學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精北京東城區第一七一中學2017-2018學年度高三數學(理科）期中考試試題一、本大題共8小題,每小題5分，共40分1.已知是虛數單位，復數（）．A。B。C.D。【答案】D【解析】，故選D.2.已知集合，集合，則（)．A.B.C.D.【答案】A【解析】由中的不等式變形得:，得到，由中的不等式變形得:，得到,即，則，故選A.3.在極坐標系中，點到直線的距離是（）．A。B.C。D。【答案】C【解析】點到直線分別化為直角坐標系下的坐標與方程:,直線點到直線的距離，點到直線的距離是，故選C。4。已知中,,則(）．A。B.C。D。【答案】A5。已知不等式組,表示的平面區域的面積等于，則的值為(）．A.B。C。D。【答案】B【解析】作出不等式組對應的平面區域如圖：4過定點表示直線的下方，，則由圖象可知,由，解得，即，則的面積，故，故選B。【方法點晴】本題主要考查線性規劃中利用可行域求目標函數的最值，屬簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：(1）作出可行域(一定要注意是實線還是虛線）；(2）找到目標函數對應的最優解對應點(在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值。6.《九章算術》卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈,袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．芻甍:底面為矩形的屋脊狀的幾何體（網格紙中粗線部分為其三視圖,設網格紙上每個小正方形的邊長為1丈)，那么該芻甍的體積為（左視圖為正視圖,右圖為左視圖，下圖為俯視圖）（）．A.立方丈B。立方丈C.立方丈D。立方丈【答案】B【解析】由已知可將芻甍切割成一個三棱柱和一個四棱錐,三棱柱的體積為3，四棱錐的體積為2，則芻甍的體積為5.故選B.7。在平行四邊形中，對角線與交于點，,則（）．A。B.C.D。或【答案】B【解析】如圖所示，平行四邊形中，對角線與交于點，根據向量加法原理可得，故選B。8.設函數，則“"是“與”都恰有兩個零點的(）．A.充分不必要條件B。必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，所以開口向上，有兩個零點，最小值必然小于，當取得最小值時，，即，令，則，必有兩個零點，同理，由于是對稱軸，開口向上，，必有兩個零點，所以“”是“與”都恰有兩個零點的充要條件，故選C.【方法點睛】本題通過充分條件與必要條件考查二次函數的圖象與性質，屬于難題題。判斷充要條件應注意：首先弄清條件和結論分別是什么，然后直接依據定義、定理、性質嘗試.對于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題，除借助集合思想化抽象為直觀外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉化為判斷它的等價命題；對于范圍問題也可以轉化為包含關系來處理。本題中，不但要理解充分條件與必要條件的基本含義，更要熟練掌握二次函數的圖象與性質，以及二次函數與一元二次方程的關系。二、填空題：本大題共6小題,每小題5分，共30分9.在的展開式中,含的項的系數是__________．【答案】10【解析】展開式中含項的系數分別為，系數的和為,故答案為.【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確,主要從以下幾個方面命題：（1)考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數)(2)考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.10.設是等差數列的前項和，若，，則公差__________．__________．【答案】(1）。2（2).40【解析】由題意,,①，②②-①得，，即，由等差數列的前項和公式和性質可得：，故答案為。11.過點的直線將圓分成兩段弧，當其中的劣弧最短時，直線的方程是__________．【答案】【解析】由條件知點在圓內,故當劣弧最短時，應與圓心與點的連線垂直，設圓心為，則直線的斜率的方程為,即,故答案為。12.若函數是奇函數,則__________．【答案】【解析】設，則，結合奇函數的性質可得：，故答案為。13.將、、、、、六個字母排成一排,且、均在的同側，則不同的排法共有__________種（用數字作答)．【答案】480【解析】按的位置分類，在左1，左2，左3,或者在右1，右2，右3,因為左右是對稱的，所以只看左的情況最后乘以2即可，當在左邊第1個位置時，有，當在左邊第2個位置時，和有右邊的4個位置可以選，有，當在左邊第3個位置時，有，共為種，乘以2得,則不同的排法共有種，故答案為.14。對于一切實數，令為不大于的最大整數，則函數稱為高斯函數或取整函數,計算__________；若，，為數列的前項和，則__________．【答案】（1）.1(2)。【解析】為不大于的最大整數,，為高斯實數或取實數,若，，，，，故答案為。三、解答題:本大題共6小題,共80分15。(本小題共分）設函數，其中．(Ⅰ)若的最小正周期為，求的單調遞增區間．（Ⅱ)若函數的圖像的一條對稱軸為,求的值．【答案】（1)增區間為,．（2)或【解析】試題分析：（1）根據二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及輔助角公式將化成的形式，再利用的周期為,根據周期公式列方程求，利用正弦函數的單調性列不等式可得的單調遞增區間；（2）∵是的一條對稱軸，∴,，取特殊值，結合條件，即可求得的值.試題解析：（Ⅰ），∵的最小正周期是,∴，，∴，令,，得，，∴的單調增區間為，．(Ⅱ）∵是的一條對稱軸，∴，,∴，又,，∴或．16.（本小題共分）袋子里有完全相同的只紅球和只黑球，今從袋子里隨機取球．（Ⅰ）若有放回地取次,每次取一個球，求取出個紅球個黑球的概率．（Ⅱ）若無放回地取次，每次取一個球，若取出每只紅球得分，取出每只黑球得分，求得分的分布列和數學期望．【答案】（1）（2)【解析】試題分析：（1）由題可先算出取出紅球和黑球的概率，再求取3次2個紅球1個黑球的概率，可知為獨立重復試驗(有放回），運用獨立重復試驗的概率公式可求；（注意規范解題格式）(2）由題意（無放回），先分析出的可能取值，再分別求出對應的概率，可列出分布列（為超幾何分布)，代入期望公式可得。試題解析:（1）從袋子里有放回地取3次球,相當于做了3次獨立重復試驗，每次試驗取出紅球的概率為，取出黑球的概率為,設事件“取出2個紅球1個黑球"，則(2）的取值有四個：3、4、5、6，分布列為：，，，．

3

4

5

6

從而得分的數學期望．考點:（1)獨立重復試驗的概率；(2)離散型隨機變量分布列(超幾何分布）及期望。17。（本小題共分）在四棱錐中,平面,，，，．(Ⅰ）證明．（Ⅱ)求二面角的余弦值．（Ⅲ)設點為線段上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．【答案】（1）詳見解析（2)【解析】試題分析：（1)先根據條件建立空間直角坐標系,設立各點坐標,表示直線方法向量，再根據向量數量積為零進行證明（2）先利用方程組解得各面法向量，再根據向量數量積求兩法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系得二面角的余弦值；（3）根據共線關系設點坐標，利用線面角得等量關系，解方程可得的值.試題解析：以為坐標原點，建立空間直角坐標系，,，(1），，∵∴（2），，平面的法向量為，，平面的法向量為.，二面角的余弦值為。(3)∵，∴設為直線與平面所成的角，解得（舍）或.所以，即為所求.18.(本小題共分）已知函數，其中．（Ⅰ)求函數的單調區間．（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數的值．（Ⅲ）設，求在區間上的最大值．（其中為自然對數的底數)【答案】(1）減區間是和，增區間是，（2）,．（3）當時，的最大值為，當時，的最大值為．【解析】試題分析:（1)求出，令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2)直接利用切線的斜率即為切點處的導數值以及切點是直線與曲線的共同點聯立方程即可求實數的值；（3）先求出的導函數,分情三種況討論，分別利用導數研究函數在區間上的單調性,進而求得其在區間上的最大值。試題解析:（Ⅰ），，在區間和上，，在區間上，，∴的單調減區間是和，單調增區間是．（Ⅱ）設切點坐標為，則:，解得，．(Ⅲ），則，令，得，∴在區間上，為減函數，在區間上，為增函數．當,即時，在區間上，為遞增函數,∴的最大值為，當，即時，在區間上，為減函數，∴的最大值為,當,即時，的最大值為和中較大者，，解得，∴時，的最大值為,時,的最大值為．綜上所述,當時，的最大值為,當時，的最大值為．19.(本小題共分）已知，為橢圓的左,右頂點，為其右焦點，是橢圓上異于、的動點，且面積的最大值為．（Ⅰ）求橢圓的方程及離心率．（Ⅱ）直線與橢圓在點處的切線交于點，當直線繞點轉動時，試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系,并加以證明．【答案】（1)(2)詳見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的特征可得當點在點時，面積最大，即可列,由題目條件知,結合,進而求得橢圓的方程及離心率;（Ⅱ）設，由題意可設直線的方程為，可得點與中點的坐標，聯立直線與橢圓的方程得，進而表示出點的坐標，結合點，再寫出直線的方程，根據點到直線的距離等于直徑的一半，進而解得此問．試題解析：（Ⅰ）由題意可設橢圓的方程為，．由題意知解得，．故橢圓的方程為，離心率為．（Ⅱ)以為直徑的圓與直線相切．證明如下：由題意可設直線的方程為．則點坐標為，中點的坐標為．由得．設點的坐標為，則．所以,．因為點坐標為，當時，點的坐標為，點的坐標為．直線軸,此時以為直徑的圓與直線相切．當時，則直線的斜率．所以直線的方程為．點到直線的距離．又因為,所以．故以為直徑的圓與直線相切．綜上得,當直線繞點轉動時,以為直徑的圓與直線相切．考點：1．橢圓的標準方程；2．直線與橢圓的綜合問題．20.（本小題共分）若或,則稱為和的一個位排列,對于，將排列記為,將排列記為，依此類推，直至,對于排列和，它們對應位置數字相同的個數減去對應位置數字不同的數，叫做和的相關值,記作，例如，則，,若，則稱為最佳排列．(Ⅰ）寫出所有的最佳排列．（Ⅱ）證明：不存在最佳排列．（Ⅲ）若某個（是正整數)為最佳排列，求排列中的個數．【答案】詳見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）根據最佳排列的定義可得，最佳排列為、、、、、；（Ⅱ）由，可得，，，，之中有個，個，而經過奇數次數碼改變不能回到自身，所以不存在,使得；(Ⅲ）