2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為（）

T

^

l

r

l

、32石,

A,-------+64B.86+6乃

3

「32616兀D.86+殍

33

2.《九章算術(shù)》“少廣”算法中有這樣一個(gè)數(shù)的序列：列出“全步”（整數(shù)部分）及諸分子分母，以最下面的分母遍乘各

分子和“全步”，各自以分母去約其分子，將所得能通分之分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分約簡，又用最下面的分母去遍乘諸（未通者）

分子和以通之?dāng)?shù)，逐個(gè)照此同樣方法，直至全部為整數(shù)，例如：〃=2及“=3時(shí)，如圖：

w=3

記S,,為每個(gè)序列中最后一列數(shù)之和，則S6為（）

A.147B.294C.882D.1764

3.如圖所示，三國時(shí)代數(shù)學(xué)家在《周脾算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三

角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個(gè)內(nèi)角為30。，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒（大小忽略不計(jì)，取

x/3^1,732）.則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）

B.27C.54D.64

ZJV*

4.已知〃>0,若對任意/〃e（0,+8）,關(guān)于x的不等式—--</n-ln（/w+l）-l（e為自然對數(shù)的底數(shù)）至

e

少有2個(gè)正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（

e3+ee3+ee34-e"+e

A.e，22，+0°0,-----D.

2

XQ1

5.已知函數(shù)f(x)=——3+〃在區(qū)間（Ly）上恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

Inxx

A.(e,3)11(3收)B.[0,e)C.?2,+00)D.(-oo,e)U{3}

x-ay+3>0

6.已知y=ox+Z?與函數(shù)于（x）=21nl+5和g（x）=x2+4都相切，則不等式組<c八所確定的平面區(qū)域在

x+by-2>0

/+/+28一2y一22=0內(nèi)的面積為（）

A.2兀B.3兀C.6兀D.124

卒=2%,點(diǎn)7在棱A4上，若7PL平面PBC.則

7.如圖，長方體45co-中,2AB=3AAl=6,

UUUUU

TPBlB=()

A.1B.-1C.2

8.在長方體ABC。-4AG2中，AB=\,AD=0,A&=J§,則直線與平面ABC；所成角的余弦值為（）

6「V15

AR百

15.------L?--------

235D?半

9.設(shè)a=0.82°s,Z?=sinl,c=lg3,則a,b,c三數(shù)的大小關(guān)系是

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<h<aD.b<c<a

10.若直線二不平行于平面二，且二u二，則（）

A.二內(nèi)所有直線與二異面

B.二內(nèi)只存在有限條直線與二共面

C.二內(nèi)存在唯一的直線與二平行

D.二內(nèi)存在無數(shù)條直線與二相交

11.已知x>（）,y>Q,x+2y=3,則士電的最小值為（）

孫

A.3-2后B.2夜+1C.V2-1D.V2+1

12.如圖是2017年第一季度五省GZ）尸情況圖，則下列陳述中不正確的是（）

一□總量T-與去年同期相比地長率

A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.

B.與去年同期相比，2017年第一季度的GZ）尸總量實(shí)現(xiàn)了增長.

C.2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)

D.去年同期河南省的尸總量不超過4000億元.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知復(fù)數(shù)2=。+初（a/eR）,且滿足iz=9+z.（其中i為虛數(shù)單位），則a+h=—.

14.已知集合4={幻%=%+父3+。2-32+%-33},其中為e{0,1,2},%=。1,2,3.且4工0,則集合A中所有元素

的和為.

15.在三棱錐S—ABC中，SA,SB,SC兩兩垂直且以=S3=SC=2,點(diǎn)”為ABC的外接球上任意一點(diǎn),

則MA-MB的最大值為.

[人22

16.已知實(shí)數(shù)。力之一,且/一“=6—〃由加=幺+￡_的最大值是_________

2ab

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在三棱錐二一二二二中，二二二二=二二二二=二二二二=901二二二二=45。,二二二二=60。,二為棱二二的中點(diǎn),

⑺證明：二二1二二;

(〃)求直線二二與平面二二二所成角的正弦值.

18.(12分)第7屆世界軍人運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行，賽期10天，共設(shè)置射擊、游泳、

田徑、籃球等27個(gè)大項(xiàng)，329個(gè)小項(xiàng).共有來自100多個(gè)國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運(yùn)會(huì)順利召開,

武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動(dòng)，努力讓大家更多的了解軍運(yùn)會(huì)的相關(guān)知識，并倡議大家

做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運(yùn)會(huì)知識的知曉情況，在全市開展了網(wǎng)上問卷調(diào)查，民眾參與度極高，

現(xiàn)從大批參與者中隨機(jī)抽取200名幸運(yùn)參與者，他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

組另IJ[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)5304050452010

(1)若此次問卷調(diào)查得分整體服從正態(tài)分布，用樣本來估計(jì)總體，設(shè)〃，。分別為這200人得分的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差

(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點(diǎn)值作為代表)，求〃，a的值(〃，o'的值四舍五入取整數(shù))，并計(jì)算P(51<X<93)；

(2)在(1)的條件下，為感謝大家參與這次活動(dòng)，市體育局還對參加問卷調(diào)查的幸運(yùn)市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分

低于〃的可以獲得1次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，得分不低于〃的可獲得2次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，在一次抽獎(jiǎng)中，抽中價(jià)值為15元的紀(jì)念品A

2I

的概率為一，抽中價(jià)值為30元的紀(jì)念品3的概率為；.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調(diào)查并成為幸運(yùn)參與者，記y

33

為他參加活動(dòng)獲得紀(jì)念品的總價(jià)值，求y的分布列和數(shù)學(xué)期望，并估算此次紀(jì)念品所需要的總金額.

(參考數(shù)據(jù)：—5<X<〃+5)a0.6827；P(〃-25<X<〃+25)^0.9545；

P(〃-35<X<〃+3b)*0.9973.)

19.(12分)已知。>0,b>0,S.a+b-1.

12

(1)求一+7的最小值;

ab

ab+2hx/5

(2)證明:----o---<---?

a'+lr+12

20.(12分)已知函數(shù)為(x)=/sin(7?x),設(shè)力(x)為九(x)的導(dǎo)數(shù)，〃eN*.

(1)求工(X),力(力；

(2)猜想力(x)的表達(dá)式，并證明你的結(jié)論.

22

21.(12分)設(shè)直線/與拋物線2)，交于A5兩點(diǎn)，與橢圓?+三=1交于C,。兩點(diǎn)，設(shè)直線04,OB,OC,8

(0為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率分別為3上2,%，&，若

(1)證明：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)是否存在常數(shù)2,滿足4+&="&+%)?并說明理由.

3

22.(10分)在銳角AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知cos2C=一-.

4

(1)求sinC的值；

(2)當(dāng)c=2a,且〃=3舊時(shí)，求AABC的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

還原幾何體可知原幾何體為半個(gè)圓柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體，分別求解兩個(gè)部分的體積，加和得到結(jié)果.

【詳解】

由三視圖還原可知，原幾何體下半部分為半個(gè)圓柱，上半部分為一個(gè)四棱錐

1,1,

半個(gè)圓柱體積為：匕=—乃廣〃=—萬x2~x3=6萬

22

四棱錐體積為：匕=；S/?=；x4x3x2百=86

原幾何體體積為：V=K+%=8G+6乃

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖的還原、組合體體積的求解問題，關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確還原幾何體，從而分別求解各部分的體積.

2.A

【解析】

根據(jù)題目所給的步驟進(jìn)行計(jì)算，由此求得s6的值.

【詳解】

依題意列表如下：

上列乘6上列乘5上列乘2

163060

J_

31530

2

]_

21020

3

]_315

15

42~2

26

612

55

J_

1510

6

所以$6=60+30+20+15+12+10=147.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查合情推理，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

設(shè)大正方體的邊長為X,從而求得小正方體的邊長為@設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為N,利用概率模

22

擬列方程即可求解。

【詳解】

設(shè)大正方體的邊長為X,則小正方體的邊長為_

22

設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為N,

_iY

則1萬'-5二|N'解得：N227

-200

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。

4.B

【解析】

構(gòu)造函數(shù)/(m)=加—山(加+1)—1(m>0),求導(dǎo)可得/(加)在(0,+?)上單調(diào)遞增，則/(加)>/(0)=—1,問題

轉(zhuǎn)化為(％-1度-竺<-1,即(x-l)e”竺-1至少有2個(gè)正整數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x-l)e*，Mx)="-l,通過

eee

導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，由g(o)=及(0)可知，要使得g(X)<力(X)至少有2個(gè)正整數(shù)解，只需g(2)4力(2)即可,代入可求得結(jié)

果.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)/(m)=加一(m>0),貝!=l---彳=所以/(〃?)在(0,+?)上單

調(diào)遞增，所以/(加)>/(())=-1,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x,使得(x-l)e'〈竺-1成立，設(shè)

e

g(x)=(x-l)e*,//(%)=—-1,貝iJg'(x)=Ae*,當(dāng)x〉0時(shí)g?x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時(shí)，力(￡)單

調(diào)遞增.g(2)W〃(2),整理得az曰上.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題，考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理

能力，難度較難.

5.A

【解析】

X3/7InYX3/7Inxx

函數(shù)/(%)=;--3+-一的零點(diǎn)就是方程;--3+------。=0的解，設(shè)g(x)=L，方程可化為

InxxInxxInx

(g(x)-3)(g(x)-a)=0,即g(x)=3或g(x)=a,求出g(x)的導(dǎo)數(shù)g'(x),利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由

此可根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)得出。的范圍.

【詳解】

X3〃Inxx

由題意得一-3+^—^-。=0有四個(gè)大于1的不等實(shí)根，記g(x)=—,則上述方程轉(zhuǎn)化為

InxxInx

(3)

(g(x)—3)+a---1=0,

Ig(x))

§P(g(x)-3)(g(x)-a)=(),所以g(x)=3或g(x)=a.

因?yàn)間'(x)=^M，當(dāng)xe(l,e)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(e,”)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

所以g(x)在x=e處取得最小值，最小值為g(e)=e.因?yàn)?>e,所以g(x)=3有兩個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)解，故

X3〃Inx

/*)=一—-3+----------。在區(qū)間(1,鐘)上恰有四個(gè)不相等的零點(diǎn)，需a>e且

Inxx

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn).考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本

題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力.

【解析】

根據(jù)直線曠=依+人與“X)和g(x)都相切，求得。，力的值，由此畫出不等式組所表示的平面區(qū)域以及圓

x2+y2+2x-2y-22=0,由此求得正確選項(xiàng).

【詳解】

22

/(x)=-，g'(x)=2x.設(shè)直線y=與/(x)相切于點(diǎn)A(x0,21nM+5),斜率為一，所以切線方程為

XX0

2221

y-（21nXo+5）=—（%一%）,化簡得y=-x+Zlnx。+3①.令g（無）=2x=—,解得x=一=!+4,

X。/X。X。玉）

fi12（11211

所以切線方程為y——+4=—x——,化簡得y=—X--r+4②.由①②對比系數(shù)得21nxo+3=-二+4,

yxoJxokxoJX。X。X。

化簡得21nXo+=-1=0③.構(gòu)造函數(shù)〃（x）=21nx+4-l（x>0）,“⑴=2一之=生±1或二11,所以〃⑴在

'oXXXX

(0,1)上遞減，在(l,xo)上遞增，所以〃(X)在無=1處取得極小值也即是最小值，而M1)=O,所以〃(力=0有唯一

X-6FV+3>0x-2y+3>0

解也即方程③有唯一解小=1.所以切線方程為丁=2尤+3.即。=22=3.不等式組《*即彳

x+Z?y-2>0x+3}^-2>0'

畫出其對應(yīng)的區(qū)域如下圖所示.圓f+/+2x—2y—22=0可化為（x+l）2+（y—1）2=24,圓心為A（—1,1）.而方程

組.%—2y-+c3=八0的解也是<x——,1.畫出圖像如下圖所示，不等式組「x—2?y+；3一2八0所確定的平面區(qū)域在

x+3y-2=0[y=\[x+3y-2>0

內(nèi)的部分如下圖陰影部分所示.直線工一丁+的斜率為；，直線的斜率

/+：/+2；1-23；-22=023=0x+3y-2=0

11

為一.所以1加/84。=1加（24即+24￡）￡）=%^=1,所以/B4C=工，而圓A的半徑為值=2#，所

3l--x-1

23

以陰影部分的面積是:x?x（2幾）’=3萬.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)公共切線求參數(shù)，考查不等式組表示區(qū)域的畫法，考查圓的方程，考查兩條直線夾角的計(jì)算，考

查扇形面積公式，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查分析思考與解決問題的能力，屬于難題.

7.D

【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可知7Plp3;結(jié)合羸=2函即可證明“小三兇尸用，進(jìn)而求得研.由線段關(guān)系及平

UHUUU

面向量數(shù)量積定義即可求得7P-B0.

【詳解】

長方體ABCD-4用CQI中，2AB=3A4]=6,

點(diǎn)7在棱AR上，若7P_L平面PBC.

則7PJ_P8，帚=2函

則NPL4]=NBPB],所以\PTA[s\BPBX,

貝4研=231=1,

uiruuir|Uii|iuuir

所以TP耳8=T尸耳Bcos/PTX

(1)

=V22+12X2X--=^==一2,

IV?TFJ

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

在長方體中A8//G2，得。。與平面交于A，過。做DOLAR于。，可證。。，平面A8GA，可得

/。。質(zhì)為所求解的角，解放AAOR,即可求出結(jié)論.

【詳解】

在長方體中ABIICR,平面ABC,即為平面ABCR,

過。做。OJ.AR于。，QABJ_平面A4Q。，

￡>(?匚平面/141。|。,，AB1DO,ABQAD,=D,

：.DO1平面ABC.，,ADD,A為DR與平面ABC,所成角，

在Rt^ADD、,DD、—A4,=6,AD—y/2,AD1—\[5?

“人DRC岳

：.cosZDD,A=----=-7==-----,

iAR#5

直線DQ與平面ABC,所成角的余弦值為半.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

利用對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算公式，將用c與1比較即可.

\52

【詳解】

由a=0.82°5>0.8"5=J|,

1,.,.兀乖)B[4

—</?=sinl<sin—=——=J—<J—>

232V4V5

c=ig3<igvnj=(igio=；,

所以有c<匕<a.選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)值，指數(shù)值和正弦值大小的比較，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵，注意合理地進(jìn)行等

價(jià)轉(zhuǎn)化.

10.D

【解析】

通過條件判斷直線二與平面二相交，于是可以判斷ABCD的正誤.

【詳解】

根據(jù)直線二不平行于平面二，且二v二可知直線二與平面二相交，于是ABC錯(cuò)誤，故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.

11.B

【解析】

八3），=爐+。+2加「+]+2y21+2歸互=1+20，選B

xy孫y%Yyx

12.c

【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析即可求解.

【詳解】

對于A選項(xiàng)：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；

對于B選項(xiàng)：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長，所以其總量也實(shí)現(xiàn)了增長，故B正確;

對于C選項(xiàng)：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5

省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個(gè)，故C錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)：去年同期河南省的GDP總量4067.4X—!—?3815.57<4000,故D正確.

1+6.6%

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圖表分析，學(xué)生的分析能力，推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-8

【解析】

計(jì)算出反=切+匕/=-匕+5，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，列方程組求解.

【詳解】

iz=ai+bi2=-b+ai>所以a=l,匕=—9,所以。+匕=一8.

故答案為：-8

【點(diǎn)睛】

此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析，需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.

14.2889

【解析】

先計(jì)算集合中最小的數(shù)為27,最大的數(shù)為80,可得A={27,28,…,80},求和即得解.

【詳解】

當(dāng)%=1,生=4=4=。時(shí)，集合中最小數(shù)=27；

當(dāng)q=。2=q=%=2時(shí)，得到集合中最大的數(shù)2x（一二）=80；

1—3

.（crco1（27+80）X54cooc

nA={27,28,...,o80n}n-----------=2889

（=272

故答案為：2889

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列與集合綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

15.20+2

【解析】

先根據(jù)三棱錐的幾何性質(zhì)，求出外接球的半徑，結(jié)合向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為求球體表面一點(diǎn)到-SAC外心距離最

大的問題，即可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)镾ASB,SC兩兩垂直且SA=SB=SC=2,

故三棱錐S-ABC的外接球就是對應(yīng)棱長為2的正方體的外接球.

且外接球的球心為正方體的體對角線的中點(diǎn)。，如下圖所示：

容易知外接球半徑為由.

設(shè)線段的中點(diǎn)為。一

故可得涼.礪=（麗+印）?（必可+用）

=（函+利.（麗-印）

=|畫—麗2=|西2一2,

故當(dāng)|仞。||取得最大值時(shí)，血.用后取得最大值.

而當(dāng)M,A,B在同一個(gè)大圓上，且MQLAB,

點(diǎn)M與線段AB在球心的異側(cè)時(shí)，|麗|取得最大值，如圖所示：

此時(shí)，MO=V3,00,3=-2+了一=?+

故答案為：26+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查球體的幾何性質(zhì)，幾何體的外接球問題，涉及向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算，屬綜合性困難題.

163及4

2

【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，然后根據(jù)最值的條件求出最大值

【詳解】

=，,又實(shí)數(shù)圖形為,圓，如圖：'T

由/化簡得—

[2)[2)

224口、

a2-a=b-b2?可得。？=a+。一/，〃=a+b—ci~

2222

“，baa+b-aa+b-bb.atba7c

H---Q+IH-------b=—l----ci-b+2

abababab

由幾何意義得+則，-V2-L1+V2],為求最大值則當(dāng)過點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)。+/＞取最小值，可得

M=72-1+1+72------+2=—+1

2222

所以朋=貴+《的最大值是還+1

ab2

【點(diǎn)睛】

本題考查了二元最值問題，將其轉(zhuǎn)化為幾何意義，得到圓的方程及斜率問題,對要求的二元二次表達(dá)式進(jìn)行化簡，然

后求出最值問題，本題有一定難度。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.⑺證明見解析；（”）；

【解析】

⑺過二作二二，二二于二，連接二二根據(jù)勾股定理得到二二J.二二二二1.二二得到二二一平面二二二，得到證明.

(〃)過點(diǎn)二作二二±二二于二證明二二一平面二二二，故二二二二為直線二二與平面二二二所成角，計(jì)算夾角得到答案.

【詳解】

⑺過二作二二1二二于二連接二二根據(jù)角度的垂直關(guān)系易知：

二二=1,二二=二二=\:,二二=二二=逐，故二二=二二cos二二二二

_________a為弓

--=--S1Q-------------=7?

根據(jù)余弦定理：”:二］=一二:妾,解得二二；=:,故二二；=二二；+二二;，

/3/j

故二二J.二二，二二_L二二，二二C二二=二，故二二二平面二二二，二二U平面二二:

故二二1二二.

(//)過點(diǎn)二作二二1二二于二，

二二，平面二二二，二二匚平面二二二，故二二J.二二，二二1二二，二二C二二=二,

故二二-平面二二二故二二二二為直線二二與平面二二二所成角，

:=二二；+二二；=：,根據(jù)余弦定理：cos二二二二=三三三=￥，

?1R./,sin—__?—__—_—_=J

【點(diǎn)睛】

本題考查了線線垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

18.(1)〃=65,cr?14,P=0.8186；(2)詳見解析.

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布表計(jì)算出平均數(shù)，進(jìn)而計(jì)算方差，從而X?N(65,142),計(jì)算尸(51VXV93)即可；

(2)列出丫所有可能的取值，分布求出每個(gè)取值對應(yīng)的概率，列出分布列，計(jì)算期望，進(jìn)而可得需要的總金額.

【詳解】

解：(1)由已知頻數(shù)表得:

…、5"30-40「50.45—20“10「

E(X)=35x------F45x------F55x------F65x--------F75x------F85x------F95x-----—65,

200200200200200200200

Z)(X)=(35—65)2X0.025+(45-65)2x0.15+(55-65)2x0.2+(65-65)2x0.25+(75-65)2x0.225

+(85—65>x0.1+(95-65)2x005=210,

由196<b2<225,貝！I14<cr<15,

而14.52=210.5>210,所以d4,

則X服從正態(tài)分布N(65,14),

所以

P(/z-2a<X<〃+2<T)+P(/z-a<X<〃+b)

P(51<X<93)=P(〃—b<X<〃+2b)=

2

0.9545+0.6827

-----------------------=Un.oo1iooOr；

2

(2)顯然，P(X<〃)=P(X>〃)=0.5,

所以所有Y的取值為15,30,45,60,

P（y=15）=lx-=1,

233

…“、111227

P（Y=30）=—x-+—x—x—=——，

2323318

1211122

p（y=45）=-x-x-+-x-x-=-,

2332339

p（y=60）=HL-L,

23318

所以丫的分布列為:

Y15304560

]_721

P

3Ti918

1721

所以E（y）=15x—+30x——+45x—+60x—=30,

318918

需要的總金額為：200x30=6000.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用頻率分布表計(jì)算平均數(shù)，方差，考查了正態(tài)分布，考查了離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望,

主要考查數(shù)據(jù)分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.(1)3+2夜(2)證明見解析

【解析】

(1)利用基本不等式即可求得最小值;

(2)關(guān)鍵是配湊系數(shù)，進(jìn)而利用基本不等式得證.

【詳解】

(1)!+?=(4+與(1+馬=3+孕+幺.3+2、佟2=3+2正，當(dāng)且僅當(dāng)“人=&/，時(shí)取等號,

ababba\ba

I9

故一+7的最小值為3+2友；

ab

ab+2b_ab+2bab+2bab+2bJi

⑵a2+b2+\~b2Ab-"r~^~22,

2-7=（ab+2b）

V5

當(dāng)且僅當(dāng)。=時(shí)取等號，此時(shí)Q+/?W1.

22

ab+2b

<——

/+/+i2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查基本不等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

2。.⑴工（6=.2+戶）、%皿法+0,人（力=（儲(chǔ)+〃）0口疝伽+29）；

⑵￡,（x）=（a?+pepsin（云+〃°＞證明見解析

【解析】

（1）對函數(shù)/（力進(jìn)行求導(dǎo),并通過三角恒等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得工（X）的表達(dá)式，對函數(shù)工（X）再進(jìn)行求導(dǎo)并通過三角恒

等變換進(jìn)行轉(zhuǎn)化求得f2（X）的表達(dá)式；

（2）根據(jù)（1）中工（x），力（%）的表達(dá)式進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

【詳解】

ax

(1)fx(x)=(x)=aesin{bx)4-be"cos(fer)

=y]a2+b2eM[j：，:sin(Zzx)+,?,cos(fex)

=\ja2+Z?2*sin(bx+°)

.ba

.其中sin0=“/2+從，,cos(，p=”/2+從

22

f2(x)=fx(x)=yja+Z?[a*sin+9)+be"cos(

=J/+〃sin(bx+(p)+bcos(hx+°)][

ba

-(a-+Z?-)e<Ksm(^x+2^),其中sin0=j1,,cos9=廠~

Ja+/T?

(2)猜想/⑺=(〃2+/)5*sin(bx+n《N*

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)〃=1時(shí),工(%)=(/+〃2)5sin(/?x+/)成立，

②假設(shè)〃=攵時(shí)，猜想成立

k

即力(％)=(a?+/Ie(lxsin(bx+%夕)

當(dāng)〃=攵+1時(shí)，加(x)=4(x)

k

=(/+/)2[a*sin(/zx+%9)+〃*8S(Z7X+%9)]

巾+4,[后%sm的+/)+一?

)s(bx+