∠BOP=∠AOB=30°，∠BOQ=∠COD=20°，∴∠POQ=50°，故答案為：50°；②解：∵∠AOB=60°，∠BOC=α=80°，∴∠AOC=140°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=70°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=80°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=60°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=20°，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=70°-20°=50°；

③解：補全圖形如圖3所示，∵∠AOB=60°，∠BOC=α=130°，∴∠AOC=360°-60°-130°=170°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=85°，∵∠COD=40°，∠BOC=α=130°，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=85°，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=85°-40°=45°，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=85°+45°=130°；（2）當∠AOB=m°，∠COD=n°時，如圖2，∴∠AOC=m°+°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=(m°+°)，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC-∠COQ=(m°+°)-(-n°+°)=m°+n°，當∠AOB=m°，∠COD=n°時，如圖3，∵∠AOB=m°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°-m°-°，∵OP平分∠AOC，∴∠POC=∠AOC=180°(m°+°)，∵∠COD=n°，∠BOC=α，且OQ平分∠BOD，同理可求∠DOQ=(n°+°)，∴∠COQ=∠DOQ-∠DOC=(n°+°)-n°=(-n°+°)，∴∠POQ=∠POC+∠COQ=180°(m°+°)+(-n°+°)=180°-m°-n°，綜上所述，若∠AOB=m°，∠COD=n°，則∠POQ=m°+n°或180°-m°-n°．故答案為：m°+n°或180°-m°-n°．【點睛】本題考查了角的計算，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵．變式1．（2022?高新區期末）已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如圖1所示擺放，將OA、OC邊重合在直線MN上，OB、OD邊在直線MN的兩側：（1）保持∠AOB不動，將∠COD繞點O旋轉至如圖2所示的位置，則①∠AOC+∠BOD＝；②∠BOC﹣∠AOD＝．（2）若∠COD按每分鐘5°的速度繞點O逆時針方向旋轉，∠AOB按每分鐘2°的速度也繞點O逆時針方向旋轉，OC旋轉到射線ON上時都停止運動，設旋轉t分鐘，計算∠MOC﹣∠AOD（用t的代數式表示）．（3）保持∠AOB不動，將∠COD繞點O逆時針方向旋轉n°（n≤360），若射線OE平分∠AOC，射線OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．【解題思路】（1）①將∠AOC+∠BOD拆分、轉化為∠COD+∠AOB即可得；②依據∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC、∠AOD＝∠COD﹣∠AOC，將原式拆分、轉化為∠AOB﹣∠COD計算可得；（2）設運動時間為t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，只需表示出∠AOD即可得出答案，而∠AOD在OD與OA相遇前、后表達式不同，故需分OD與OA相遇前后即0＜t≤20和20＜t≤36兩種情況求解；（3）設OC繞點O逆時針旋轉n°，則OD也繞點O逆時針旋轉n°，再分①射線OE、OF在射線OB同側，在直線MN同側；②射線OE、OF在射線OB異側，在直線MN同側；③射線OE、OF在射線OB異側，在直線MN異側；④射線OE、OF在射線OB同側，在直線MN異側；四種情況分別求解．【解答過程】解：（1）①∠AOC+∠BOD＝∠AOC+∠AOD+∠AOB＝∠COD+∠AOB＝60°+90°＝150°；②∠BOC﹣∠AOD＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC＝∠AOB﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°；故答案為：150°、30°；（2）設運動時間為t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，①0＜t≤20時，OD與OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；②20＜t≤36時，OD與OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；（3）設OC繞點O逆時針旋轉n°，則OD也繞點O逆時針旋轉n°，①0＜n°≤150°時，如圖4，射線OE、OF在射線OB同側，在直線MN同側，∵∠BOF=12[90°﹣（n﹣60°）]=12（150﹣n）°，∠BOE＝（90?12∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；②150°＜n°≤180°時，如圖5，射線OE、OF在射線OB異側，在直線MN同側，∵∠BOF=12(n?150)°，∠BOE＝（90?12n∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；③180°＜n°≤330°時，如圖6，射線OE、OF在射線OB異側，在直線MN異側，∵∠DOF=12(n?150)∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；④330°＜n°≤360°時，如圖7，射線OE、OF在射線OB同側，在直線MN異側，∵∠DOF=12[360﹣（n﹣150）]°=12（510﹣∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；綜上，∠EOF＝15°或165°．變式2.（2022?浙江七年級期中）如圖1，為直線上一點，過點作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉角度最多．）（1）將圖1中的三角板繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉．如圖2，經過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結果）．（2）在（1）問的基礎上，若三角板在轉動的同時，射線也繞點以每秒的速度沿順時針方向旋轉，如圖3，經過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經過秒平分？（直接寫結果）【答案】（1），5；（2），；（3）經過秒平分【解析】（1），∵，∴∵平分，，∴，∴∴，解得：秒（2）度∵，平分，∴∴，∴解得：秒（3）如圖：∵，由題可設為，為，∴∵，，解得：秒答：經過秒平分．題型2：定值問題（角度不變問題）例2．（2022·江蘇南京·七年級期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC＝∠AOD，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉，速度為15°/s，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉，速度為12°/s，運動時間為t秒（0＜t＜12，本題出現的角均小于平角）（1）圖中一定有個直角；當t＝2時，∠MON的度數為，∠BON的度數為；（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，當∠EOF為直角時，請求出t的值；（3）當射線OM在∠COB內部，且是定值時，求t的取值范圍，并求出這個定值．【答案】(1)4；144°，114°；(2)t的值為10s；(3)當射線OM在∠COB內部，且是定值時，t的取值范圍為＜t＜6，這個定值是3【分析】(1)由直線AB，CD相交于點O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4個直角；當t＝2時求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度數；(2)用t分別表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根據OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分別求得∠COE、∠DOF,由∠EOF為直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.(3)先確定∠MON＝180°時，∠BOM＝90°時t的值，再分兩種情況進行計算，得到0＜t＜時不是定值，當＜t＜6時，=3是定值.【詳解】（1）如圖所示，∵兩條直線AB，CD相交于點O，∠AOC＝∠AOD，∴∠AOC＝∠AOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD＝90°，∴圖中一定有4個直角；當t＝2時，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，∠BON＝90°+24°＝114°；故答案為：4；144°，114°；（2）如圖所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，∵當∠EOF為直角時，∠COE+∠DOF＝90°，∴（15t﹣90°）＝×12t，解得t＝10，∴當∠EOF為直角時，t的值為10s；（3）當∠MON＝180°時，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，∴15t+90°+12t＝180°，解得t＝，當∠BOM＝90°時，15t＝90°，解得t＝6，①如圖所示，當0＜t＜時，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，∴＝，（不是定值）②如圖所示，當＜t＜6時，∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，∴＝=3，（是定值）綜上所述，當射線OM在∠COB內部，且是定值時，t的取值范圍為＜t＜6，這個定值是3．【點睛】此題考察圖形中的運動問題，(3)先確定∠MON＝180°時，∠BOM＝90°時t的值，再分兩種情況進行計算，得到0＜t＜時不是定值，當＜t＜6時，=3是定值.變式1．（2022?渝中區七年級期中）如圖1，∠AOB＝40°，∠COD＝60°，OM、ON分別為∠AOB和∠BOD的角平分線．（1）若∠MON＝70°，則∠BOC＝°；（2）如圖2，∠COD從第（1）問中的位置出發，繞點O逆時針以每秒4°的速度旋轉；當OC與OA重合時，∠COD立即反向繞點O順時針以每秒6°的速度旋轉，直到OC與OA互為反向延長線時停止運動．整個運動過程中，∠COD的大小不變，OC旋轉后的對應射線記為OC′，OD旋轉后的對應射線記為OD′，∠BOD′的角平分線記為ON′，∠AOD′的角平分線記為OP．設運動時間為t秒．①當OC′平分∠BON′時，求出對應的t的值；②請問在整個運動過程中，是否存在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變？若存在，請直接寫出這個定值及其對應的t的取值范圍（包含運動的起止時間）；若不存在，請說明理由．【解題思路】（1）根據角平分線的定義結合圖形根據已知條件求角的大小；（2）①分類討論順時針、逆時針轉兩種情況，根據角平分線的定義用t表示出角的度數，列出等量關系式求出t；②分類討論順時針、逆時針轉兩種情況，當C′在B下方時，當C′在B上方時，根據角平分線的定義用t表示出角的度數，求在某個時間段使得|∠BOP﹣∠MON′|的值不變，求出這個定值及其對應的t的取值范圍．【解答過程】解：（1）∵OM為∠AOB的角平分線、∠AOB＝40°，∴∠MOB＝20°．∵∠MON＝70°，∴∠BON＝∠MON﹣∠MOB＝50°．∵ON為∠BOD的角平分線，∴∠BON＝∠DON＝50°．∴∠CON＝∠COD﹣∠DON＝10°∴∠BOC＝∠DON﹣∠CON＝40°．故答案為：40°．（2）如圖①：①逆時針旋轉時：當C′在B上方時，根據題意可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝∠BOD﹣4t＝100°﹣4t．∠BON′=12∠BOD′=1∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=12∠BON'，即40°﹣4t=12（50°﹣2t當C′在B下方時，此時C′也在N′下方，此時不存在OC′平分∠BON′．順時針旋轉時：如圖②，同理當C′在B下方時，此時C′也在N′下方，此時不存在OC′平分∠BON′．當C′在B上方時，即OC′與OB重合，由題意可求OC′與OB重合用的時間＝∠AOC÷4+∠AOB÷6＝（∠AOB+∠BOC）÷4+∠AOB÷6=803（∴OC′與OB重合之后，∠BOC′＝6（t?803）（∴∠BOD′＝∠BOC′+60°＝6（t?803）+60°＝6∴∠BON′=12∠BOD'=12∵OC′平分∠BON′，∴∠BOC′=1∴6（t?803）=1解得：t＝30（s）綜上所述t的值為5或30．②逆時針旋轉時：當C′在B上方時，如圖③根據①可知，∠BOC′＝40°﹣4t，∠BOD′＝100°﹣4t，∠BON′＝50°﹣2t．∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝140°﹣4t，∴∠AOP=12∠AOD'=∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°﹣2t，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°﹣2t，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°﹣2t﹣70°+2t|＝40°，此段時間0≤t≤10s；如圖④當C′在B下方時，設經過OB后運動時間為t2，同理可知，∠BOC′＝4t2，∠BOD′＝60°﹣4t2，∴∠MON'=1∴∠AOD′＝∠AOB+∠BOD′＝100°﹣4t2，∴∠AOP=1∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝10°﹣2t2，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝50°﹣2t2，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|10°﹣2t2﹣50°+2t2|＝40°．此時：10＜t≤20；順時針旋轉時：當C′在B下方時，如圖⑤，設經過OB后運動時間為t1，同理可知：∠BOC′＝40°﹣6t1，∠BOD′＝20°+6t1，∴∠BON'=1∴∠AOD′＝60°+6t1，∠AOP＝30°+3t1，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝3t1﹣10°，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝30°﹣3t1，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|3t1﹣10°﹣30°﹣3t1|＝40°，此時：20＜t≤80當C′在B上方時，如圖⑥，設經過OB后運動時間為t3，同理可知：，∠BOC′＝60°+6t3，∠BOD′＝100°+6t3，∴∠BON′=12∠BON'=50°+3∴∠AOD′＝140°+6t3，∴∠AOP＝70°+3t3，∴∠BOP＝∠AOP﹣∠AOB＝30°+3t3，∵∠MON′＝∠MOB+∠BON′＝70°+3t3，∴|∠BOP﹣∠MON′|＝|30°+3t3﹣70°﹣3t3|＝40°，此時：803＜綜上所述：存在且定值為40°，0≤t≤50．變式2．（2022?碑林區七年級開學）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請直接寫出結論：直線ON平分（平分或不平分）∠AOC．（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為10或40．（直接寫出結果）（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉，請探究，當ON始終在∠AOC的內部時（如圖3），∠AOM與∠NOC的差是否發生變化？若不變，請求出這個差值；若變化，請舉例說明．【解題思路】（1）設ON的反向延長線為OD，由角平分線的性質和對頂角的性質可求得∠BON＝∠AOD＝∠COD＝30°；（2）由直線ON恰好平分銳角∠AOC可知旋轉60°或240°時直線ON平分∠AOC，根據旋轉速度可求得需要的時間；（3）由∠MON＝90°，∠AOC＝60°，可知∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON，最后求得兩角的差，從而可做出判斷．【解答過程】解：（1）直線ON平分∠AOC．理由如下：設ON的反向延長線為OD，∵OM平分∠BOC，∠BOC＝120°，∴∠MOC＝∠MOB=12∠又∠MOD＝∠MON＝90°，∴∠COD＝90°﹣∠MOC＝30°，∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°，∴∠COD=12∠AOC，∴OD平分∠即直線ON平分∠AOC，故答案為：平分；（2）∵∠BOC＝120°，∴∠AOC＝60°．∴∠BON＝∠COD＝30°．即旋轉60°或240°時直線ON平分∠AOC．由題意得，6t＝60或240．解得：t＝10或40，故答案為：10或40；（3）∠AOM﹣∠NOC的差不變．∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．∴∠AOM與∠NOC的差不變，這個差值是30°．題型3：探究類問題（判斷角的數量之間的關系）例3．（2022·四川·成都市七年級期末）如圖所示：點是直線上一點，∠是直角，平分∠．（1）如圖1，若∠=40°，求∠的度數；（2）如圖1，若∠=，直接寫出∠的度數（用含的代數式表示）；（3）保持題目條件不變，將圖1中的∠按順時針方向旋轉至圖2所示的位置，探究∠和∠的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．【答案】（1）20°；（2）；（3），理由見解析【分析】（1）首先求得∠BPC，∠BPD的度數，然后根據角平分線的定義求得∠BPE的度數，再根據即可求解；（2）解法與（1）相同，把（1）中的40°改成α即可；（3）把∠APC的度數作為已知量，求得∠BPC的度數，然后根據角的平分線的定義求得∠BPE的度數，再根據即可解決．【詳解】（1）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（2）∵，，∴，，又∵平分，∴，∴．（3）結論：．理由如下：設，則，∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了角度的計算，正確理解角平分線的定義，理解角度之間的和差關系是關鍵．變式1．（2022·廣東七年級期中）如圖（a），將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．（1）若∠DCE=25°，∠ACB等于多少；若∠ACB=130°，則∠DCE等于多少；（2）猜想∠ACB與∠DCE的大小有何特殊關系，并說明理由；（3）如圖（b），若是兩個同樣的三角尺60°銳角的頂點A重合在一起，則∠DAB與∠CAE的大小有何關系，請說明理由；（4）已知∠AOB=α，∠COD=β（α、β都是銳角），如圖（c），若把它們的頂點O重合在一起，則∠AOD與∠BOC的大小有何關系，請說明理由．【答案】（1）∠ACB=155°；∠DCE=50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由見解析；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由見解析；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由見解析．【分析】（1）先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE=∠BCE﹣∠BCD求出即可；（2）根據∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；（3）根據∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；（4）根據∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．【詳解】解：(1)∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=65°，∵∠ACD=90°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°，∴∠BCD=∠ACB﹣∠ACD=130°﹣90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE﹣∠BCD=90°﹣40°=50°，故答案為：155°，50°；（2）∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：∵∠ACB=∠ACE+∠DCE+∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠DCE=∠ACD+∠BCE=180°；（3）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下：∵∠DAB=∠DAE+∠CAE+∠CAB，∴∠DAB+∠CAE=∠DAE+∠CAE+∠CAB+∠CAE=∠DAC+∠BAE=120°；（4）∠AOD+∠BOC=α+β，理由如下：∵∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD，∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=α+β．【點睛】本題考查了角的運算，理解角的和差運算是解題的關鍵．變式2．（2022?喀喇沁旗七年級期中）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使點N在OC的反向延長線上，請直接寫出圖中∠MOB的度數；（2）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數；（3）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖4，使ON在∠AOC內部，請探究∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．【解題思路】（1）根據對頂角求出∠BON，代入∠BOM＝∠MON﹣∠BON求出即可；（2）求出∠BOC＝120°，根據角平分線定義請求出∠COM＝∠BOM＝60°，代入∠CON＝∠MON+∠COM求出即可；（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．【解答過程】解：（1）如圖2，∵∠AOC＝60°，∴∠BON＝∠AOC＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠BOM＝∠MON﹣∠BON＝30°，故答案為：30°；（2）∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝120°，∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOM＝60°，∵∠MON＝90°，∴∠CON＝∠MON+∠COM＝90°+60°＝150°；（3）∠AOM﹣∠NOC＝30°，理由是：∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，∴∠AON＝90°﹣∠AOM，∠AON＝60°﹣∠NOC，∴90°﹣∠AOM＝60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC＝30°，故∠AOM與∠NOC之間的數量關系為：∠AOM﹣∠NOC＝30°．題型4：分類討論問題例4．（2022·成都市七中育才學校七年級月考）一副三角板（直角三角板和直角三角板）如圖1所示放置，兩個頂點重合于點，與重合，且，，，．將三角板繞著點逆時針旋轉一周，旋轉過程中，平分，平分，（和均是指小于180°的角）探究的度數．（1）當三角板繞點旋轉至如圖2的位置時，與重合，______°，______°．（2）三角板繞點旋轉過程中，的度數還有其他可能嗎？如果有，請研究證明結論，若沒有，請說明理由．（3）類比拓展：當的度數為時，其他條件不變，在旋轉過程中，請直接寫出的度數．（用含的式子來表示）【答案】（1）150；75（2）有，105°（3）或【分析】（1）利用兩個角的和的定義,角的平分線的定義計算即可；（2）利用分類思想，確定不同方式計算即可；（3）利用特殊與一般的思想，分類將問題抽象即可．【詳解】（1）如圖，由與重合，∵，，∴．又∵平分，平分，∴，，∴．故答案為：150°；75°；（2）如圖，∵平分，平分，∴+30°+30°+30°．∴，∴．（3）如圖，∵平分，平分，∴，，∴=+60°-=；如圖，∵OE平分，平分，∴，∴．綜上所述，或．【點睛】本題考查了兩個角的和，角的平分線，周角的定義，靈活運用分類思想，角的平分線定義，角的和，差定義計算是解題的關鍵．變式1.（2022?廣東七年級期末）如圖（1），∠BOC和∠AOB都是銳角，射線OB在∠AOC內部，，．（本題所涉及的角都是小于180°的角）(1)如圖（2），OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，填空：①當，時，______，______，______；②______（用含有或的代數式表示）．(2)如圖（3），P為∠AOB內任意一點，直線PQ過點O，點Q在∠AOB外部：①當OM平分∠POB，ON平分∠POA，∠MON的度數為______；②當OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，∠MON的度數為______；（∠MON的度數用含有或的代數式表示）(3)如圖（4），當，時，射線OP從OC處以5°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分鐘時，∠MON的度數是40°？【答案】(1)；(2)，；(3)分鐘時，∠MON的度數是40°【解析】(1)①OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，當，時，，，②，故答案為：(2)①OM平分∠POB，ON平分∠POA，②OM平分∠QOB，ON平分∠QOA，故答案為：，(3)根據題意OM平分∠POQ，如圖，當在的外部時，MON的度數是40°ON平分∠POA，，，則旋轉了分，即分鐘時，∠MON的度數是40°如圖，在的內部時，即此情況不存在，綜上所述，分鐘時，∠MON的度數是40°變式2．（2022·成都市七年級階段練習）定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角，如圖1，若，則是的內半角．（1）如圖1，已知，，是的內半角，則________；（2）如圖2，已知，將繞點按順時針方向旋轉一個角度得，當旋轉的角度為何值時，是的內半角；（3）已知，把一塊含有角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點以3度/秒的速度按順時針方向旋轉（如圖4），問：在旋轉一周的過程中，射線，，，能否構成內半角？若能，請求出旋轉的時間；若不能，請說明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）能，或或或．【分析】（1）根據內半角的定義解答即可；（2）根據內半角的定義解答即可；（3）設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為，根據內半角的定義列方程即可得到結論．【詳解】（1）∵是的內半角，，∴，∵，∴，故答案為：．（2）∵，∴，∵是的內半角，∴，∴，∴旋轉的角度為時，是的內半角．（3）設按順時針方向旋轉一個角度，旋轉的時間為，如圖1，∵是的內半角，，∴，∴，解得：，∴；如圖2，∵是的內半角，，∴，∴，∴，∴；如圖3，∵是的內半角，，∴，∴，∴，∴；如圖4，∵是的內半角，，∴，∴，解得：，∴，綜上所述，當旋轉的時間為或或或時，射線，，，能構成內半角．【點睛】本題考查了與角的有關的計算，涉及到角的和差，準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．【折疊（翻折）問題】【解題技巧】折疊前后對應角、對應邊相等；出現角的比值或無角的具體度數卻求度數常設列方程。在旋轉問題中求解角度是初一數學的難點題型，需要熟悉并靈活運用角度求解的方法，本文就例題詳細解析這類題型的解題思路，希望能給初一學生的數學學習帶來幫助。解決本題的關鍵是根據題目給出的角度或角與角之間的關系，確定射線旋轉的角度，再根據射線的旋轉速度，就可以求得射線旋轉的時間，特別要注意在角的兩邊所處位置不明確的情況下，必須要考慮多解的可能。例1．（2022·山東東營·期末）如圖，長方形紙片，點、分別在邊、上，連接．將對折，點落在直線上的點處，得折痕；將對折，點落在直線上的點處，得折痕．則的度數為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】由翻折可得∠FEN＝∠AEN，∠FEM＝∠BEM，從而可得∠NEM＝∠AEB，進而求解．【詳解】解：由翻折可得∠FEN＝∠AEN＝∠AEF，∠FEM＝∠BEM＝∠BEF，∴∠NEM＝∠FEN＋∠FEM＝（∠AEF＋∠BEF）＝×180°＝90°．故選：B．【點睛】本題考查角的計算，解題關鍵通過翻折得到角相等．變式1．（2022·遼寧沈陽·七年級期末）將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點B、D折疊后的對應點分別為、，若，則的度數為（

）A．40.5° B．41° C．41.5° D．42°【答案】B【分析】由長方形和折疊的性質結合題意可求出．再根據，即可求出答案．【詳解】由長方形的性質可知：．∴，即．由折疊的性質可知，∴．∵，∴．故選B．【點睛】本題考查長方形的性質，折疊的性質．利用數形結合的思想找到角之間的關系是解題關鍵．例2．（2022·遼寧西豐縣·七年級期中）利用折紙可以作出角平分線．（1）如圖1，若∠AOB＝58°，則∠BOC＝．（2）折疊長方形紙片，OC，OD均是折痕，折疊后，點A落在點A′，點B落在點B'，連接OA'．①如圖2，當點B'在OA'上時，判斷∠AOC與∠BOD的關系，并說明理由；②如圖3，當點B'在∠COA'的內部時，連接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度數．【答案】（1）29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由見解析；②30°【分析】（1）由折疊得出∠AOC＝∠BOC，即可得出結論；（2）①由折疊得出∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，再由點B'落在OA'上，得出∠AOA'+∠BOB'＝180°，即可得出結論；②同①的方法求出∠AOA'＝88°，∠BOB'＝122°，即可得出結論．【詳解】解：（1）由折疊知，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，∵∠AOB＝58°，∴∠BOC＝∠AOB＝×58°＝29°，故答案為：29°；（2）①∠AOC+∠BOD＝90°，理由：由折疊知，∠AOC＝∠A'OC，∴∠AOA'＝2∠AOC，由折疊知，∠BOD＝∠B'OD，∴∠BOB'＝2∠BOD，∵點B'落在OA'，∴∠AOA'+∠BOB'＝180°，∴2∠AOC+2∠BOD＝180°，∴∠AOC+∠BOD＝90°；②由折疊知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，即∠A'OB'的度數為30°．【點睛】此題主要考查了折疊的性質，平角的定義，角的和差的計算，從圖形中找出角之間的關系是解本題的關鍵．變式2．（2022·湖南長沙·七年級月考）已知長方形紙片ABCD，E、F分別是AD、AB上的一點，點I在射線BC上、連接EF，FI，將∠A沿EF所在的直線對折，點A落在點H處，∠B沿FI所在的直線對折，點B落在點G處．(1)如圖1，當HF與GF重合時，則∠EFI＝_________°；(2)如圖2，當重疊角∠HFG＝30°時，求∠EFI的度數；(3)如圖3，當∠GFI＝α，∠EFH＝β時，∠GFI繞點F進行逆時針旋轉，且∠GFI總有一條邊在∠EFH內，PF是∠GFH的角平分線，QF是∠EFI的角平分線，旋轉過程中求出∠PFQ的度數(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據折疊的性質可得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，再根據∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，即可得到∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，，推導出x與y的和即可求得答案；（3）先求出∠GFH，∠GFP，∠QFI，根據，即可得到答案.【詳解】（1）由折疊的性質得∠HFE=∠AFE，∠IFG=∠IFB，∵∠HFE+∠AFE+∠IFG+∠IFB=180°，∴∠EFI=∠HFE+∠IFH=90°；（2）令，∵30°∴30°+x，30+y，∴180°，即90°，∴45°，∴75°；（3）,，∴180°，∴90°，又∵，.【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，角的計算，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.課后專項訓練1．（2022·偃師市實驗中學初一月考）如圖,將長方形紙片ABCD的∠C沿著GF折疊(點F在BC上,不與B,C重合),使點C落在長方形內部的點E處,若FH平分∠BFE,則∠GFH的度數是____.

【答案】90°【分析】根據折疊求出∠CFG=∠EFG=∠CFE，根據角平分線定義求出∠HFE=∠BFE，即可求出∠GFH=∠GFE+∠HFE=∠CFB．【解析】∵將長方形紙片ABCD的角C沿著GF折疊（點F在BC上，不與B，C重合），使點C落在長方形內部點E處，∴∠CFG=∠EFG=∠CFE，∵FH平分∠BFE，∴∠HFE=∠BFE，∴∠GFH=∠GFE+∠HFE=（∠CFE+∠BFE）=×180°=90°，故答案為：90°．【點睛】本題考查了角的計算，折疊的性質，角平分線定義的應用，主要考查學生的推理和計算能力．2．（2022·東平縣實驗中學初一期中）將一張長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BD、BE為折痕，若∠CBD＝66°，則∠ABE＝_________.【答案】24°【分析】根據翻折的性質可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，再根據平角的度數是180°，∠CBD＝66°，繼而即可求出答案．【解析】解：根據翻折的性質可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，又∵∠ABE＋∠A′BE＋∠DBC＋∠DBC′＝180°，∴∠ABE＋∠DBC＝90°，又∠CBD＝66°，∴∠ABE＝24°，故答案為：24°.【點睛】題考查了角的計算，解題的關鍵是根據翻折變換的性質，得出三角形折疊以后的圖形和原圖形全等，對應的角相等，得出∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′．3．（2022·重慶七年級期中）如圖，將一張長方形紙片ABCD沿對角線BD折疊后，點C落在點E處，連接BE交AD于F，再將三角形DEF沿DF折疊后，點E落在點G處，若DG剛好平分∠ADB，那么∠ADB的度數是（）A．18° B．20° C．36° D．45°解：由折疊可知，∠BDC＝∠BDE，∠EDF＝∠GDF，∵DG平分∠ADB，∴∠BDG＝∠GDF，∴∠EDF＝∠BDG，∴∠BDE＝∠EDF+∠GDF+∠BDG＝3∠GDF，∴∠BDC＝∠BDE＝3∠GDF，∠BDA＝∠GDF+∠BDG＝2∠GDF，∵∠BDC+∠BDA＝90°＝3∠GDF+2∠GDF＝5∠GDF，∴∠GDF＝18°，∴∠ADB＝2∠GDF＝2×18°＝36°．故選：C．4．（2022·山西·初一期末）如圖1，長方形紙片，點分別在邊上，連接，將對折，點落在直線上的點處，的到折痕；將對折，點落在直線上的點處，得到折痕.（1）求的度數.（2）如圖2，在（1）的基礎上，將紙片展平，然后將對折，點落在直線上的處，得到折痕，猜想和的數量關系，并說明理由.圖1圖2【答案】(1);(2)，理由見解析.【分析】（1）由對折可得，，再由代入即可得出結果；（2）先根據折疊的性質推出，由（1）可得，最后由代入可得出結果.【解析】解：（1）由對折可得，，所以；（2）.理由如下：由對折可得.又因為，所以.由（1）可得.所以.即.【點睛】本題考查角的計算，翻折變換，角平分線的定義，角的和差定義等知識，解題的關鍵是掌握基本概念和性質，屬于中考常考題型．4．（2022·四川省金堂實驗中學初一月考）如圖，以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC=70°，將一個直角三角形的直角頂點放在點O處．（注：∠DOE=90°）(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=°；(2)如圖②，將直角三角板DOE繞點O逆時針方向轉動到某個位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數；(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點O轉動，如果OD始終在∠BOC的內部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數量關系？并說明理由．【答案】（1）20；（2）20o；（3）∠COE﹣∠BOD=20°．分析：（1）根據圖形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出即可；（2）根據角平分線定義求出∠EOB=2∠BOC=140°，代入∠BOD=∠BOE-∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD=∠BOC-∠BOD求出即可；（3）根據圖形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相減即可求出答案．【解析】（1）如圖①，∠COE=∠DOE﹣∠BOC=90°﹣70°=20°；（2）如圖②，∵OC平分∠EOB，∠BOC=70°，∴∠EOB=2∠BOC=140°，∵∠DOE=90°，∴∠BOD=∠BOE﹣∠DOE=50°，∵∠BOC=70°，∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=20°；（3）∠COE﹣∠BOD=20°，理由是：如圖③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）=∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD=∠COE﹣∠BOD=90°﹣70°=20°，即∠COE﹣∠BOD=20°．點睛：本題考查了角的綜合計算，能根據圖形和已知條件求出各個角之間的關系是解此題的關鍵．5．（2022·山東·濟南市天橋區濼口實驗學校七年級期中）將一副三角板中的兩塊直角三角尺的直角頂點C按如圖方式疊放在一起，其中∠A=60°，∠B=45°．(1)如圖1，若∠DCE=40°，則∠ACE=．∠ACB=．(2)由（1）猜想∠ACB和∠DCE的數量關系，并證明你的結論：(3)若固定△ACD，將△BCE繞點C旋轉．①如圖2，當旋轉至BEAC時，則∠ACE=．②如圖3，當旋轉至BCAD時，則∠ACE=．【答案】(1)50°，140°(2)∠ACB+∠DCE=180°，證明見解析(3)①45°；②30°【分析】對于（1），根據直角定義求出∠ACE的度數，即可求出∠ACB的度數；對于（2），將∠ACB+∠DCE轉化為∠ACE+∠BCE+∠DCE，再求出答案；對于（3）①，先根據兩直線平行內錯角相等得出答案；對于②，先根據兩直線平行，同旁內角互補，求出∠ACB的度數，進而得出答案．（1）∵∠ACD=90°，∠DCE=40°，∴∠ACE=50°．∵∠BCE=90°，∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=50°+90°=140°．故答案為：50°，140°；（2）∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠DCE=∠BCE+∠ACD=180°；（3）①∵，∴∠ACE=∠E=45°．故答案為：45°；②∵，∴∠A+∠ACB=180°．∵∠A=60°，∴∠ACB=120°．∵∠BCE=90°，∴∠ACE=∠ACB-∠BCE==120°-90°=30°．故答案為：30°．【點睛】本題主要考查了角的和差，平行線的性質等，靈活選擇平行線的性質是解題的關鍵．6．（2022·上海·七年級專題練習）（1）已知：如圖1，P是直角三角板ABC斜邊AB上的一個動點，CD、CE分別是∠ACP和∠BCP的平分線．當點P在斜邊AB上移動時，∠DCE＝°；（2）把直角三角板的直角頂點C放在直尺的一邊MN上：①點A和點B在直線MN的上方（如圖2），此時∠ACM與∠BCN的數量關系是∠ACM+∠BCN＝；②當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A在直線MN的下方、點B仍然在直線MN的上方時（如圖3），∠ACM與∠BCN的數量關系是；③當把這把直角三角板繞頂點C旋轉到點A和點B都在直線MN的下方時（如圖4），∠ACM與∠BCN的數量關系是．【答案】（1）45；（2）①90°；②∠BCN﹣∠ACM＝90°；③∠ACM+∠BCN＝270°【分析】（1）根據角平分線定義得出，，根據，計算求解即可；（2）①根據，計算求解即可；②由題意知，，進而可得，計算求解即可；③由題意知，，，，對計算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，∵，∴，故答案為：45．（2）①解：由題意知，，，∴，故答案為：90°．②解：由題意知，，，∴，∴，故答案為：．③解：由題意知，，，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線定義，與三角板有關的角的和差計算．明確角之間的數量關系是解題的關鍵．7．（2022·湖南株洲·七年級期末）點為直線上一點，過點作射線，使，將一直角三角板的直角頂點放在點處．(1)如圖1，當三角板的一邊與射線重合時，則________；(2)如圖2，將三角板繞點逆時針旋轉一定角度，此時是的平分線，求和的度數；(3)將三角板繞點逆時針旋轉至圖3所示的位置時，，求的度數．【答案】(1)25°(2)∠AOM＝50°，∠CON＝25°(3)＝70°【分析】（1）根據∠MON和∠BOC的度數可以得到∠MON的度數；（2）根據OC是∠MOB的角平分線，∠BOC＝65°可以求得∠BOM的度數，由∠NOM＝90°，可得∠BON的度數，從而可得∠CON的度數；（3）根據平角的定義求出∠NOC＝5°，再根據角的和差即可得解．（1）解：∵∠MON＝90°，∠BOC＝65°，∴∠MOC＝∠MON?∠BOC＝90°?65°＝25°，故答案為：25°；（2）∵∠BOC＝65°，OC是∠MOB的角平分線，∴∠MOB＝2∠BOC＝130°，∴∠AOM＝180°?∠MOB＝180°?130°＝50°，∠BON＝∠MOB?∠MON＝130°?90°＝40°，∠CON＝∠COB?∠BON＝65°?40°＝25°，即∠AOM＝50°，∠CON＝25°；（3）∵∠AOM＋∠MON＋∠NOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝65°，∠MON＝90°，∴∠AOM＋∠MON＝180°?65°?90°＝25°，∵∠AOM＝4∠NOC，∴∠NOC＝5°，∴∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°．【點睛】本題考查了余角和補角，角平分線的定義，三角板的知識，角的計算，熟記概念并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．8．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）【閱讀理解】如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉180°．【解決問題】（1）在旋轉過程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數量關系？（2）當運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由．（3）運動過程中，如圖2，形成的三個角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當其中一個角的度數是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優線”．①第（2）問中旋轉后的射線OC是“優線”嗎？為什么？②在整個旋轉過程中，若旋轉時間記為t秒，當射線OC是“優線”時，請直接寫出所有滿足條件的t值．【答案】（1）∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB；（2）有，理由見解析；（3）①是，理由見解析；②t=2，3，4，9，12【分析】（1）根據題意畫出圖形可得結論；（2）分別計算出角的度數可得結論；（3）①根據“優線”的定義可判斷；②根據題意全面考慮所有可能并分類討論可得t的值．【詳解】（1）如圖，當OC在∠AOB內部時，∠AOC+∠BOC=∠AOB，當OC在∠AOB外部時，∠AOC-∠BOC=∠AOB，∴∠AOC+∠BOC=∠AOB或者∠AOC-∠BOC=∠AOB

（2）有，理由如下：射線OD平分∠AOB，射線OB平分∠COD．當運動時間為9秒時，∠AOC=15°×9=135°則∠BOC=∠AOC-∠AOB=135°-90°=45°因為∠COD=90°，所以∠BOD=∠COD-∠BOC=90°-45°=45°∠BOC=∠BOD=45°所以射線OB平分∠COD又因為∠BOD=45°=∠AOB所以射線OD平分∠AOB（3）①是，理由如下：第（2）問中∠AOB=90°，∠AOC=135°，∠BOC=45°則∠AOB=2∠BOC所以OC是∠AOB的“優線”．②由題意得，∠AOB＝90°，∠AOC＝15t，當∠BOC＝2∠AOC時，∠AOC＝30°，∴15t＝30，解得t＝2；當∠AO＝2∠AOC時，∠AOC＝45°，∴15t＝45，解得t＝3；當∠AOC＝2∠BOC時，∠AOC＝60°，∴15t＝60，解得t＝4；當∠AOB＝2∠BOC時，∠AOC＝135°，∴15t＝135，解得t＝9；當∠AOC＝2∠AOB時，∠AOC＝180°，∴15t＝180，解得t＝12．綜上，t＝2，3，4，9，12．【點睛】本題主要考查了三角尺中角度的計算，幾何圖形中角的計算，根據題意全面考慮所有可能以分類討論是解題的關鍵．9．（2022·江蘇連云港·七年級期末）【問題提出】七年級上冊《數學實驗手冊》中有“三角尺拼角”的問題．(1)①填空：如圖（1），用副三角板可以直接畫出大于小于的角，它們是：，，，，，，，，______，，．②如果用兩副三角板能畫出嗎？________．（填“能”或“不能”）(2)【問題探究】如圖（2），現有、角的兩種模板，，，請設計一種方案，只用給出的模板和鉛筆畫出角．小明想出了一個方案，利用角模板畫出角．動手操作：如圖（3），M、O、N三點在一條直線上，的頂點A與點O重合，邊與射線重合，如圖所示，將繞點O逆時針旋轉，得，再將繞點O逆時針旋轉，得，…，如此連續操作52次．再利用兩個平角等于一個周角，可得的角，即：．請聰明的你設計一個方案，利用角模板畫出角，并說明理由．(3)【問題拓展】現將【問題探究】中兩種模板按照如圖（4）所示放置，即M、O、N三點在一條直線上，與的頂點A、D都與點O重合，、邊與射線重合．動手操作：將繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉一周，同時也繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉一周，當一方先完成旋轉一周時，另一方隨之停止轉動．．設運動時間為t（秒）．①當t為何值時，？②請直接寫出在旋轉過程中，與的數量關系（數量關系中不能含t）．【答案】(1)①135°，②不能；(2)見解析；(3)①t為1或3時，∠COF＝1°；②∠NOC﹣3∠COF＝23°或∠NOC+3∠COF＝23°．【問題提出】①根據用一副三角板可以直接畫出角的度數是15的倍數可解答；②根據用兩副三角板可以直接畫出角的度數也是15的倍數可解答；【問題探究】根據利用17°角畫出1°角的過程可得解決方法；【問題拓展】①用含t的代數式表示∠COF，再根據方程可得答案；②用含t的代數式分別表示∠COF和∠NOC，再根據結果不能含t，整理即可得到結論．（1）解：①用一副三角板可以直接畫出大于0°小于180°的角，角的度數是15的倍數，所以這些角是度數是15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°．故答案為：135°；②用兩副三角板可以直接畫出大于0°小于180°的角，角的度數也是15的倍數，而140°不是15的倍數，所以不能畫出140°的角．故答案為：不能；（2）解：如圖，M、O、N三點在一條直線上，∠FDE的頂點D與點O重合，DE邊與射線ON重合，如圖所示，將∠EDF繞點O逆時針旋轉17°，如此連續旋轉，操作19次，再利用兩個平角等于一個周角，可得1°的角，即：19°×19﹣180°×2＝1°．（3）解：①由題意可得，∠NOC＝17°+3t，∠NOF＝19°+2t，∴∠COF＝|（17°+3t）﹣（19°+2t）|＝|t﹣2°|，∴|t﹣2°|＝1°，解得t＝1或3，答：當t為1或3時，∠COF＝1°；②在旋轉過程中，∠NOC＝17°+3t，∠COF＝|t﹣2°|，當∠COF＝t﹣2°時，3∠COF＝3t﹣6°，∴∠NOC﹣3∠COF＝17°+3t﹣3t+6°＝23°；當∠COF＝2°﹣t時，3∠COF＝6°﹣3t，∴∠NOC+3∠COF＝17°+3t+6°﹣3t＝23°．綜上，∠NOC﹣3∠COF＝23°或∠NOC+3∠COF＝23°．【點睛】本題考查角的計算，熟練掌握角的和差是解題關鍵．10．（2022·安徽亳州·七年級期末）如圖（）所示，將兩塊直角三角尺的直角頂點C疊放在一起．(1)若，則________°；若∠ACB=130°，則_________°．(2)如圖（b）所示，若兩個同樣的三角板，將銳角的頂點A疊放在一起，則與有何數量關系，請說明理由．(3)如圖（c）所示，已知，（，都是銳角）．若把它們的頂點O疊放在一起，則與有何數量關系，直接寫出結論．【答案】(1)155，50；(2)∠DAB+∠CAE=120°，理由見解析；(3)【分析】(1)

先求出∠BCD，再代入∠ACB=∠ACD+∠BCD求出即可；(2)根據∠DAB=∠DAE+∠EAB求出即可；(3)

根據∠AOD=∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．（1）解∶

∵∠BCE=90°，∠DCE=25°，∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=65°，∵∠ACD=90°

，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°+65°=155°；∵∠ACB=130°，∠ACD=90°

，∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=130°-90°=40°，∵∠BCE=90°，∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°-40°=50°，故答案為∶155，50；（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由如下∶∵∠DAC=∠EAB=60°，∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=60°-∠EAC，∴∠DAB=∠DAE+∠EAB=60°-∠EAC+60°=120°-∠EAC，∴∠DAB+∠CAE=120°；（3）解：，理由如下，∵∴，故答案為：．【點睛】此題考查了幾何圖形中角度的計算，正確理解圖形中角的位置關系，掌握三角板中各角的度數是解題的關鍵．11．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，，射線以的速度從位置出發，射線以的速度從位置出發，設兩條射線同時繞點逆時針旋轉．(1)當時，求的度數；(2)若．①當三條射線、、構成的三個度數大于的角中，有兩個角相等，求此時的值；②在射線，轉動過程中，射線始終在內部，且平分，當，求的值．【答案】(1)(2)①或；②【分析】（1）根據題意求得OD與OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度數；（2）①分三種情況，列出方程，解方程即可得到答案；②先證明運動至外部．由，，可以得到，又因為平分，則，從而求出，再求得，即可求得答案．（1）解：依題意，當時，射線運動的度數為，∵，∴此時與重合，射線運動的度數為，即，∴當時，．（2）①若時，分下面三種情形討論：（i）如圖1，當時，，∴，符合．（ii）如圖2，當時，，∴，符合．（iii）如圖3，當時，，∴，不在范圍內，舍去．綜上所得或．②如圖4，∵，∴，，∴最大度數為，最大度數為．∵，∴當時，，∴，即，∴運動至外部．此時，，，∴，∵平分，∴，∴，又，∴．【點睛】此題主要考查了與角平分線有關的計算、圖形的旋轉、角之間計算、一元一次方程的應用等知識，解題的關鍵是找到等量關系列方程．12．（2022·安徽·定遠縣第一初級中學七年級期末）已知，，OM，ON分別是和的平分線．(1)如圖1，如果OA，OC重合，且OD在的內部，求的度數；(2)如圖2，固定，將圖1中的繞點O順時針旋轉（）．①與旋轉度數有怎樣的數量關系？說明理由；②當n為多少時，為直角？(3)如果的位置和大小不變，的邊OD的位置不變，改變的大小；將圖1中的OC繞著O點順時針旋轉（），如圖3，請直接寫出與旋轉度數之間的數量關系：_____．【答案】(1)25°(2)①n°＋25°，②n＝65(3)∠MON=m°＋25°【分析】（1）如圖1，根據OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，求出∠AOM，再根據ON平分∠COD，∠COD＝80°，可出∠AON，進而求出∠MON＝∠AOM﹣∠AON；（2）①根據圖形中角的和差關系可直接求出；②當∠MON＝90°時，由于n°＋25°＝90°，所以n＝65，（3）根據圖中角的和差關系可得：∠MON＝∠COM﹣∠CON，即可得出答案．（1）如圖1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，∴∠AOM＝∠AOB＝×130°＝65°，∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON＝∠COD＝×80°＝40°，∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°，（2）①如圖2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°＋n°﹣40°＝n°＋25°，②當∠MON＝90°時，n°＋25°＝90°，∴n＝65，（3）如圖3中，∠MON＝∠COM﹣∠CON＝65°＋m°﹣（80°＋m°）＝m°＋25°．故答案是：∠MON＝m°＋25°．【點睛】本題主要考查角平分線的定義和角的和差關系，解決本題的關鍵是要熟練掌握角平分線的定義，并能結合圖形分析角的和差關系．13．（2022·湖北武漢·七年級期末）【學習概念】如圖1，在∠AOB的內部引一條射線OC，則圖中共有3個角，分別是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一個角的度數是另一個角度數的兩倍，則稱射線OC是∠AOB的“好好線”．【理解運用】（1）①如圖2，若∠MPQ＝∠NPQ，則射線PQ∠MPN的“好好線”（填“是”或“不是”）；②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射線PQ是∠MPN的“好好線”，請用含α的代數式表示∠MPN；【拓展提升】（2）如圖3，若∠MPN＝120°，射線PQ繞點P從PN位置開始，以每秒12°的速度逆時針旋轉，旋轉的時間為t秒．當PQ與PN成110°時停止旋轉．同時射線PM繞點P以每秒6°的速度順時針旋轉，并與PQ同時停止．當PQ、PM其中一條射線是另一條射線與射線PN的夾角的“好好線”時，則t＝秒．【答案】（1）①是；②∠MPN=α，3α；（2）t=，4，5秒．【分析】（1）①根據新定義的理解，即可得到答案；②根據題意，可分為兩種情況：當∠MPQ=2∠QPN時；當∠QPN=2∠MPQ時；分別求出∠MPN即可；（2）根據題意，設運用的時間為t秒，則PM運用后有，，然后對PM和PQ的運動情況進行分析，可分為四種情況進行分析，分別求出每一種情況的運動時間，即可得到答案．【詳解】解：（1）①如圖，若∠MPQ＝∠NPQ，∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，∴射線PQ是∠MPN的“好好線”；②∵射線PQ是∠MPN的“好好線”又∵∠MPQ≠∠NPQ∴此題有兩種情況Ⅰ．如圖1，當∠MPQ=2∠QPN時∵∠MPQ=α∴∠QPN=α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=α；Ⅱ．如圖2，當∠QPN=2∠MPQ時∵∠MPQ=α∴∠QPN=2α∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α綜上所述：∠MPN=α或∠MPN=3α．（2）根據題意，PM運動前∠MPN＝120°，設運用的時間為t秒，則PM運用后有，，①當時，如圖：∴，解得：；②當，即時，如圖：∴，解得：；③當，如圖：∴，解得：；④當，如圖：∵，，∴，解得：；∵的最大值為：，∴不符合題意，舍去；綜合上述，t=，4，5秒．【點睛】本題考查了新定義的角度運算，角度的和差關系，以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確掌握運動狀態，運用分類討論的思想進行分析．14．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【閱讀理解】射線OC是∠AOB內部的一條射線，若∠AOC＝∠BOC，則稱射線OC是射線OA在∠AOB內的一條“友好線”．如圖1，若∠AOB＝75°，∠AOC＝25°，則∠AOC＝∠BOC，所以射線OC是射線OA在∠AOB內的一條“友好線”．【解決問題】(1)在圖1中，若作∠BOC的平分線OD，則射線OD（填“是”或“不是”）射線OB在∠AOB內的一條“友好線”；(2)如圖2，∠AOB的度數為n，射線OM是射線OB在∠AOB內的一條“友好線”，ON平分∠AOB，則∠MON的度數為（用含n的代數式表示）；(3)如圖3，射線OB先從與射線OA重合的位置出發，繞點O以每秒1°的速度逆時針旋轉；10秒后射線OC也從與射線OA重合的位置出發，繞點O以每秒5°的速度逆時針旋轉，當射線OC與射線OA的延長線重合時，運動停止．問：當射線OC運動時間為多少秒時，射線OA，OB，OC中恰好有一條射線是余下兩條射線中某條射線在余下兩條射線所組成的角內的一條“友好線”？【答案】(1)是(2)n(3)或或或或秒【分析】（1）根據“友好線”定義即可作出判斷；（2）根據“友好線”定義即可求解；（3）利用分類討論思想，分別作出圖形，分情況進行計算即可．(1)解：∵OB是∠BOC的平分線，∴∠BOD＝∠COD，∵∠COA＝∠BOC，∴∠BOD＝∠AOD，∴射線OD是射線OB在∠AOB內的一條“友好線”．故答案為：是．(2)∵射線OM是射線OB在∠AOB內的一條“友好線”，∠AOB的度數為n，∴∠BOM＝∠AOB＝n，∵ON平分∠AOB，∴∠BON＝∠AOB