第二講古典概型與幾何概型

1/60重點難點重點：古典概型及幾何概型定義、概率計算及應用難點：①古典概型P(A)＝中，n與m求法及“事件”等可能性判斷②幾何概型2/60知識歸納1．等可能基本事件特點①基本事件是不能再分事件，其它事件(不包含不可能事件)能夠用它來表示．②全部試驗中基本事件都是有限個．③每個基本事件發生都是等可能．④任何兩個基本事件是互斥．3/602．古典概型(1)滿足以下兩個條件隨機試驗概率模型稱為古典概型：①有限性：在一次試驗中，可能出現基本事件只有有限個；②等可能性：每個基本事件發生都是等可能．(2)假如一次試驗等可能基本事件共有n個，隨機事件A包含了其中m個，那么事件A發生概率為P(A)＝

4/603．幾何概型假如每個事件發生概率只與組成該事件區域A幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A位置和形狀無關，則稱這么概率模型為幾何概率模型．幾何概型概率5/60誤區警示1．搞清楚“互斥事件”與“等可能事件”差異“互斥事件”和“等可能事件”是意思不一樣兩個概念.在一次試驗中，因為某種對稱性條件，使得若干個隨機事件中每一事件產生可能性是完全相同，則稱這些事件為等可能事件，在數目上，它可為2個或多個；而互斥事件是指不可能同時發生兩個或多個事件.有些等可能事件可能也是互斥事件，有些互斥事件也可能是等可能事件.比如：①粉筆盒有8支紅粉筆，6支綠粉筆，4支黃粉筆，現從中任取1支.“抽得紅粉筆”，“抽得綠粉筆”，6/60“抽得黃粉筆”，它們是彼此互斥事件，不是等可能事件.②李明從分別標有1,2，…，10標號一樣小球中，任取一球，“取得1號球”，“取得2號球”，…，“取得10號球”.它們是彼此互斥事件，又是等可能事件.③一周七天中，“周一晴天”，“周二晴天”，…，“周六晴天”，“星期天晴天”.它們是等可能事件，不是彼此互斥事件．2．“概率為0事件”與“不可能事件”是兩個不一樣概念應區分．7/603．計算古典概型和幾何概型時，一定要先進行事件等可能性判斷，預防因基本事件發生可能性不相等而致誤．4．抽樣問題要區分有沒有放回抽樣，是否與次序相關．8/60一、怎樣將實際問題轉化為對應概率模型將實際問題轉化為對應概率模型是主要基本功，要經過練習學會選擇恰當數學模型(如編號、用平面直角坐標系中點表示等)．9/60[例]拋擲兩顆骰子(1)一共有多少種不一樣結果？(2)向上點數之和是5結果有多少種？概率是多少？(3)出現兩個4點概率．(4)向上點數都是奇數概率．10/60解析：(文)(1)我們列表如圖，能夠看出擲第一顆骰子結果有6種，對于它每一個結果，第二顆骰子都有6個不一樣結果．如第一顆擲得2點時，與第二顆配對有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)6個不一樣結果，所以兩顆骰子配對共有6×6＝36種不一樣結果，每個結果都是等可能.11/60第二顆第一顆1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)12/60(2)設：“向上點數之和是5”＝A，由5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1，故共有4種(1,4)，(2,3)，(3,2)和(4,1)，

(3)事件B＝“出現2個4點”只有一個情形(4,4)，故P(B)＝

(4)事件C＝“向上點數都是奇數”包含以下9種情形(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，∴P(C)＝

13/60(理)(1)由乘法原理知有62＝36種不一樣結果．(2)設：“向上點數之和是5”＝A，由5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1，故共有4種(1,4)，(2,3)，(3,2)和(4,1)，(3)事件B＝“出現2個4點”只有一個情形(4,4)，故P(B)＝(4)事件C＝“向上點數為奇數”含有基本事件32＝9個．∴P(C)＝14/60[點評]1.我們也能夠用平面直角坐標系中點來表示，橫軸表示第一枚骰子點數、縱軸表示第二枚骰子點數．2．擲一顆骰子有6種不一樣結果，擲兩顆骰子有6×6＝62種不一樣結果；普通地擲n顆骰子，有6n種不一樣結果．3．擲一枚硬幣有2種不一樣結果，擲n枚硬幣共出現不一樣結果2n種．15/60[例1]有四個高矮不一樣同學，隨便站成一排，從一邊看是按高矮排列概率為 ()16/60解析：設四個人從矮到高號碼分別為1,2,3,4.基本事件組成集合Ω＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,4,3,2)，(1,4,2,3)，(1,3,4,2)，(1,3,2,4)，(2,1,4,3)，(2,1,3,4)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,2,4,1)，(3,2,1,4)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,4,2,1)，(3,4,1,2)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,3,1)，(4,2,1,3)，(4,3,2,1)，(4,3,1,2)}，一共有24個基本事件．那么從一邊看從矮到高為事件A，則A＝{(1,2,3,4)，(4,3,2,1)}．17/60(08·遼寧)4張卡片上分別寫有數字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出2張卡片上數字之和為奇數概率為 ()18/60解析：(文)取出兩張卡片基本事件組成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6個基本事件．其中數字之和為奇數包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4個基本事件，答案：C19/60[例2]一個盒子里裝有完全相同十個小球，分別標上1,2,3，…，10這10個數字，今隨機地取兩個小球，假如(1)小球是不放回；(2)小球是有放回．求兩個小球上數字為相鄰整數概率．分析：小球放回與不放回時基本事件總數是不一樣．20/60解析：(文)隨機選取兩個小球，記事件A為“兩個小球上數字為相鄰整數”．可能結果為(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，…，(9,10)，(10,9)共18種．(1)假如小球是不放回，按抽取次序統計結果(x，y)，則x有10種可能，y有9種可能，共有可能結果10×9＝90種．所以，事件A概率是

(2)假如小球是有放回，按抽取次序統計結果(x，y)，則x有10種可能，y有10種可能，共有可能結果10×10＝100種，所以，事件A概率是

21/60(理)(1)小球不放回時，有取法C種，其中小球上數字為相鄰整數有9種，∴所求概率為P1＝

(2)小球放回時，有取法102＝100種，其中小球上數字為相鄰整數有18種，故所求概率P2＝

22/60某廠生產10件產品中，有8件正品，2件次品，正品與次品在外觀上沒有區分，從這10件產品中任意抽檢2件．(1)兩件都是正品概率為________；(2)一件是正品，一件是次品概率為________；(3)假如抽檢2件產品都是次品，則這批產品將被退貨，這批產品被退貨概率為________．23/60解析：(文)從10件產品中任取2件是等可能，按次序統計結果(x，y)，x有10種可能，y有9種可能，但(x，y)與(y，x)是相同，所以試驗全部結果共有10×9÷2＝45種．(1)記事件A為“兩件都是正品”，即從8件正品中任取2件，按上面計算方法，共有可能結果8×7÷2＝28種，故所求事件概率是P(A)＝

24/60(2)記事件B為“一件是正品，一件是次品”，從8件正品中取1件，有8種可能，從2件次品中取1件，有2種可能，所以，事件B包含基本事件總數為8×2＝16種，故所求事件概率P(B)＝

(3)抽檢2件都是次品，可能結果只有1種，記此事件為C，則所求事件概率為P(C)＝

25/6026/60[例3]在圓心角為90°扇形中，以圓心O為起點作射線OC，求使得∠AOC和∠BOC都大于30°概率．分析：將三等分，分點為D、E，當點C落在上時，∠AOC與∠BOC都大于30°，故這是長度型幾何概型，其幾何度量能夠用弧長表示，也能夠用圓心角度數表示．27/60解析：如右圖，設事件A是“作射線OC，使∠AOC和∠BOC都大于30°”，μA＝90－30－30＝30，μΩ＝90，由幾何概型計算公式得P(A)＝

28/60(文)設點M(p，q)在 確定平面區域內均勻分布，則滿足p2＋q2≥1概率為________．解析：滿足|p|≤1，|q|≤1點組成一個邊長為2正方形，∴D＝4，滿足p2＋q2＝1點是單位圓．∴d＝4－π，∴所求概率p＝

29/60(理)兩人相約7時到8時在某地見面，先到者等候另一個20分鐘，這時就可離去，則這兩人能見面概率為______．分析：當兩人抵達某地時間差小于或等于20分鐘時，兩人能見面，因為包括兩個變量，所以利用平面直角坐標系轉化為平面點集即與面積相關問題研究．30/60解析：設x，y分別表示兩人抵達時刻，則0≤x≤60,0≤y≤60(單位：分鐘)．這么點(x，y)組成矩形OABC，即區域D＝S矩形OABC＝602，如圖所表示．兩人能見面，則x、y必須且只需滿足|x－y|≤20.31/60此條件確定區域d為圖中陰影部分．

點評：當實際問題包括兩個變量時，常利用平面直角坐標系來討論，當實際問題只包括一個變量時，常利用數軸或一條線段來討論.32/60[例4]以下做法對甲、乙兩人來說，公平嗎？(1)一場球賽前，裁判拿出一個均勻塑料圓盤，一面紅圈，一面綠圈，然后隨意指定一名運動員猜裁判拋出是哪面朝上，猜對他發球，不然對方發球．(2)拋擲一顆骰子向上一面是奇數甲勝，偶數乙勝．(3)拋擲兩顆骰子，號碼相鄰或相同甲勝，不然乙勝．33/60(4)甲、乙各拋一顆骰子，誰點子大誰勝，相同時，重新再拋．(5)一口袋內裝有一紅、兩白大小均勻三個小球，從中任意摸出兩球，同色甲勝，異色乙勝．(6)一口袋內裝有兩紅、兩白大小均勻四個小球，從中任意摸出2球，同色甲勝，異色乙勝．34/60(7)如圖，正方形ABCD內切圓為O，向正方形所在平面內隨機投一點，落在正方形外或線上時重投，落在⊙O內部甲勝，落在陰影部分乙勝．(8)口袋內有3紅、1白共4個大小相同球，取出2球，同色甲勝，異色乙勝．35/60解析：(1)是公平，甲、乙兩人先發球概率都是

(2)是公平，設“奇數向上”為事件A，則P(A)＝

(3)拋擲兩顆骰子，共有不一樣結果36種，事件A＝“號碼相同或相鄰”含基本事件6＋10＝16個，(4)公平，有多少種甲比乙點子大情況，就有多少種甲比乙點子小情況．36/60(5)不公平，同色只有1種可能，異色有兩種可能，甲勝概率為

(6)不公平，將紅球、白球各編號紅1、紅2、白1、白2，任取2球有不一樣取法6種，同色2種，異色4種，∴甲勝概率為P＝

37/60(7)設圓半徑為1，則正方形邊長為2，∴S圓＝π，S陰影＝4－π，顯然S圓>S陰影，故甲勝機會大，不公平．(8)是公平，紅球編號1、2、3，取出球同色有3種不一樣取法，異色也有3種不一樣取法，概率都是

38/60深夜，一輛出租車被牽涉進一起交通事故中，該市有兩家出租車企業——紅色出租車企業和藍色出租車企業，其中藍色出租車企業和紅色出租車企業分別占整個城市出租車85%和15%.據現場目擊證人說，事故現場出租車是紅色，并對證人區分能力作了測試，測得他識別正確率為80%，于是警察就認定紅色出租車含有較大肇事嫌疑．請問警察認定對紅色出租車公平嗎？試說明理由．39/60解析：設該城市有出租車1000輛，那么依題意可得表真實顏色證人所說顏色(正確率80%)藍色紅色累計藍色(85%)680170850紅色(15%)30120150累計710290100040/60從表中能夠看出，當證人說出租車是紅色時，它確實是紅色概率為

≈0.41，而它是藍色概率為

≈0.59.在這種情況下，以證人證詞作為推斷依據，對紅色出租車顯然是不公平.41/60[例5]利用隨機模擬法近似計算右圖中陰影部分曲線y＝2x與x＝±1及x軸圍成圖形面積．分析：在平面直角坐標系中畫出正方形，用隨機模擬方法能夠求出陰影部分與正方形面積之比，從而求得陰影部分面積近似值．42/60解析：設事件A“隨機向正方形內投點，所設點落在陰影部分”．S1：用計數器n統計做了多少次投點試驗，用計數器m統計其中有多少次(x，y)滿足－1<x<1,0<y<2x(即點落在陰影部分)．首先置n＝0，m＝0；S2：用變換rand()*2－1產生－1～1之間均勻隨機數x表示所投點橫坐標；用變換rand()*2產生0～2之間均勻隨機數y表示所投點縱坐標；43/60S3：判斷點是否落在陰影部分，即是否滿足y<2x，假如是，則計數器m值加1，即m＝m＋1，假如不是，m值保持不變；S4：表示隨機試驗次數計數器n值加1，即n＝n＋1，假如還要繼續試驗，則返回步驟S2繼續執行，不然，程序結束．程序結束后事件A發生頻率 作為事件A概率近似值．設陰影部分面積為S，正方形面積為4，由幾何概型計算公式得P(A)＝

44/60一、選擇題1．(文)如右圖所表示，在一個邊長為a、b(a>b>0)矩形內畫一個梯形，梯形上、下底分別為 高為b.向該矩形內隨機投一點，則所投點落在梯形內部概率是 ()

45/60[解析]

由幾何概型知P＝

46/60(理)已知正方體ABCD－A1B1C1D1內有一個內切球O，則在正方體ABCD－A1B1C1D1內任取點M，點M在球O內概率是 ()[答案]

C47/60[解析]

設正方體棱長為a，則正方體體積為a3，內切球體積為 故點M在球O內概率為

48/602．(文)擲兩顆骰子，事件“點數之和為6”概率是 ()[答案]

C[解析]

擲兩顆骰子，每顆骰子有6種可能結果，所以共有6×6＝36個基本事件，這些事件出現可能性是相同；事件“點數之和為6”包含基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共有5個．

49/60(理)從－1、0、1、2這四個數中選出三個不一樣數作為二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c系數組成不一樣二次函數，其中使二次函數有變號零點概率為 ()[答案]

A50/60[解析]

首先取a，∵a≠0，∴a取法有3種，再取b，b取法有3種，最終取c，c取法有2種，∴共組成不一樣二次函數3×3×2＝18個．f(x)若有變號零點，不論a>0還是a<0，均應有Δ>0，即b2－4ac>0，∴b2>4ac.51/60①首先b取0時，a、c須異號，a＝－1，則c有2種，a取1或2，則c只能取－1，∴共有4種．②b＝1時，若c＝0，則a有2種，若c＝－1，a只能取2.若c＝2，則a＝－1，共有4種．③若b＝－1，則c只能取0，有2種．④若b＝2，取a有2種，取c有2種，共有2×2＝4種．總而言之，滿足b2>4ac取法有4＋4＋2＋4＝14種，52/60二、填空題3．(文)在面積為S△ABC邊AB上任取一點P，則△PBC面積大于概率為________．53/60[解析]

如圖所表示，作AD⊥BC于D，PE⊥BC于E，對于事件A＝“△PBC面積