學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精北京四中2017—2018學年上學期高中一年級期中考試數學試卷試卷分為兩卷，卷(Ⅰ）100分,卷（Ⅱ）50分，共計150分考試時間:120分鐘卷(Ⅰ）一、選擇題:（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1。設集合A=｛1，2，6｝，B=｛2，4},則A∪B=A.｛2｝B.{1，2，4}C。{1，2，4,6｝D。｛2，4｝【答案】C【解析】集合，故選C。2.函數y=的定義域為A.（—2,2）B.（—∞,—2)∪（2,+∞)C.[-2，2］D.（-∞，—2］∪[2,+∞）【答案】A【解析】要使函數有意義，則有，解得,即定義域為，故選A。3.=A.14B。—14C。12D。—12【答案】B【解析】，故選B。4。若函數f(x）=，則方程f（x）=1的解是A.或2B.或3C.或4D。±或4【答案】C5.若函數f（x）=x,則函數y=f(—2x)在其定義域上是A.單調遞增的偶函數B.單調遞增的奇函數C.單調遞減的偶函數D。單調遞減的奇函數【答案】D【解析】,為奇函數，又為增函數，為減函數，故選D。6。若，b=，c=,則a，b，c的大小關系是A。a〈b<cB.c〈b〈aC.b<a<cD。c〈a<b【答案】B【解析】由對數函數的性質，可得,，故選B.【方法點睛】本題主要考查對數函數的性質、指數函數的單調性及比較大小問題，屬于中檔題。解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數值所在區間（一般是看三個區間)；二是利用函數的單調性直接解答；數值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應用.7.函數的單調遞增區間是A.(—∞，2］B。［2，+∞)C。[1，2］D.[1，3]【答案】A【解析】令為增函數,的增區間就是的增區間，故選A.8。李老師騎自行車上班，最初以某一速度勻速行進，中途由于自行車發生故障,停下修車耽誤了幾分鐘，為了按時到校，李老師加快了速度，仍保持勻速行進，結果準時到校,在課堂上,李老師請學生畫出自行車行進路程s（千米）與行進時間x(秒）的函數圖象的示意圖,你認為正確的是A。B。C。D。【答案】C【解析】最初以某一速度勻速行進，這一段路程是時間的正比例函數；中途甶于自行車故障，停下修車耽誤了幾分祌，這一段時間變大，路程不變，因而選項一定錯誤,第三階段李老師加快了速度，仍保持勻速行進，結果準時到校，這一段,路程隨時間的增大而增大，因而選項,一定錯誤；這一段時間中,速度要大于開始時的速度，即單位時間內路程變化大，直線的傾斜角要大，故選C。【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數的圖象與性質、閱讀能力以及解決實際問題的能力，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.9.已知,則f（5）=A。B.C.D.lg5【答案】D【解析】令，,故選D.10。某同學在研究函數（x∈Ｒ）時，分別給出下面幾個結論:①函數f（x）是奇函數；②函數f（x）的值域為（-1,1)；③函數f（x)在Ｒ上是增函數；其中正確結論的序號是A。①②B.①③C。②③D。①②③【答案】D【解析】函數的定義域是實數集,函數是奇函數，故①正確；，故②正確；函數在上可化為，奇函數在上是增函數，在其定義域內是增函數，故③正確，故選D。【方法點睛】本題主要通過對多個命題真假的判斷，主要綜合考查函數的單調性、函數的奇偶性、函數值域，屬于難題。這種題型綜合性較強,也是高考的命題熱點，同學們往往因為某一處知識點掌握不好而導致“全盤皆輸"，因此做這類題目更要細心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經掌握的知識點入手，然后集中精力突破較難的命題.二、填空題：(本大題共6小題,每小題4分,共24分）11.若集合A=［0，2]，集合B=[1，5］，則A∩B=_________。【答案】[1，2］【解析】集合，集合根據集合交集的定義，可得,故答案為。12.函數y=2—4的零點是_________.【答案】2【解析】令，得，即函數的零點是，故答案為。13。函數f（x）=（x∈[1，2］)的值域為______________。【答案】［0，1］【解析】，函數的值域是，故答案為.14。函數f（x）=3x—1，若f[g（x）]=2x+3,則一次函數g（x）=______________.【答案】【解析】，，，故答案為。15.若函數f（x）=的反函數的圖象過點(2,-1），則a=_______.【答案】【解析】的反函數圖象過的圖象過，即,故答案為。16.若函數是奇函數，則使f（x）>3成立的x的取值范圍是_______.【答案】（0，1)【解析】函數為奇函數，則：，解得:a＝1.則，由,得x∈（0，1）．三、解答題(本大題共3小題，共26分）17.已知：函數f（x）=（x-2）(x+a）（a∈Ｒ），f(x)的圖象關于直線x=1對稱。（Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求f（x）在區間[0，3]上的最小值。【答案】(1）a=0（2)=—1【解析】試題分析：（I)化簡，先求出函數的對稱軸，得到,解出即可；（II)先求出函數的對稱軸，通過判斷對稱軸的位置,結合二次函數的單調性，從而得到答案。試題解析:,（Ⅰ）函數f(x）圖象的對稱軸為x==1，則a=0;（Ⅱ)由（Ⅰ）得，因為x=1∈[0,3］，所以=f（1）=—1。18.某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券類穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票類風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比，已知兩類產品各投資1萬元時的收益分別為0。125萬元和0.5萬元,如圖：（Ⅰ）分別寫出兩類產品的收益y（萬元）與投資額x(萬元）的函數關系；（Ⅱ）該家庭有20萬元資金,全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益,最大收益是多少萬元？【答案】(1）y=0。125x,y=0.5，（2)投資債券類穩健型產品16萬元，投資股票類風險型產品4萬元，此時受益最大為3萬元。【解析】試題分析：（1)根據題意，得，，代入點的坐標，求的的值,即可可得到兩種產品的收益與投資的函數關系；（2)投資債券類產品萬元，則股票類投資為萬元，令，換元利用二次函數的性質,即可求解其最大收益．試題解析：（1），，,，（2)設：投資債券類產品萬元,則股票類投資為萬元．令，則所以當,即萬元時,收益最大，萬元．考點：函數的實際應用問題．19。已知：函數f（x）=（a>0且a≠1）。（Ⅰ)求函數f（x）的定義域;(Ⅱ）判斷函數f（x）的奇偶性，并加以證明；(Ⅲ）設a=,解不等式f（x)〉0。【答案】（1)（-1，1）；（2）見解析；(3){x｜-1〈x〈0}【解析】試題分析：（I）根據對數函數有意義可知真數要大于0,列不等式組，解之即可求出函數的定義域；(Ⅱ)根據函數的奇偶性的定義進行判定,計箄與的關系，從而確定函數的奇偶性；（Ⅲ）將代入，根據函數的定義域和函數的單調性列不等式組，解之即可求出的范圍.試題解析：（Ⅰ）由題知：,解得：—1〈x〈1,所以函數f(x）的定義域為（-1,1）；（Ⅱ)奇函數,證明：因為函數f（x)的定義域為（—1，1）,所以對任意x∈（—1，1),f（-x)===—f（x）所以函數f（x)是奇函數;（Ⅲ）由題知：即有,解得：-1<x〈0，所以不等式f（x）〉0的解集為{x｜-1<x〈0}。【方法點睛】本題主要考查函數的定義域、奇偶性及函數的單調性，屬于中檔題。判斷函數的奇偶性首先要看函數的定義域是否關于原點對稱，如果不對稱，既不是奇函數又不是偶函數，如果對稱常見方法有：（1）直接法，（正為偶函數，負為減函數）;（2）和差法，(和為零奇函數，差為零偶函數）；（3）作商法,（為偶函數，為奇函數）。卷（Ⅱ）20。設集合A=，B=｛x|x—2=0｝，則=A。B。C。D。【答案】D【解析】且，故選D.21。已知函數f（x）=，則滿足f（x）〈0的x的取值范圍是A。（—∞，0)B。（0，+∞)C。(—∞，—1）D。（—1，+∞)【答案】C【解析】，，故選C。22.下表是某次測量中兩個變量x,y的一組數據，若將y表示為關于x的函數，則最可能的函數模型是x23456789y0.631.011.261。461。631。771.891。99A.一次函數模型B。二次函數模型C。指數函數模型D.對數函數模型【答案】D【解析】對于，由于均勻增加，而值不是均勻遞增，不是一次函數模型；對于，由于該函數是單調遞增，不是二次函數模型；對于,過不是指數函數模型，故選D。23。用二分法求方程的一個近似解時，已知確定有根區間為(0，1），則下一步可確定這個根所在的區間為_________.【答案】【解析】設，函數零點在下一步可確定方程的根在，故答案為.24。已知函數f(x）是定義在Ｒ上的偶函數，當x≥0時，f（x）=，如果函數g（x）=f（x)—m恰有4個零點，則實數m的取值范圍是________。【答案】0〈m<1【解析】函數恰有個零點等價于函數與恰有個交點,作函數與的圖象如圖，由圖知,函數與恰有個交點時的取值范圍是,故答案為.【方法點睛】函數零點個數的三種判斷方法：（1)直接求零點：令，如果能求出解,則有幾個解就有幾個零點；（2)零點存在性定理：利用定理不僅要求函數在區間上是連續不斷的曲線,且，還必須結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點；(3）利用圖象交點的個數：畫出兩個函數的圖象，看其交點的個數，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點。25.函數f（x）=（a〉0且a≠1）在區間［0，1]上的最大值與最小值之和為a，則a的值是___________.【答案】【解析】試題分析：當時,函數是增函數，最大值和最小值的和是，解得，舍去，當時，函數是，最大值和最小值的和同樣是,解得考點：1．指對函數的單調性；2．指對函數的最值．26。已知函數f（x）=，若f（1-x）=f（1+x)，且f（0）=3。（Ⅰ)求b，c的值；（Ⅱ）試比較(m∈Ｒ)的大小。【答案】（1)b=2,c=3（2）當m>0時，f（2）〈f（3）。當m=0時，f（2）=f（3).當m〈0時，f（2）〉f（3）【解析】試題分析：（I）利用已知，求出的值;利用,得到為圖象的對稱軸,從而求出的值；（II）通過對的分類討論得到與的大小關系以及與對稱軸的大小關系,利用二次函數的單調性可得到與的大小關系.試題解析：（Ⅰ）由已知,二次函數的對稱軸x==1，解得b=2，又f(0）=c=3，綜上,b=2，c=3；（Ⅱ)由（Ⅰ）知，f（x）=x-2x+3，所以，f(x）在區間（-∞,1）單調遞減,在區間(1，+∞）單調遞增.當m〉0時,3〉2〉1，所以f(2）〈f（3）。當m=0時，3=2=1，所以f（2）=f（3）。當m〈0時，3<2〈1，所以f（2)>f（3）【方法點睛】本題主要考查二次函數的解析式和單調性、分類討論思想的應用.屬于中檔題.分類討論思想解決高中數學問題的一種重要思想方法，是中學數學四種重要的數學思想之一，尤其在解決含參數問題發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度。運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透,這樣才能快速找準突破點。充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用與解題當中.27。集合A是由滿足以下性質的函數f（x）組成的：對于任意x≥0,f（x)∈[-2,4]且f（x）在［0,+∞）上是增函數.（Ⅰ）試判斷與（x≥0）是否屬于集合A,并說明理由；（Ⅱ)對于(Ⅰ）中你認為屬于集合A的函數f(x)，證明：對于任意的x≥0，都有f（x）+f（x+2)<2f（x+1)。【答案】（1），（2)見解析.【解析】試題分析：（I）由已知可得函數的值域,從而可得,對于，只要分別判斷函數定義域是否滿足條件①，值域是否滿足條件②，單調性是否滿足條件③，即可得答案；（II）由(