第二章行列式

(determinant)§2.1行列式的定義§2.2行列式的性質§2.3行列式的應用一、克拉默(Cramer)二、矩陣求逆公式三、矩陣的秩第二章行列式

(determinant)§2.1§2.3行列式的應用一、克拉默(Cramer)法則設n個方程n個未知數的非齊次線性方程組為§2.3行列式的應用一、克拉默(Cramer)如果線性方程組(1)的系數行列式定理2.2

克拉默法則

且解可以表示為那么線性方程組(1)有唯一解，其中是把系數行列式中第列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的階行列式，即如果線性方程組(1)的系數行列式定理2.2克拉默法則且定理2.3

如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的解，則它的系數行列式必為零.對于齊次線性方程組

定理2.3如果線性方程組(1)無解或有兩個不同的對于定理2.4如果齊次線性方程組(2)的系數行列式,則齊次線性方程組(2)只有零解.方程組(2)是方程組（1）的特例，將定理2.2應用到方程組(2)得到定理2.5如果齊次線性方程組(2)

有非零解,則它的系數行列式必為零.有非零解.今后可證:系數行列式定理2.4如果齊次線性方程組(2)的系數行列式例1用克拉默法則解線性方程組解例1用克拉默法則解線性方程組解行列式的應用課件行列式的應用課件例2問取何值時，齊次方程組有非零解？解例2問取何值時，齊次方程組有非零解？解齊次方程組有非零解，則所以或時齊次方程組有非零解.齊次方程組有非零解，則所以二、矩陣求逆公式定義2.2伴隨矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣,例3

二、矩陣求逆公式定義2.2伴隨矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣定理2.6證明則定理2.6證明則定理2.7

矩陣可逆的充要條件是

奇異矩陣與非奇異矩陣的定義且推論定理2.7矩陣可逆的充要條件是例4求下列矩陣的逆矩陣例4求下列矩陣的逆矩陣解故解故逆矩陣的運算性質小結逆矩陣的運算性質小結例6例6三、矩陣的秩矩陣的秩定義2.3

k階子式列行中任取矩陣在kkA位于這些行、列交叉處的個元素，.階子式的稱為矩陣k階行列式，中所處的位置次序而得的kA不改變它們在A三、矩陣的秩矩陣的秩定義2.3k階子式列行中任取矩例如

解：A的每一個元素為A的一階子式同理，還可取第一、第三行；第二、第三行計算出的所有二階子式

A的二階子式可先選A的第一、第二行，A中含有這兩行元素的所有二階子式為若A中取三行，可得三階子式為由于A為矩陣，所以A中最高階子式為三階子式.

例如解：A的每一個元素為A的一階子式同理，還可取第一、第三則稱A為滿秩矩陣則稱A為滿秩矩陣例1解計算A的3階子式，例1解計算A的3階子式，如果顯然，非零行的行數為2，R(B)=2此方法簡單！說明對A施行的初等變換后,矩陣的秩不變此時B與A的秩相同如果對B再施行初等行變換或也不會改變B的秩,從而也不改變A的秩如果顯然，非零行的行數為2，R(B)=2此方法簡單！說明對A上例說明:經有限次初等行變換矩陣的秩仍不變．上例說明:經有限次初等行變換矩陣的秩仍不變．初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數就是矩陣的秩.例2解初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變由階梯形矩陣有三個非零行可知由階梯形矩陣有三個非零行可知例3解分析：例3解分析：行列式的應用課件行列式的應用