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第一章函數(shù)極限連續(xù)§8函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義1f(x0)f(x0+Dx)DxDyx0+Dxy=f(x)x0xyO函數(shù)的連續(xù)性定義2（ε-δ定義）注

函數(shù)在點x0連續(xù)的三個條件：函數(shù)的連續(xù)性定義3注

三個定義是等價的左連續(xù)與右連續(xù)結論

函數(shù)y=f(x)在點x0

處連續(xù)

函數(shù)y=f(x)在點

x0

處左連續(xù)且右連續(xù)

函數(shù)的連續(xù)性定義注:連續(xù)函數(shù)

在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)

叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)

連續(xù)函數(shù)舉例1

多項式函數(shù)P(x)在區(qū)間(-

+

)內(nèi)是連續(xù)的

這是因為，函數(shù)P(x)在(-

+

)內(nèi)任意一點x0處有定義，并且

如果區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù)

在左端點連續(xù)是指右連續(xù)

2

函數(shù)y=sinx在區(qū)間(-

+

)內(nèi)是連續(xù)的

這是因為，函數(shù)y=sinx在(-

+

)內(nèi)任意一點x處有定義，并且連續(xù)函數(shù)舉例1

多項式函數(shù)P(x)在區(qū)間(-

+

)內(nèi)是連續(xù)的

二、函數(shù)的間斷點間斷點的定義設函數(shù)f(x)在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義

如果函數(shù)f(x)在點x0不連續(xù)

則點x0稱為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點或間斷點

分析:所以點x=0是該函數(shù)的間斷點

如果補充定義：令x=0時y=1

則所給函數(shù)在x=0成為連續(xù)

x=0稱為該函數(shù)的可去間斷點

間斷點舉例例1

因函數(shù)f(x)的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象

我們稱x=0為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點

例2

間斷點舉例間斷點舉例

例3

鉛直漸近線無窮間斷點.故稱為函數(shù)的

例4

當x

0時

函數(shù)值在-1與+1之間變動無限多次

所以點x=0是函數(shù)的間斷點

所以點x=0稱為函數(shù)的振蕩間斷點

間斷點舉例第一類間斷點:

可去間斷點、跳躍間斷點

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