遼寧省本溪市本鋼工學(xué)院附屬中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)定點F1（0，－2）、F2（0，2），動點P滿足條件，則點P的軌跡是（

） A．橢圓

B．線段

C．不存在

D．橢圓或線段參考答案：D略2.全國高中聯(lián)賽設(shè)有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息5個學(xué)科，3名同學(xué)欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學(xué)科參加競賽，則不同的報名種數(shù)是（

）A. B.

C.

D.參考答案：C3.從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】古典概型及其概率計算公式．【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲被選中包含的基本事件的個數(shù)，同此能求出甲被選中的概率．【解答】解：從甲、乙等5名學(xué)生中隨機選出2人，基本事件總數(shù)n==10，甲被選中包含的基本事件的個數(shù)m==4，∴甲被選中的概率p===．故選：B．4.已知雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.將邊長為3的正方體,分別以八個頂點為頂點,各截去一個三條棱均為1的正三棱錐,則所剩幾何體的表面積為

(

)A.42

B.

C.

D.參考答案：B6.一個長方體，其正視圖面積為，側(cè)視圖面積為，俯視圖面積為，則長方體的外接球的表面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.命題“”的否定A.

B.C.

D.參考答案：A8.已知函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值為a，則拋物線的準線方程是（

）A.x=－3 B.x=－6 C.x=－9 D.x=－12參考答案：B【分析】由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求得，化簡拋物線的方程，即可求解拋物線的準線方程，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，所以，所以拋物線化為標準方程，其準線方程是.故選B.【點睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和拋物線的幾何性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.9.以下給出的是計算的值的一個程序框圖（如圖所示），其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）A．i>10

B．i<10

C．i<20

D．I>20參考答案：A10.已知圓，過點作圓C的切線，其中一個切點為B，則的長度為（

）A. B.5 C. D.4參考答案：A【分析】由已知可求得圓的標準方程為，即可求得其半徑為，圓心為，依據(jù)題意作出圖象，由勾股定理列方程即可得解。【詳解】由得：，所以該圓的半徑為，圓心為，依據(jù)題意作出圖象如下：為直線與圓的切點所以故選：A【點睛】本題主要考查了圓的切線性質(zhì)，還考查了兩點距離公式及勾股定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于較易題。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知等比數(shù)列各項均為正數(shù),前項和為，若，．則_______.參考答案：31略12.已知平行四邊形ABCD的四個頂點均在雙曲線上，O為坐標原點，E，F(xiàn)為線段AB，AD的中點且OE，OF的斜率之積為3，則雙曲線C的離心率為

.參考答案：2由雙曲線的對稱性知O是平行四邊形ABCD對角線的交點，∴OE//AD，OF//AB，∴，設(shè)，則，設(shè)，則，∴，，故答案為2．

13.設(shè)命題p：，命題q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：[0，]【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】先求出命題p，q的等價條件，利用p是q的充分不必要條件，確定實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由，得（2x﹣1）（x﹣1）＜0，解得，所以p：．由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得[x﹣（a+1）]（x﹣a）≤0，即a≤x≤a+1，即q：a≤x≤a+1，要使p是q的充分不必要條件，則，解得所以a的取值范圍是[0，]，故答案為：[0，]．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，利用分數(shù)不等式和一元二次不等式的解法求出對應(yīng)的解是解決本題的關(guān)鍵．14.已知，則為____▲____.參考答案：-1略15.已知集合，則A∩B=_______．參考答案：{－1}【分析】由可得集合是奇數(shù)集，由此可以得出結(jié)果.【詳解】解：因為所以集合中的元素為奇數(shù)，所以.【點睛】本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.16.若，其中、，是虛數(shù)單位，則參考答案：5

略17.如果一個四面體的三個面是直角三角形，那么，第四個面可能是：①直角三角形；②銳角三角形；③鈍角三角形；④等腰三角形；⑤等腰直角三角形；⑥等邊三角形。請寫出你認為正確的序號_______.參考答案：①②③④⑤⑥三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某羊皮手套生產(chǎn)廠計劃投入適當?shù)膹V告費，對生產(chǎn)的手套進行促銷.在一年內(nèi)，據(jù)測算銷售量（萬雙）與廣告費（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系是.已知羊皮手套的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬雙羊皮手套仍需再投入25萬元.（年銷售收入=年生產(chǎn)成本的120%+年廣告費的50%）.（I）將羊皮手套的年利潤（萬元）表示為年廣告費

(萬元)的函數(shù)；（II）當年廣告費投入為多少萬元時，此廠的年利潤最大，最大利潤為多少？（年利潤=年銷售收入年生產(chǎn)成本年廣告費）.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，）參考答案：解：（I）由題意知，羊皮手套的年生產(chǎn)成本為（）萬元，年銷售收入為，年利潤為，即.

…………………4分又，所以.

………………6分（II）由

…….8分.

………9分當且僅當，即時，有最大值21.73.

…………12分因此，當年廣告費投入約為4.47萬元時，此廠的年利潤最大，最大年利潤約為21.73萬元.………………………..13分略19.（12分）2014年“五一節(jié)”期間，高速公路車輛較多，交警部門通過路面監(jiān)控裝置抽樣調(diào)查某一山區(qū)路段汽車行駛速度，采用的方法是：按到達監(jiān)控點先后順序，每隔50輛抽取一輛，總共抽取120輛，分別記下其行車速度，將行車速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如圖所示的頻率分布直方圖，據(jù)圖解答下列問題：（Ⅰ）求a的值，并說明交警部門采用的是什么抽樣方法？（Ⅱ）求這120輛車行駛速度的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值（精確到0.1）；（Ⅲ）若該路段的車速達到或超過90km/h即視為超速行駛，試根據(jù)樣本估計該路段車輛超速行駛的概率．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式；收集數(shù)據(jù)的方法；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】（I）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形的面積和為1求得a值，根據(jù)相同抽樣方法的特征判斷其抽樣方法；（II）根據(jù)眾數(shù)是最高矩形底邊中點的橫坐標求眾數(shù)；根據(jù)中位數(shù)是從左數(shù)小矩形面積和為0.5的矩形底邊上點的橫坐標求中位數(shù)；（III）利用直方圖求出樣本中車速在[90，95）頻數(shù)，利用個數(shù)比求超速車輛的概率．【解答】解：（I）由頻率分布直方圖知：（a+0.05+0.04+0.02+0.02+0.005+0.005）×5=1，∴a=0.06，該抽樣方法是系統(tǒng)抽樣；（II）根據(jù)眾數(shù)是最高矩形底邊中點的橫坐標，∴眾數(shù)為77.5；∵前三個小矩形的面積和為0.005×5+0.020×5+0.040×5=0.325，第四個小矩形的面積為0.06×5=0.3，∴中位數(shù)在第四組，設(shè)中位數(shù)為75+x，則0.325+0.06×x=0.5?x≈2.9，∴數(shù)據(jù)的中位數(shù)為77.9；（III）樣本中車速在[90，95）有0.005×5×120=3（輛），∴估計該路段車輛超速的概率P==．【點評】本題考查了由樣本估計總體的思想，考查了由頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)，考查了古典概型的概率計算，是概率統(tǒng)計的常見題型，解答要細心．20.如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點將沿AD折到位置(如圖2)，連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個四棱錐P-ABCD．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD．①求二面角的大小；②在棱PC上存在點M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為45°，求的值．參考答案：（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）①120°，②或．【分析】（Ⅰ）可以通過已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；（Ⅱ）①以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可以求出相應(yīng)點的坐標，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角的大小；②求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明：（Ⅰ）在圖1中，，，為平行四邊形，，，，當沿AD折起時，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：（Ⅱ）①以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由于平面ABCD則0，，0，，1，，0，，1，1，，1，，0，，設(shè)平面PBC的法向量為y，，則，取，得0，，設(shè)平面PCD的法向量b，，則，取，得1，，設(shè)二面角的大小為，可知為鈍角，則，．二面角的大小為．②設(shè)AM與面PBC所成角為，0，，1，，，，平面PBC的法向量0，，直線AM與平面PBC所成的角為，，解得或．【點睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數(shù)量積，求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點問題.21.如圖，平行四邊形中，，正方形所在的平面和平面垂直，是的中點，是的交點.（1）求證：平面；（2）求證：平面.參考答案：證明：⑴是的交點，∴是中點，又是的中點，∴中，，

，∴，又∵∴平面

⑵平面平面，交線為，∵，∴平面，∴，又∵，∴

略22.已知橢圓M：：+=1（a＞0）的一個焦點為F（﹣1，0），左右頂點分別為A，B．經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C，D兩點．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）當直線l的傾斜角為45°時，求線段CD的長；（Ⅲ）記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程．【分析】（Ⅰ）由焦點F坐標可求c值，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系可求得a值；（Ⅱ）寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消掉y得關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理及弦長公式即可求得|CD|；（Ⅲ）當直線l不存在斜率時可得，|S1﹣S2|=0；當直線l斜率存在（顯然k≠0）時，設(shè)直線方程為y=k（x+1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立消y可得x的方程，根據(jù)韋達定理可用k表示x1+x2，x1x2，|S1﹣S2|可轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1，x2的式子，進而變?yōu)殛P(guān)于k的表達式，再用基本不等式即可求得其最大值；【解答】解：（I）因為F（﹣1，0）為橢圓的焦點，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以橢圓方程為=1；（Ⅱ）因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為1，所以直線方程為y=x+1，和橢圓方程聯(lián)立得到，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，所以△=288，x1+x2=，x1x2=﹣，所以|CD|=|x1﹣x2|=×=；（Ⅲ）當直線l無斜率時，直線方程為x=﹣1，此時D（﹣1，），C（﹣1，﹣），△ABD，△ABC面積相等，|S1﹣S2|=0，當直線l斜率存在（顯然k≠