基于導重法的拓撲優化問題研究

0拓撲優化的設置方法自1988年以來，bend市政委員會提出了一種解算方法以來，管道優化已成為最受爭議的結構優化領域的研究主題。許多學者投入到該領域進行研究并取得了杰出的成果。澳大利亞學者XIE等于1993年提出了廣受關注的漸進結構優化法(Evolutionarystructuraloptimization,ESO)。而當BENDSOE等在1997年闡釋了不同的材料插值方法的物理意義后,變密度法便成為一種在工程領域應用廣泛的方法。國內學者隋允康等提出的獨立連續映射方法(Independentcontinuousmapping,ICM)在拓撲優化應用中時也取得了很好的效果。此外,水平集法也是一種正在逐步發展完善的方法。均勻化方法、變密度法、ESO方法、ICM方法以及水平集法都是拓撲優化的建模方法,拓撲優化研究的另一方面是拓撲優化問題的求解方法。求解方法一般分為兩類:一類為優化準則法,一類為數學規劃法。左孔天等研究了使用準則法求解基于人工材料密度的拓撲優化問題,通過詳盡推導和深入分析全面展示了準則法的優缺點。文獻[11-12]分別應用數學規劃法中的移動漸進線方法(Methodofmovingasymptotes,MMA)和混合的MMA-MGCMMA方法來求解拓撲優化問題,顯示出數學規劃法對單工況和多工況問題都能適用的能力及良好的收斂性。通常來說,優化準則法的求解效率對設計變量的增加不敏感,優化速度較快。但是對不同的問題,優化準則法需要構建不同的準則,這使得此類方法的通用性大大降低。數學規劃法的通用性較強,能夠應用于不同的優化問題,但是其迭代次數多,求解效率不高。針對優化準則法和數學規劃法的上述不足,本文引入導重法來求解拓撲優化問題。導重法是陳樹勛等于20世紀80年代提出的一種結構優化方法,主要用于天線結構的優化設計上,對天線結構做尺寸優化,取得了較好的效果。該方法克服了一般的準則法針對不同的優化問題需要構建不同的優化準則的缺點,同時也克服了數學規劃法迭代次數多、求解效率不高的缺點,具有廣泛的適用性和較高的求解效率。鑒于此,本文引入導重法來求解拓撲優化問題,以期能對拓撲優化問題達到簡單高效的求解。1拉格朗日方程關于導重法更詳細的內容可參閱文獻[13-14],本節僅做簡單介紹。通常,單工況的結構優化問題可以寫為以下形式式中X——N維設計變量f(X),g(X)——目標函數和約束函數,它們可以是質量、強度、精度、安全度、諧振頻率、位移、應力等反映結構特性和靜動力學性能的量xiL,xiU——設計變量ix的上下約束限為求解該優化問題,首先構造拉格朗日方程式中,λ為拉格朗日乘子?；趲於鳌獥l件,在最優值X*處必須滿足結構優化問題可以分為兩類:(1)在質量約束下求結構的最優性能;(2)在性能約束下求結構的最小質量。下面就分兩種情況討論。1.1結構最優性能問題的導重法迭代準則在此類問題中,f(X)是表征結構性能的量,g(X)是結構質量或者體積等表征結構材料多少的量。根據式(4),令式中Hi——xi的堆密度Wi——xi的等效質量G——總導重將式(5)、(7)代入式(4)得式(9)即為導重法的迭代準則,在迭代時將其寫為為保證迭代收斂,引入一個步長因子α,并考慮設計變量的上下限得式(11)為質量約束下求結構最優性能問題的導重法迭代式。下面需要求拉格朗日乘子λ。根據式(9),在最優值X*處有即效總質量,故每次迭代時,可令式中,0W為結構材料用量的約束限,例如質量或體積約束。根據式(11)、(14),質量約束下求結構最優性能的優化問題便可求解。1.2性能約束下的乘子法在此類問題中,f(X)是結構質量或者體積等表征結構材料多少的量,g(X)是表征結構性能的量。根據式(4),令將式(15)、(17)代入式(4)得在迭代時將其寫為為保證迭代收斂,引入一個步長因子α,并考慮設計變量的上下限得式(21)為性能約束下求結構最小質量問題的導重法迭代式。下面需要求拉格朗日乘子λ。根據式(19),在最優值X*處有即故每次迭代時可令式中,0G為結構性能的約束限。根據式(21)、(24),性能約束下求結構最小質量的優化問題便可求解。由上面的推導過程可以看出,導重法的迭代準則是基于庫恩—塔克條件構造的,導重為設計變量與表征結構性能的量的敏度的負乘積,堆密度為表征結構材料用量的量的敏度,而每次迭代設計變量與導重成正比,與堆密度成反比。對不同的優化問題,該準則都是適用的,并且最終的迭代公式也很簡單。2采用導重法求解化工原因單工況的拓撲優化問題可以按兩種方式建立優化模型:(1)在質量約束下求最小柔度;(2)在位移約束下求最小質量。本節討論用導重法求解質量約束下的最小柔度問題。本文采用SIMP方法建立拓撲優化的材料插值模型,故質量約束下求最小柔度的拓撲優化問題可寫為式中ρi——第i個有限元的相對密度ρmin——設計變量的取值下限N——有限元的數量m——結構質量m0——結構初始質量f——約束因子求解該優化問題關鍵在于求出柔度C和質量m相對于設計變量ρ的顯式表達式。柔度可以寫為式中F——載荷矢量U——位移矢量k——總體剛度矩陣ui——第i個單元的位移矢量ki——第i個單元的剛度矩陣根據SIMP方法,有式中kio——第i個單元的初始剛度矩陣p——SIMP方法的懲罰因子又有忽略載荷矢量F隨設計變量ρ的變化,得由kU=F可得將式(31)代入式(30)得質量m可用式(33)表達式中,iv為第i個單元的體積。由式(33)得則根據導重法,依式(5)~(8),定義則根據式(11)可得迭代式λ由式(14)得則根據式(39)、(40),優化問題可得解。下面根據上述方法計算兩個算例。兩個算例如圖1和圖2所示。設計域都為0.2m×0.1m的矩形,圖1中設計域的左端被約束,右端中點受豎直向下的拉力p=1000N;圖2中設計域的上部左右兩端點被約束,下端中點受豎直向下的拉力p=1000N。兩個算例中都去除材料70%,即約束因子f=0.3,其他的參數見下表所示。圖3和圖5分別顯示了兩個算例的迭代過程,可以看出,用導重法求解最小柔度的拓撲優化問題可以達到比較快的收斂速度。圖4和圖6分別顯示了兩個算例的拓撲優化圖像。在畫拓撲優化圖像時,根據單元相對密度ρ的值賦給該單元顏色灰度值,ρ越大,顏色越黑,ρ越小,顏色越白。從圖4、6可以看出,雖然得出的圖像有些部分灰度值不均勻,但已經完全反映出了最優的拓撲結構。3位移矢量的拓撲優化位移約束下求最小質量的拓撲優化問題可寫為式中u——位移u0——位移的約束限為求解此優化問題,需要將質量m和位移u寫成設計變量ρ的顯式表達式。質量m及其敏度關于設計變量ρ的顯式表達式如式(33)和式(34)所示。對于位移u,根據kU=F可知在方程兩邊同乘vF可得式中,vF為虛載荷矢量,它與位移u相應的那一項值為1,其他項的值為0。因為k-1對稱,所以式(43)又可以寫為令式中,vU可以被認為是方程kvU=vF的解,即結構在虛載荷vF的作用下的位移。這樣式(44)可以寫為將式(27)代入式(46)得式中,vui為vU中第i個單元的位移矢量。式(47)就是位移u的顯式表達式,接下來求u的敏度。根據式(31)可得兩邊同乘以vF得將式(27)代入式(49)得這樣,根據導重法,依式(15)~(18),定義則根據式(21)可得迭代式λ由式(24)得則根據式(55)和式(56),優化問題可得解。下面根據上述方法計算圖1和2中的兩個算例。兩個算例中受到載荷都為p=1000N,位移約束限u0=0.0001m,其他的參數如上表所示。圖7和圖9分別顯示了兩個算例的迭代過程,圖8和圖10分別顯示了兩個算例的拓撲優化結果。從圖7~10可以看出,用導重法求解最小質量的拓撲優化問題也可以達到比較快的收斂速度,并得到較好的拓撲優化結果。4在anasas中的應用采用ANSYS的拓撲優化功能對算例1進行了計算,以與導重法的計算結果進行對比分析。在ANSYS中計算拓撲優化問題,既可以按照最小柔度問題建模,也可以按照最小質量問題建模。在求解時ANSYS提供了優化準則法(Optimalitycriteria,OC)和序列凸規劃法(Sequentialconvexprogrmming,SCP)兩種方法。圖11是在ANSYS中按最小柔度問題建模并采用OC方法求解的迭代過程,圖12是按最小柔度問題建模并采用SCP方法求解的迭代過程,圖13是按最小質量問題建模并采用SCP方法求解的迭代過程。比較圖3與圖11可以看出,按最小柔度問題建模求解,導重法與OC方法的求解效率差不多。但是考慮到OC方法不能求解最小質量問題,導重法在適用范圍上顯然比OC方法更具優勢。比較圖3與圖12、圖7與圖13可以看出,不管是求解最小柔度問題還是求解最小質量問題,導重法的求解效率都比SCP方法高。因此,通過上述比較可以得出,導重法相比于OC方法和SCP方法在適用范圍和求解效率上都具有更大的優勢