上海崇明縣建設中學2022年高三數學文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知y=f（x）是奇函數，且滿足f（x+2）+3f（﹣x）=0，當x∈[0，2]時，f（x）=x2﹣2x，則當x∈[﹣4，﹣2]時，f（x）的最小值為(

)A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．參考答案：C【考點】二次函數在閉區間上的最值．【專題】轉化思想；綜合法；函數的性質及應用．【分析】設x∈[﹣4，﹣2]，則x+4∈[0，2]，再根據題意可得f（x）=f（x+4）=，由此求得它的最小值．【解答】解：設x∈[﹣4，﹣2]，則x+4∈[0，2]．∵y=f（x）是奇函數，則由f（x+2）+3f（﹣x）=0，可得f（x+2）=﹣3f（﹣x）=3f（x），∴f（x+4）=3f（x+2），故有f（x）=f（x+2）=．故f（x）=f（x+4）=[（x+4）2﹣2（x+4）]=[x2﹣6x+8]=，故當x=3時，函數f（x）取得最小值為﹣，故選：C．【點評】本題主要考查求函數的解析式，二次函數在閉區間上的最值，得到f（x）=f（x+4），是解題的關鍵，屬于中檔題．2.已知，是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是(

▲

)A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則參考答案：C3.已知lga+lgb=0，函數f（x）=ax與函數g（x）=﹣logbx的圖象可能是(

)A． B． C． D．參考答案：B【考點】對數函數的圖像與性質；指數函數的圖像與性質．【專題】數形結合．【分析】先求出a、b的關系，將函數g（x）進行化簡，得到函數f（x）與函數g（x）的單調性是在定義域內同增同減，再進行判定．解：∵lga+lgb=0∴ab=1則b=從而g（x）=﹣logbx=logax，f（x）=ax與∴函數f（x）與函數g（x）的單調性是在定義域內同增同減結合選項可知選B，故答案為B【點評】本題主要考查了對數函數的圖象，以及指數函數的圖象和對數運算等有關知識，屬于基礎題．4.已知復數，則對應的點在

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：B5.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓。在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是A.

B..

C.

D.10.參考答案：C如圖，不妨設扇形的半徑為2a,如圖,記兩塊白色區域的面積分別為S1,S2,兩塊陰影部分的面積分別為S3,S4，

則S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=①,而S1+S3與S2+S3的和恰好為一個半徑為a的圓，即S1+S3+S2+S3②.①-②得S3=S4,由圖可知S3=,所以..由幾何概型概率公式可得，此點取自陰影部分的概率P=.【點評】本題考查古典概型的應用以及觀察推理的能力.本題難在如何求解陰影部分的面積，即如何巧妙地將不規則圖形的面積化為規則圖形的面積來求解.來年需注意幾何概型在實際生活中的應用.6.下列說法正確的是（）A．任何事件的概率總是在（0，1）之間B．頻率是客觀存在的，與試驗次數無關C．隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率D．概率是隨機的，在試驗前不能確定參考答案：C【考點】概率的意義．【分析】利用頻率與概率的意義及其關系即可得出．【解答】解：由于必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，故A不正確．頻率的數值是通過實驗完成的，頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值，故B、D不正確．頻率是不能脫離n次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值，隨著試驗次數的增加，頻率一般會越來越接近概率，故C正確．故選：C．7.設為拋物線的焦點，為該拋物線上三點，若，則的值為

（

）

A．

B．

C．

D．12參考答案：B略8.等差數列{an}的通項為an=2n﹣1，其前n項和為Sn，若Sm是am，am+1的等差中項，則m的值為（）A．1 B．2 C．4 D．8參考答案：B【考點】等差數列的前n項和．【分析】由等差數列知Sm=?m=m2，am=2m﹣1，am+1=2m+1；從而求得．【解答】解：∵等差數列{an}的通項為an=2n﹣1，∴Sm=?m=m2，am=2m﹣1，am+1=2m+1；∴2m﹣1+2m+1=2m2，解得，m=2；故選：B．9.已知命題所有有理數都是實數，命題正數的對數都是負數，則下列命題中為真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.已知集合，則等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在平面直角坐標系中，設點，定義，其中為坐標原點．對于以下結論：①符合的點的軌跡圍成的圖形的面積為2；②設為直線上任意一點，則的最小值為；③設為直線上的任意一點，則“使最小的點有無數個”的必要不充分條件是“”；其中正確的結論有________(填上你認為正確的所有結論的序號)參考答案：①③12.已知O為坐標原點，過雙曲線上的點P（1，0）作兩條漸近線的平行線，交兩漸近線分別于A，B兩點，若平行四邊形OBPA的面積為1，則雙曲線的離心率為．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】作出對應的圖象，求出交點坐標，結合平行四邊形的面積建立方程關系求出a的值進行求解即可．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為y=±ax，（不妨設a＞0），設與y=﹣ax平行且過P的直線方程為y=﹣a（x﹣1）=﹣ax+a，由，得，即A（，a），則平行四邊形OBPA的面積S=2S△OBP=2××1×a=a=1，得a=2，即雙曲線的方程為x2﹣=1，則雙曲線的a1=1，b1=2，則c==，即雙曲線的離心率e===，故答案為：13.設和是拋物線上的兩個動點，在和處的拋物線切線相互垂直，已知由及拋物線的頂點所成的三角形重心的軌跡也是一拋物線，記為．對重復以上過程，又得一拋物線，以此類推．設如此得到拋物線的序列為，若拋物線的方程為，經專家計算得， 則

.參考答案：-114.已知方程ln|x|﹣ax2+=0有4個不同的實數根，則實數a的取值范圍是．參考答案：【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】根據函數與方程的關系，利用參數分離式進行轉化，構造函數，求出函數的導數，研究函數的單調性和極值，利用數形結合進行求解即可．【解答】解：由ln|x|﹣ax2+=0，得ax2=ln|x|+，∵x≠0，∴方程等價為a=，設f（x）=，則函數f（x）是偶函數，當x＞0時，f（x）=，則f′（x）==，由f′（x）＞0得﹣2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜﹣1，得0＜x＜，此時函數單調遞增，由f′（x）＜0得﹣2x（1+lnx）＜0，得1+lnx＞0，即lnx＞﹣1，得x＞，此時函數單調遞減，即當x＞0時，x=時，函數f（x）取得極大值f（）==（﹣1+）e2=e2，作出函數f（x）的圖象如圖：要使a=，有4個不同的交點，則滿足0＜a＜，故答案為：．15.已知實數滿足不等式組，那么函數的最大值是

．參考答案：416.設，則二項式的展開式中，項的系數為

參考答案：60略17.若tanα=，則tan（α+）=．參考答案：3【考點】兩角和與差的正切函數．【專題】計算題．【分析】根據tanα的值和兩角和與差的正切公式可直接得到答案．【解答】解：∵tanα=∴tan（α+）===3故答案為：3．【點評】本題主要考查兩角和與差的正切公式．屬基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數在點處的切線斜率為．（1）求實數的值；（2）設，若對恒成立，求的取值范圍；（3）已知數列滿足，，求證：當時（為自然對數的底數，)．參考答案：（1）；（2）；（3）證明略.試題分析：（1）利用導數的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點，利用導數的幾何意義求切線的斜率；（2）對于恒成立的問題，常用到兩個結論：（1）恒成立，（2）恒成立；（3）利用導數方法證明不等式在區間上恒成立的基本方法是構造函數，然后根據函數的單調性，或者函數的最值證明函數，其中一個重要的技巧就是找到函數在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個突破口，觀察式子的特點，找到特點證明不等式；（4）定積分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步驟解決“無限”問題，其方法是“分割求近似，求和取極限”.試題解析：（1），…1分由，得．…………3分（2）．（3）∵，∴，又，∴時，，對也成立，∴．……………10分∵當時，，∴在上單調遞增，且．又∵表示長為，寬為的小矩形的面積，∴，∴．……12分又由（2），取，得，∴，∴，∴．…………14分考點：1、導數的幾何意義；2、恒成立的問題；3、證明不等式.19.如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓的右頂點和上頂點分別為點A，B，M是線段AB的中點，且．．（1）求橢圓的離心率；（2）若a=2，四邊形ABCD內接于橢圓，AB∥CD，記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1?k2為定值．參考答案：【考點】K4：橢圓的簡單性質．【分析】（1）A（a，0），B（0，b），線段AB的中點M．利用與離心率的計算公式即可得出．（2）由a=2，可得b=1，可得橢圓的標準方程為：+y2=1，A（2，0），B（0，1）．直線BC的方程為：y=k2x+1，直線AD的方程為：y=k1（x﹣2），分別于同一方程聯立解得C，D，坐標，利用kCD==﹣，即可得出．【解答】（1）解：A（a，0），B（0，b），線段AB的中點M．=（﹣a，b），=．∵．∴+=﹣b2，化為：a=2b．∴橢圓的離心率e===．（2）證明：由a=2，可得b=1，∴橢圓的標準方程為：+y2=1，A（2，0），B（0，1）．直線BC的方程為：y=k2x+1，聯立，化為：（1+）x2+8k2x=0，解得xC=，∴yC=．即C（，）．直線AD的方程為：y=k1（x﹣2），聯立，化為：x2﹣16x+﹣4=0，∴2xD=，解得xD=，yD=，可得D（，）∴kCD==﹣，化為：1﹣16+2k1﹣2k2+8﹣8=0．∴（4k1k2+4k1﹣4k2+1）=0，∴k1k2=．【點評】本題考查了橢圓的標準方程與性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．20.（2014?濮陽二模）已知函數f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求證：．參考答案：【考點】不等式的證明；絕對值不等式；絕對值不等式的解法．【專題】不等式．【分析】（Ⅰ）根據絕對值不等式的解法解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6即可；（Ⅱ）利用分析法進行證明不等式．【解答】解：（I）∵f（x）=|x﹣1|．∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6等價|x﹣2|+|x+2|≥6，若當x≥2時，不等式等價為x﹣2+x+2≥6，即2x≥6，解得x≥3．當﹣2＜x＜2時，不等式等價為2﹣x+x+2≥6，即4≥6，此時不成立．當x≤﹣2時，不等式等價為2﹣x﹣x﹣2≥6，即2x≤﹣6，即x≤﹣3．綜上不等式的解集為（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．（II）要證，只需證|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需證（ab﹣1）2＞（b﹣a）2而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2＜1，b2＜1，即a2﹣1＜0，b2﹣1＜0，即（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，成立，從而原不等式成立．【點評】本題主要考查絕對值不等式的解法，要注意進行分段討論．21.（12分）（2015?青島一模）如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，側棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=，AD=AA1=3，E1為A1B1中點．（Ⅰ）證明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）證明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．參考答案：【考點】：直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】：空間位置關系與距離．【分析】：（Ⅰ）連結A1D交AD1于G，證明B1D∥E1G，利用直線與平面平行的判定定理證明B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）設AC∩BD=H，通過△BHC～△DHA，結合BC=1，AD=3，求出，，證明AC⊥BD，然后證明BB1⊥AC，得到AC⊥平面BDD1B1，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ACD1⊥平面BDD1B1．（本小題滿分12分）證明：（Ⅰ）連結A1D交AD1于G，因為ABCD﹣A1B1C1D1為四棱柱，所以四邊形ADD1A1為平行四邊形，所以G為A1D的中點，又E1為A1B1中點，所以E1G為△A1B1D的中位線，所以B1D∥E1G…（4分）又因為B1D平面AD1E1，E1G平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．

…（6分）（Ⅱ）設AC∩BD=H，因為AD∥BC，所以△BHC～△DHA又BC=1，AD=3，所以，∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°∴，從而，，所以CH2+BH2=BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD…（9分）因為ABCD﹣A1B1C1D1為四棱柱，AA1⊥底面ABCD所以側棱BB1⊥底面ABCD，又AC底面ABCD，所以BB1⊥AC…（10分）因為BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BDD1B1…（11分）因為AC平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1．…（12分）【點評】：本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理