第十三章非正弦周期電流電路和信號的頻譜§13-1非正弦周期信號§13-2非正弦周期函數分解為Fourier級數§13-3有效值、平均值和平均功率§13-4非正弦周期電流電路的計算*§13-5對稱三相電路中的高次諧波*§13-6Fourier級數的指數形式*§13-7Fourier積分簡介9/17/20231北京科技大學信息工程學院自動化系第十三章非正弦周期電流電路和信號的頻譜§13-1非正弦周§13-1非正弦周期信號1.定義2.特點(1)不是正弦波；(2)按周期規律變化不按正弦規律變化的周期信號稱為非正弦周期信號。其中，T為周期函數f(t)的周期，k=1,2,···。9/17/20232北京科技大學信息工程學院自動化系§13-1非正弦周期信號1.定義2.特點(1)不是正例1：半波整流電路的輸出信號。3.舉例9/17/20233北京科技大學信息工程學院自動化系例1：半波整流電路的輸出信號。3.舉例8/5/20233北京例2：數字電路中的脈沖信號。9/17/20234北京科技大學信息工程學院自動化系例2：數字電路中的脈沖信號。8/5/20234北京科技大學信§13-2非正弦周期函數分解為Fourier級數1.Fourier級數任何滿足狄里赫利（Dirichlet）條件的函數f(t)，都可以展開成頻率為（，T是f(t)的周期）整數倍的一系列正弦量的疊加，即上式中的系數可按下列公式計算：9/17/20235北京科技大學信息工程學院自動化系§13-2非正弦周期函數分解為Fourier級數1.Fou這種將一個周期函數展開（或分解）為一系列諧波之和（即Fourier級數）的方法稱為諧波分析。

9/17/20236北京科技大學信息工程學院自動化系這種將一個周期函數展開（或分解）為一系列諧波不難得出上述兩種形式系數之間有如下關系：還可合并成另一種形式：9/17/20237北京科技大學信息工程學院自動化系不難得出上述兩種形式系數之間有如下關系：

（1）在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點；

（2）在一個周期內只有有限個極值點;

當x是f(x)的連續點時，級數收斂于f(x)；

當x是f(x)的間斷點時，級數收斂于

Dirichlet條件：設f(x)是周期為T的周期函數，如果它滿足：則f(x)的Fourier級數收斂，并且有：

（3）在一個周期內絕對可積，即返回9/17/20238北京科技大學信息工程學院自動化系（1）在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點2.利用函數的對稱性確定Fourier級數的系數（2）偶函數－T/2tT/2f(t)（3）奇諧波函數tf(t)T/2T－T/2tT/2f(t)（1）奇函數9/17/20239北京科技大學信息工程學院自動化系2.利用函數的對稱性確定Fourier級數的系數（2）偶函例：試判斷下圖所示波形展開式的特點。f(t)是奇函數，故展開式中只含有正弦分量。f(t)=解:又由于f(t)是奇諧波函數，所以展開式中只含有奇次諧波分量。綜上所述，f(t)的展開式應具有以下形式：f(t)0tT9/17/202310北京科技大學信息工程學院自動化系例：試判斷下圖所示波形展開式的特點。f(t)是奇函數，故展開3.頻譜為了表示一個周期函數分解為Fourier級數后包含哪些頻率分量以及各分量所占“比重”，用長度與各次諧波振幅大小相對應的線段，按頻率高低順序把它們依次排列起來，可以得到如下圖形，這種圖形稱為f(t)的頻譜（圖）。由于這種頻譜只表示各諧波分量的振幅，所以稱之為幅度頻譜。由于各頻譜的角頻率是的整數倍，所以這種頻譜是離散的，有時又稱為線頻譜。9/17/202311北京科技大學信息工程學院自動化系3.頻譜為了表示一個周期函數分解為Four例：試將如下周期性方波信號分解為Fourier級數并畫出其頻譜圖。圖示方波電流在一個周期內的表達式為：4.舉例tT/2T9/17/202312北京科技大學信息工程學院自動化系例：試將如下周期性方波信號分解為Fourier級數并畫出其頻直流分量：諧波分量：解：k為奇數k為偶數9/17/202313北京科技大學信息工程學院自動化系直流分量：諧波分量：解：k為奇數k為偶數8/5/2023的展開式為：的頻譜圖為：（k為奇數）由于9/17/202314北京科技大學信息工程學院自動化系的展開式為：的頻譜圖為：（k為奇數）由于8/5/2023基波直流分量三次諧波五次諧波七次諧波周期性方波波形分解示意圖：9/17/202315北京科技大學信息工程學院自動化系基波直流分量三次諧波五次諧波七次諧波周期性方波波形分解示意圖基波直流分量直流分量+基波直流分量+基波+三次諧波三次諧波9/17/202316北京科技大學信息工程學院自動化系基波直流分量直流分量+基波直流分量+基波+三次諧波三次諧波8tT/2TIS0IS0等效電源9/17/202317北京科技大學信息工程學院自動化系tT/2TIS0IS0等效電源8/5/202317北京科技大5.說明

(1)Fourier級數是一個無窮級數，因此把一個非正弦周期函數分解為Fourier級數后，從理論上講，必須取無窮多項方能準確地代表原有函數；但如果級數收斂很快，只取級數的前面幾項也就夠了，一般5次以上諧波可以略去；(2)教材P322表13-1給出了幾個典型周期函數的Fourier級數展開式。從式中可以看出，函數的波形越光滑和越接近于正弦波，其展開級數收斂得越快。9/17/202318北京科技大學信息工程學院自動化系5.說明(1)Fourier級數是一個無窮§13-3有效值、平均值和平均功率1.非正弦周期函數的有效值若則其有效值:上式中i的展開式平方并積分后將含有下列各項9/17/202319北京科技大學信息工程學院自動化系§13-3有效值、平均值和平均功率1.非正弦周期函數的有周期函數的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和的平方根。這樣可以求得i的有效值為9/17/202320北京科技大學信息工程學院自動化系周期函數的有效值為直流分量及各次諧波分量有效值平方和2.非正弦周期函數的平均值則其平均值為：若即非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對值的平均值。按上式可求得正弦電流的平均值為9/17/202321北京科技大學信息工程學院自動化系2.非正弦周期函數的平均值則其平均值為：若即非正弦周期電上式相當于正弦電流經全波整流后的平均值，這是因為取電流的絕對值相當于把負半周的值變成了對應的正值。9/17/202322北京科技大學信息工程學院自動化系上式相當于正弦電流經全波整流后的平均值，這是例：計算下圖所示矩形波信號的有效值和平均值。解：有效值為==5A平均值為=2.5AOti(A)T/4T109/17/202323北京科技大學信息工程學院自動化系例：計算下圖所示矩形波信號的有效值和平均值。解：有效值為==3.非正弦周期電流電路的平均功率利用三角函數的正交性，得：平均功率＝直流分量的功率＋各次諧波的平均功率9/17/202324北京科技大學信息工程學院自動化系3.非正弦周期電流電路的平均功率利用三角函數的正交性，得例：已知一端口的電壓和電流，求電壓和電流的有效值和一端口的平均功率。解：電壓的有效值U=×電流的有效值9/17/202325北京科技大學信息工程學院自動化系例：已知一端口的電壓和電流，求電壓和電流的有效值和一端口的平平均功率P=10×2+20×3+30×4+40×5×P=10×2+20×3cos60o+30×4cos(-41o)+40×5cos30o××9/17/202326北京科技大學信息工程學院自動化系平均功率P=10×2+20×3+30×4+40ק

13-4非正弦周期電流電路的計算1.計算步驟（3）利用正弦交流電路的計算方法，對各諧波信號分別應用相量法進行計算，并把計算結果轉換為時域形式（注意：對應于各交流諧波分量的XL、XC有所不同）；（1）利用Fourier級數，將非正弦周期函數展開成直流分量和多種頻率諧波信號的和；（4）應用疊加原理，求出所需的電路響應。（2）應用直流電路的分析方法，計算在直流分量激勵下系統的響應；9/17/202327北京科技大學信息工程學院自動化系§13-4非正弦周期電流電路的計算1.計算步驟（32.舉例RLCtT/2T例1：已知iS為方波信號，，；，，，求圖中所示電壓u

。9/17/202328北京科技大學信息工程學院自動化系2.舉例RLCtT/2T例1：已知iS為方波信號，解：（1）已知方波信號的展開式為：代入已知數據：得直流分量9/17/202329北京科技大學信息工程學院自動化系解：（1）已知方波信號的展開式為：代入已知數據：得直流分量8基波最大值五次諧波最大值角頻率三次諧波最大值電流源各頻率的諧波分量為：9/17/202330北京科技大學信息工程學院自動化系基波最大值五次諧波最大值角頻率三次諧波最大值電流源各頻率的（2）對直流分量和各種頻率的諧波分量單獨進行計算RIS0U0由于電容斷路，電感短路，所以有①直流分量

IS0

作用9/17/202331北京科技大學信息工程學院自動化系（2）對直流分量和各種頻率的諧波分量單獨進行計算RIS0U②基波作用RLC由于XL1>>R9/17/202332北京科技大學信息工程學院自動化系②基波作用RLC由于XL1>>R8/5/202332北京科③三次諧波作用9/17/202333北京科技大學信息工程學院自動化系③三次諧波作用8/5/202333北京科技大學信息工程學院自④五次諧波作用9/17/202334北京科技大學信息工程學院自動化系④五次諧波作用8/5/202334北京科技大學信息工程學院自(3)將直流響應和各諧波分量計算結果瞬時值進行疊加9/17/202335北京科技大學信息工程學院自動化系(3)將直流響應和各諧波分量計算結果瞬時值進行疊加8/5/注意：（1）該方法僅適用于線性電路；

（2）把表示不同頻率正弦電流的相量直接相加是沒有意義的。V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

abcdA3A2V2V1A1例2：已知求圖示電路中各表讀數（有效值）。9/17/202336北京科技大學信息工程學院自動化系注意：（1）該方法僅適用于線性電路；（解：(1)U0=30V作用于電路時，L1、L2短路，C1、C2開路。IC10=0,I0=IL20=U0/R=30/30=1A,Uad0=Ucb0=U0=30VL1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30

abcdiiC1iL2L1C1C2L2U0+_30

abcdI0IC10IL209/17/202337北京科技大學信息工程學院自動化系解：(1)U0=30V作用于電路時，L1、L2短路，(2)u1=120cos1000tV作用時L1、C1

發生了并聯諧振。+_30

abcdj40

j40

j40

j10

9/17/202338北京科技大學信息工程學院自動化系(2)u1=120cos1000tV作用時L1、C1發補充內容：

RLC并聯諧振電路（教材P290）1.并聯諧振的定義G如果端口上的電壓與電流同相，則稱電路發生了諧振。由于是在GLC并聯電路中發生的，故稱為并聯諧振。9/17/202339北京科技大學信息工程學院自動化系補充內容：RLC并聯諧振電路（教材P290）1.并聯諧2.并聯諧振的條件該頻率也稱為電路的固有頻率，它是由電路的結構和參數決定的。因為，