天津理工自動化學院最優控制原理與應用

結課論文題目：基于最優控制LQR倒立擺系統的設計與仿真學院：自動化學院專業:控制科學與工程姓名：劉琳琳學號：143122305教師：陳鵬2014年11月26日單級旋轉式倒立擺系統的建模與控制仿真摘要旋轉式倒立擺系統是典型的非線性、不穩定系統。為了能夠更好地讓系統適應實際的需要，通過分析力學中的拉格朗日法建立了系統的數學模型，在MATLAB環境下設計了LQR控制器，并簡述了線性二次型最優控制器原理及設計方法，介紹了加權矩陣Q和R的一些選擇規則，研究了兩種現代控制算法在旋轉式倒立擺系統中的應用：極點配置法及LQR法，并運用MATLAB和SIMULINk工具在兩種方法下進行了仿真實驗，仿真結果表明：這兩種算法在旋轉式倒立擺系統的控制中都是可行的，而且效果令人滿意。關鍵詞：拉格朗日法MATLAB仿真狀態反饋最優控制器DesignandSimulationofoptimalcontrolofinvertedpendulumsystembasedonLQR一ModelingandcontrolsimulationofsingleinvertedpendulumsystemAbstractRotationalinvertedpendulumsystemisatypicalnonlinear,unstablesystem.Inordertobeabletobetterallowthesystemtomeettheactualneeds,thesystemmathematicalmodelisestablishedbyLagrangemethodinanalyticalmechanics,undertheenvironmentofMATLABLQRcontrollerisdesigned,andintroducestwolinearoptimalcontrollerofprincipleandmethodofdesign,introducessomeselectionrulesofweightingmatrixQandR,studiestwomoderncontrolalgorithminapplicationsysteminrotaryinverted:poleplacementmethodandLQRmethod,andthesimulationexperimentisconductedintwowaysbyusingMATLABandsimulinktools,thesimulationresultsshowthat:thecontrolofthetwokindsofalgorithmintherotaryinvertedpendulumsystemarefeasible,andtheeffectissatisfactory.Keywords：LagrangemethodMATLABsimulationstatefeedbackoptimalcontrollerTOC\o"1-5"\h\z第一章緒論11.1引言11.2倒立擺系統的控制算法1PID控制11.2.2現代控制算法21.2.3可拓控制算法2124其它智能控制算法2第二章旋轉倒立擺的系統結構及其模型32.1系統機械結構32.2系統數學模型3第三章系統控制算法73.1系統的特性分析73.1.1系統的穩定性73.1.2系統可控性73.1.3系統可觀性8極點配置法9LQR控制方法103.3.1線性二次型最優控制的一般概念11Q、R的選擇原則11LQR控制方法12第四章總結14參考文獻152014級自動化學院研究生最優控制結課論文2014級自動化學院研究生最優控制結課論文#其中,-其中,-G-1C=12(KK+Cme1L2(4m+3m+12m)TOC\o"1-5"\h\z112318(KK+Cme1LL(4m+3m+12m)1212318CLL(4m+3m+12m)1212312(m+3m+3m)C1232—

mL2(4m+3m+12m)22123」--G-1M=9mg2L(4m+3m+12m)TOC\o"1-5"\h\z1236(m+3m+3m)gL(4m+3m+12m)12312KmL21(4m+3m+12m)12318KmLL(4m+3m+12m)12123」其中，m、m、m分別為旋臂、擺桿和角位移傳感器質量，123L、L分別為旋臂和擺桿長度，K、K分別為電機力矩系數和反電勢系數，12meC、C分別為旋臂繞電機轉軸轉動的阻尼系數和擺桿繞軸轉動的阻尼系數。12將公式代入公式(8)「0010-將公式代入公式(8)「0010--0_0001x+0015.2476-3.4727-0.23254.8898074.9826-3.8965-1.14325.4862(9)，得到的系統數學模型:和Ux=Ax+BU=(10)10000100(11)y=Cx=x(11)0010旋臂質量ml=200g，擺桿質量m2=52g，電位器質量m3=10g旋臂長Ll=20cm，擺桿長L2=25cm，g=9.8m/s2旋臂繞電機轉軸轉動的阻尼系數C1=O.01N?m.S擺桿繞軸轉動的阻尼系數C2=O.001N?m?S第三章系統控制算法現在我們主要研究倒立擺系統的現代控制算法，現代控制理論控制倒立擺的平衡主要用狀態反饋來實現的。狀態反饋控制系統是在對倒立擺物理模型的分析及建立倒立擺的數學模型的基礎上，用狀態空間理論推出狀態方程和輸出方程，再利用狀態反饋和kalman濾波相結合的方法，最終實對倒立擺的控制。目前大多采用兩種狀態反饋的方法來設計倒立擺控制器，即極點配置調節器的方法和LQR最優調節器的方法。3?1系統的特性分析3?1?1系統的穩定性根據系統模型（10）和（11），利用MATLAB的eig函數求出系統的特征值,程序如下：A=[0010;0001;015.2476-3.4727-0.2325;074.9826-3.8965-1.1432];eig（A）運行結果如下圖：田ans<4x1double^1.1234027.83573-9.84&B4-2.6048由于系統有非負的特征值，故系統不穩定。3?1?2系統可控性可利用MATLAB的可控性判斷函數ctrb直接進行判斷，求出系統的能控性矩陣；再通過rank函數求出能控陣的秩，程序如下：A=[0010;0001;015.2476-3.4727-0.2325;074.9826-3.8965-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1000;0100;0010;0001];D=[0]；sys=ss(A,B,C,D);Con=ctrb(sys)r=rank(Con)運行結果如下：Con=1.0e+003*00.0049-0.01830.152900.0055-0.02530.51150.0049-0.01830.1529-1.03610.0055-0.02530.5115-3.0794r二4由于系統可控性陣Con滿秩，所以系統完全能控。3?1?3系統可觀性利用MATLAB的obsv、rank函數求出系統的能觀性矩陣的秩，程序如下：A=[0010;0001;015.2476-3.4727-0.2325;074.9826-3.8965-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1000;0100;0010;0001];D=[0];sys=ss(A,B,C,D);Qo=Obsv(A,C);r=rank(Qo)運行結果為r=4由于系統能觀陣Qo滿秩，所以系統又完全能觀。3?2極點配置法我們都知道，控制系統的穩定性和動態性能指標很大程度上取決于其閉環系統的零極點分布情況，因此，我們進行控制系統設計時，可以根據對系統性能指標的要求，通過選擇適當的狀態反饋矩陣，使閉環系統的極點配置在所期望的位置，這就是極點配置方法。極點配置法是控制系統時域設計理論中最早發展起來的一種設計思想，系統通過狀態反饋可以任意配置閉環極點的充要條件是系統必須完全能控。系統完全能控時，極點配置問題可以通過MATLAB來求解：選取閉環極點為[-3.3+0.8i-3.3-0.8i-6-12]，取初始狀態為[30,10,0,0]，通過MATLAB繪出系統的零輸入響應圖。具體程序如下：clearall;clcA=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1];p=[-3.3+0.8i,-3.3-0.8i,-6,-12];K=place(A,B,p);Ac=A-B*K;Gc=ss(Ac,B,C,0);t=0:0.1:10;x0=[301000];[y,t]=initial(Gc,x0,t);plot(t,y(:,1),t,y(:,2)),gridxlabel('時間/秒');ylabel('旋臂和擺桿的角度/度')

LTiT)-)「|LTiT)-)「|JJ1J1'Aiiiiiiiii012345678910時間/秒圖3極點配置算法下，系統零輸入下的仿真結果0503226nu5O由圖3可見，系統約在3s后即進入穩定狀態，所以極點配置法是可行的。3?3LQR控制方法LQR(linearquadraticregulator)即線性二次型調節器，其對象是現代控制理論中以狀態空間形式給出的線性系統，而目標函數為對象狀態和控制輸入的二次型函數。線性二次型最優控制設計是基于狀態空間技術來設計一個優化的動態控制器。二次型問題是在線性系統約束條件下選擇控制輸入使二次型目標函數達到最小。LQR最優設計具體是指設計出的狀態反饋控制器K要使二次型目標函數J取最小值，而K由權矩陣Q與R唯一決定，故此Q、R的選擇尤為重要。最優控制是現代控制理論的核心。所謂最優控制，就是在一定的條件下，在完成所要求的控制任務時，使系統的某種性能指標具有最優值。最優控制系統的設計，就是選擇最優控制，以使某一種性能指標為最小。二次型性能指標是一種綜合型性能指標，它可以兼顧終端狀態的準確性、系統響應的快速性、系統運行的安全性及節能性各方面因素。線性二次型最優控制問題的實質是：用不大的控制能量，來保持較小的輸出誤差，以達到控制能量和誤差綜合最優的目的。加權矩陣中的各個元素之間的數值比例關系，將直接影響系統的工作品質。特別可貴的是，LQR可得到狀態線性反饋的最優控制規律，易于構成閉環最優控制。而且MATLAB的應用為LQR理論仿真提供

了條件，更為我們實現穩、準、快的控制目標提供了方便。3?3?1線性二次型最優控制的一般概念假設線性系統狀態空間描述為：JX=Ax+Bu〔V二Cx其中x為n*l狀態向量，u為m*l輸入向量。不失一般性考慮一個二次型目標函數：J二L(xTQx+utRu)dt。式中，Q、0R分別稱為x和u的加權矩陣。且Q為n*n維正半定陣，R為m*m維正定陣。最優控制即尋求控制作用u(圖1)使目標函數J最小。應用極小值原理，可以得出最優控制作用：u*(t)=_R-iBtPx=-Kx，式中K為最優反饋增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提(Riccati)代數方程：PA+AtP-PBR-1BtP+Q=0。因此，系統設計歸結于求解黎卡提(Riccati)方程的問題，并求出反饋增益矩陣K。y=Cx圖1控制框圖3.3.2Q、R的選擇原則Q、R的選擇無一般規律可循，一般取決于設計者的經驗，常用的所謂試行錯誤法，即選擇不同的Q、R代入計算比較結果而確定。這里僅提供幾個選擇的一般原則：Q、R都應是對稱矩陣，Q為正半定矩陣，R為正定矩陣。通常選用Q和R為對角線矩陣，實際應用中，通常將R值固定，然后改變Q的數值，最優控制的確定通常在經過仿真或實際比較后得到。當控制輸入只有一個時,R成為一個標量數(一般可直接選R=l).Q的選擇不唯一。這表明當得到的控制器相同時，可以有多種Q值的選擇，其中總有一個對角線形式的Q。3.3.3LQR控制方法線性二次型最優控制問題即LQR問題，是一種普遍采用的最優控制系統設計方法，它可以歸結為：當系統受擾偏離原平衡狀態時，通過控制使系統狀態保持在平衡位置附近，并使控制過程中的動態誤差和能量消耗綜合最優。假設線性連續定常系統的狀態方程為：x(t)二Ax(t)+Bu(t)要尋求控制向量u*(t),使得如下二次型目標函數最小：J=—Js(xtQx+utRu)Dt20根據極值原理，可以得出最優控制律，即：U*=-R-1BtPx=-Kx其中，K為最優反饋增益矩陣，P為常值正定矩陣，必須滿足黎卡提(Riccati)代數方程，即：PA+AtP+PB-1RBP+Q=O在MATLAB中，只要確定了Q陣和R陣，利用lqr函數就可以很方便的求出最優反饋增益矩陣K。我們需要改變Q、R矩陣的值，經反復實驗，這里取：Q=diag([10100])；R=l。程序如下：A=[0,0,1,0;0,0,0,1;0,15.2476,-3.4727,-0.2325;0,74.9826,-3.8965,-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1];Q=diag([10100]);R=1;sys=ss(A,B,C,0);[k,p,e]=lqr(sys,Q,R)運行結果如下：k二-3.162352.3849-3.00196.06697.2470-21.71082.3737-2.6919-21.7108176.5050-12.710820.87682.3737-12.71081.1111-1.5374-2.691920.8768-1.53742.4761e二-9.7409-7.8941-2.7936+1.9578i-2.7936-1.9578i取系統初始狀態為(30,10,0,0),其中,p是黎卡提方程的解，e是閉環系統的特征值。求取系統的零輸入響應，程序如下：clearall;clcA=[0010;0001;015.2476-3.4727-0.2325;074.9826-3.8965-1.1432];B=[0;0;4.8895;5.4862];C=[1000;0100;0010;0001];D=0;sys=ss(A,B,C,0);Q=diag([10100]);R=1;[K,P,e]=lqr(sys,Q,R,0);Ac=A-B*K;Gc=ss(Ac,B,C,0);t=0:0.1:10;x0=[301000];[y,t]=initial(Gc,x0,t);plot(t,y(:,1),t,y(:,2)),gridxlabel('時間/s');ylabel('旋臂和擺桿角度/度');

12345678910時間/百050322512345678910時間/百0503225O5O圖4Q=diag([10100]),R=l時，LQR算法下系統的零輸入響應圖由圖4可見，3s以內，系統就會進入穩定狀態，所以，LQR算法是可以實現倒立擺系統的穩定控制的。第四章總結20世紀60年代初，由于空間技術的迅猛發展和數字計算機的廣泛應用，動態系統的優化理論得到迅速發展，形成了最優控制理論這一