第二十一章

一元二次方程實際問題與二次函數第1課時

【情感預熱】問題1（1）請寫出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標：①y＝6x2＋12x；②y＝－4x2＋8x－10.（2）以上兩個函數，哪個函數有最大值，哪個函數有最小值？并說出兩個函數的最大值或最小值分別是多少.[解]（1）y＝6（x＋1）2－6，所以拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝－1，頂點坐標為（－1，－6），當x＝－1時，y有最小值－6.（2）y＝－4（x－1）2－6，所以拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為（1，－6），當x＝1時，y有最大值－6.【合作互動】問題2例1從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球運動的時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？（1）圖中拋物線的頂點在哪里？（2）這個拋物線的頂點是否是小球運動的最高點？（3）小球運動至最高點的時間是什么時間？（4）通過前面的學習，你認為小球運行軌跡的頂點坐標是什么？【合作互動】問題2例1從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h(單位：m)與小球的運動時間t(單位：s)之間的關系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球運動的時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？（1）圖中拋物線的頂點在哪里？（2）這個拋物線的頂點是否是小球運動的最高點？（3）小球運動至最高點的時間是什么時間？（4）通過前面的學習，你認為小球運行軌跡的頂點坐標是什么？

[解]當t===3時，h有最大值==45.即小球運動的時間是3s時，小球最高，小球運動的最大高度是45m.

[結論]一般地，當a＞0（a＜0）時，拋物線y=ax2+bx+c的頂點是最低（高）點，也就是說，當x=時，二次函數y=ax2+bx+c有最小（大）值.【合作互動】問題3[練習1]如圖，用12m長的木料，做一個有一條橫檔的矩形的窗子，為了使透進的光線最多，窗子的長、寬應各是多少？【合作互動】問題2[練習2]張大爺要圍成一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為32米的籬笆恰好圍成.圍成的花圃是如圖所示的矩形.設AB邊的長為x米，矩形ABCD的面積為S平方米.（1）求S與x之間的函數關系式（不要求寫自變量x的取值范圍）；（2）當x為何值時，S有最大值？并求出其最大值.【內化導行】問題2[練習2]張大爺要圍成一個矩形花圃，花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為32米的籬笆恰好圍成.圍成的花圃是如圖所示的矩形.設AB邊的長為x米，矩形ABCD的面積為S平方米.（1）求S與x之間的函數關系式（不要求寫自變量x的取值范圍）；（2）當x為何值時，S有最大值？并求出其最大值.[解]（1）由題意可知AB=xm，則BC=（32-2x）m，∴S=x(32-2x)=-2x2+32x.（2）S=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，∴當x=8時，S有最大值，最大值為128m2.【合作互動】問題4例2如圖所示，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個頂點正好重合于上底面上一點）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AE=BF=x(cm).（1）若折成的包裝盒恰好是個正方體，試求這個包裝盒的V;（2）某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應取何值？【合作互動】問題4

【內化導行】問題4[練習3]如圖，點E，F，G，H分別位于正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最小？[解]設AE＝x，AB＝1，正方形EFGH的面積為y.根據題意，得y＝1－2x（1－x）.整理，得y＝2x2－2x＋1，所以當x＝0.5時，正方形EFGH的面積最小為0.5，即當點E在AB的中點處時，正方形EFGH的面積最小.【內化導行】課堂小結：（1）課堂總結：談一談你在本節課中有哪些收獲？有哪些進步？還有哪些困惑？[教師強調]利用面積公式列函數解析式是解答問題的主要方法.【內化導行】布置作業：教材第52頁習題22.3第4，6題．（2）知識網絡：第二十二章二次函數實際問題與二次函數第2課時

【情感預熱】問題1某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，應如何定價才能使利潤最大？[解]分兩種情況討論：①設每件漲價x元，利潤為y元．根據題意，得y＝(60＋x)(300－10x)－40(300－10x)＝－10x2＋100x＋6000(0≤x≤30)．因為a＝－10<0，所以函數有最大值．當x＝5時，y有最大值為6250.【情感預熱】問題1某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進價為每件40元，應如何定價才能使利潤最大？②設每件降價x元，利潤為y元．根據題意，得y＝(60－x)·(300＋20x)－40(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000(0≤x≤20)．當x＝2.5時，y有最大值為6125元．綜上所述，當定價為每件65元時，利潤最大為6250元．【情感預熱】問題1小結：用二次函數解決實際問題的一般步驟：①確定自變量和函數；②利用數量關系列函數解析式；③確定自變量的取值范圍；④利用函數的性質求出最大利潤．【內化導行】問題1[練習1]某商店購進一批單價為20元/件的日用品，如果以單價30元/件銷售，那么半個月內可以售出400件．根據銷售經驗，提高單價會導致銷售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件．售價定為多少，才能在半個月內獲得最大利潤？[解]設單價提高x元，利潤為y元．根據題意，列函數解析式為y＝(30＋x－20)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000(0≤x≤20)．所以當x＝5時，y有最大值為4500元．【合作互動】問題2例2某水果批發商銷售每箱進價為40元的蘋果，物價部門規定每箱售價不得高于55元．市場調查發現，若每箱以45元的價格銷售，則平均每天銷售105箱；若每箱以50元的價格銷售，則平均每天銷售90箱，假定每天的銷售量y(箱)與銷售價x(元/箱)之間滿足一次函數關系．(1)求每天的銷售量y(箱)與銷售價x(元/箱)之間的函數解析式(不需要寫出自變量的取值范圍)；(2)求該批發商平均每天的銷售利潤w(元)與銷售價x(元/箱)之間的函數解析式；(3)當每箱蘋果的銷售價為多少時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？y＝－3x＋240由題意，得w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600.當x＝60時，w有最大值，因為x≤55，所以當x＝55時，w的值最大，為1125元．【內化導行】問題2[練習2]某產品每件成本10元，試銷階段每件產品的銷售價x(元)與產品的日銷量y（件）之間的關系如下表：且日銷量y（件）是銷售價x(元)的一次函數.（1）求日銷量y（件）與x(元)的一次函數.（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時最大銷售利潤是多少？【內化導行】問題2[練習2]解：（1）設此一次函數解析式為y=kx+b，∴，解得，即一次函數的解析式為y=-x+40.（2）設銷售利潤為w元，則W=（x-10）（-x+40）=-（x-25）2+225，當x=25時，w有最大值225.即產品的銷售價定為25元時，每日獲得銷售利潤最大為225元.【內化導行】問題2[練習3]某賓館有50個房間供游客住宿，當每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿.當每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑.賓館需對游客居住的每個房間每天支出20元的各種費用.根據規定，每個房間每天的房價不得高于340元.設每個房間每天的房價增加x元（x為10的正整數倍）.（1）設一天訂住的房間數為y，直接寫出y與x的函數關系式及自變量x的取值范圍;（2）設賓館一天的利潤為W元，求W與x的函數關系式；（3）一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元？【內化導行】問題2[練習3][解]（1）y=50-x(0≤x≤160，且x是10的正整數倍).(2)W=（50-x）（180+x-20）=-x2+34x+8000.(3)W=-x2+34x+8000=-(x