第一章：基本概念1.若，稱準(zhǔn)確到n位小數(shù)，及其以前的非零數(shù)字稱為準(zhǔn)確數(shù)字。各位數(shù)字都準(zhǔn)確的近似數(shù)稱為有效數(shù)，各位準(zhǔn)確數(shù)字稱為有效數(shù)字。2.進(jìn)制：，字長：，階碼：，可表示的總數(shù)：3.計(jì)算機(jī)數(shù)字表達(dá)式誤差來源實(shí)數(shù)到浮點(diǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)換，十進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換，結(jié)算結(jié)果溢出，大數(shù)吃小數(shù)。4.數(shù)據(jù)誤差影響的估計(jì)：，小條件數(shù)。解接近于零的都是病態(tài)問題，避免相近數(shù)相減。避免小除數(shù)大乘數(shù)。5.算法的穩(wěn)定性若一個(gè)算法在計(jì)算過程中舍入誤差能得到控制，或者舍入誤差的積累不影響產(chǎn)生可靠的計(jì)算結(jié)果，稱算法數(shù)值穩(wěn)定。第二章：解線性代數(shù)方程組的直接法1.高斯消去法步驟：消元過程與回代過程。順利進(jìn)行的條件：系數(shù)矩陣A不為零；A是對稱正定矩陣，A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。2.列主元高斯消去法失真：小主元出現(xiàn)，出現(xiàn)小除數(shù)，轉(zhuǎn)化為大系數(shù)，引起較大誤差。解決：在消去過程的第K步，交換主元。還有行主元法，全主元法。3.三角分解法杜立特爾分解即LU分解。用于解方程；用于求。克羅特分解：，下三角陣和單位上三角陣的乘積。將杜立特爾分解或克羅特分解應(yīng)用于三對角方程，即為追趕法。對稱正定矩陣的喬列斯基分解，，下三角陣及其轉(zhuǎn)置矩陣的乘積；用于求解的平方根法。改進(jìn)平方根法：利用矩陣的分解。4.舍入誤差對解的影響向量范數(shù)定義：常用的向量范數(shù)：矩陣的范數(shù)：常用的矩陣范數(shù)：矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性：影響：，其中，k值大，病態(tài)問題。第三章：插值法1.定義給定n+1個(gè)互不相同的點(diǎn)，xi及在xi處的函數(shù)值yi(i=0～n)，構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式：，使?jié)M足。取。稱為插值多項(xiàng)式，為插值節(jié)點(diǎn)，為被插函數(shù)。插值問題具有唯一性。2.Lagrange插值多項(xiàng)式表達(dá)式：誤差估計(jì)式：3.Newton插值多項(xiàng)式差商：表達(dá)式：誤差表達(dá)式：差商的性質(zhì)：1)差商與節(jié)點(diǎn)的次序無關(guān)；2)K階差商對應(yīng)K階導(dǎo)數(shù)；3)4)5)4.埃爾米特（帶導(dǎo)數(shù)）插值多項(xiàng)式1)Newton法，給定f及f(k)為數(shù)字；2)Lagrange法，給定f及f(k)為表達(dá)式。5.三次樣條插值函數(shù)分段三次插值多項(xiàng)式的定義：S(x)在子區(qū)間[xi-1,xi]上是三次多項(xiàng)式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上連續(xù)。三次樣條插值函數(shù)的導(dǎo)出：第四章：函數(shù)最優(yōu)逼近法1.最優(yōu)平方逼近對于廣義多項(xiàng)式：，其中線性無關(guān)。要求：若f(x)是表格函數(shù)，確定P(x)稱為最小二乘擬合函數(shù)，當(dāng)，P(x)為最小二乘多項(xiàng)式；若f(x)是連續(xù)函數(shù)，稱P(x)為最優(yōu)平方逼近函數(shù)。2.函數(shù)的內(nèi)積，范數(shù)定義及其性質(zhì)內(nèi)積的定義：性質(zhì)：范數(shù)的定義：范數(shù)的性質(zhì)：正規(guī)方程組或法方程組：3.正交多項(xiàng)式正交函數(shù)系的定義：代入正規(guī)方程組的系數(shù)矩陣，則：幾個(gè)正交多項(xiàng)式舉例：勒讓德多項(xiàng)式拉蓋爾多項(xiàng)式埃爾米特多項(xiàng)式切比雪夫多項(xiàng)式四種正交多項(xiàng)式均可用于高斯型求積公式；P多項(xiàng)式用于最優(yōu)平方逼近，T多項(xiàng)式用于最優(yōu)一致逼近。正交多項(xiàng)式的性質(zhì)：正交多項(xiàng)式線性無關(guān)，推論：與正交。在區(qū)間[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多項(xiàng)式gn(x)有n個(gè)不同的零點(diǎn)。設(shè)是最高次項(xiàng)系數(shù)為1的正交多項(xiàng)式，則：4.最優(yōu)一致逼近法(1)切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)性質(zhì)1：是[-1,1]上關(guān)于的正交多項(xiàng)式，；性質(zhì)2：；性質(zhì)3：是最高次項(xiàng)為的k次多項(xiàng)式，只含x的偶次項(xiàng)，只含x的奇次項(xiàng)；性質(zhì)4：有k個(gè)不同的零點(diǎn)，；性質(zhì)5：在[-1,1]上，，且在k+1個(gè)極值點(diǎn)處依次取得最大值1和-1；性質(zhì)6：設(shè)Pn(x)是任意一個(gè)最高次項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式，則：

(2)最優(yōu)一致逼近法的定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，若n次多項(xiàng)式使達(dá)到最小，則稱為在[a,b]上的最優(yōu)一致逼近函數(shù)。切比雪夫定理：n次多項(xiàng)式P(x)成為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式的充要條件是誤差在區(qū)間[a,b]上以正負(fù)或負(fù)正交替的符號依次取得的點(diǎn)（偏差點(diǎn)）的個(gè)數(shù)不少于n+2。采用如下方程組進(jìn)行求解：(3)近似最優(yōu)一致逼近多項(xiàng)式思路：使用T多項(xiàng)式性質(zhì)6若區(qū)間是[-1,1]，取xi(i=0～n)為Tn+1的零點(diǎn)，則～，以此構(gòu)造插值多項(xiàng)式Pn(x)；若區(qū)間是[a,b]，通過轉(zhuǎn)換；方法1：由～，構(gòu)造Pn(t)，然后將代入Pn(t)，可得Pn(x)。方法2：取，i=0～n；構(gòu)造Pn(x)。例：(4)截?cái)嗲斜妊┓蚣墧?shù)法設(shè)f(x)在[-1,1]上連續(xù)，，其中；記；應(yīng)用切比雪夫定理及性質(zhì)5，取。(5)縮短冪級數(shù)法方法1：方法2：第五章：數(shù)值微積分第一節(jié)牛頓柯特斯公式一．?dāng)?shù)值算法1.數(shù)值積分算法對于復(fù)雜函數(shù)f(x)，考慮用其近似函數(shù)P(x)去逼近，用P(x)的積分值近似代替f(x)積分值。2.插值型數(shù)值積分方法對于拉格朗日插值多項(xiàng)式，廣義積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，g(x)在[a,b]上部變號，則，使3.牛頓柯特斯公式梯形公式：辛普森公式：二．復(fù)化求積公式1.，把[a,b]分成若干等長的小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間用簡單低次數(shù)值積分公式，在將其得到的結(jié)果相加。2.復(fù)化梯形公式3.復(fù)化辛普森公式三．變步長的積分公式1.先取一步長h進(jìn)行計(jì)算，再取較小步長h*計(jì)算，若兩次結(jié)果相差很大，則在取更小步長進(jìn)行計(jì)算，依次進(jìn)行，直到相鄰兩次計(jì)算結(jié)果相差很大，則取較小步長的結(jié)果為積分近似值。2.變步長復(fù)化梯形公式3.變步長復(fù)化辛普森公式四．龍貝格積分法第二節(jié)待定系數(shù)法1.代數(shù)精度定義對于近似公式，如果f(x)是任意不超過m次的多項(xiàng)式，成立，而對于某個(gè)m+1多項(xiàng)式，，稱代數(shù)精度為m次。2.判定方法近似式的代數(shù)精度為m次對，近似式精確成立，，時(shí)不成立，。梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理第三節(jié)高斯型積分公式一．定義節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)一定，具有最高階代數(shù)精度公式的插值型積分公式稱為Guass型求積公式。插值型積分公式定義：定理：數(shù)值積分公式至少有n次代數(shù)精度近似式是插值型積分公式。對于牛頓科特斯公式，若采用等距節(jié)點(diǎn)，n分別為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，代數(shù)精度分別為n和n+1。二．最高代數(shù)精度定理：So，給定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，具有2n+1次代數(shù)精度的插值型數(shù)值積分公式稱為Gauss型求積公式。三．Gauss型積分公式的構(gòu)造方法方法1：代數(shù)精度為2n+1，則時(shí)成立，可解出和。方法2：定理：代數(shù)精度是[a,b]上關(guān)于的正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)(高斯點(diǎn))，其中。四．高斯型求積公式的誤差五．常用的高斯型求積公式1.Gauss-Legendre求積公式 ，是的n+1個(gè)零點(diǎn)。n=0n=12.Gauss-Laguerre求積公式3.Gauss-Hermite求積公式4.Gauss-Chebyshev求積公式第四節(jié)數(shù)值微分，h大，不精確，h小，由于小除數(shù)引入大誤差。近似函數(shù)法取等節(jié)距節(jié)點(diǎn)，(1)一階導(dǎo)數(shù)，n=1，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)(2)一階導(dǎo)數(shù)，n=2，三個(gè)節(jié)點(diǎn)(3)二階導(dǎo)數(shù)，n=2，三個(gè)節(jié)點(diǎn)實(shí)用誤差估計(jì)例：第六章非線性方程的迭代解法第一節(jié)方程求根法根的定義：對于非線性方程組f(x)=0，若存在數(shù)使f()=0，稱是非線性方程組f(x)=0的根。零點(diǎn)存在定理：若f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，若f(a)f(b)<0，則必然存在，使f()=0。試探法，二分法。一．簡單迭代法初值，，產(chǎn)生迭代序列。簡單迭代收斂定理（壓縮映像原理）對于迭代函數(shù)，若滿足(1)若；(2)存在正數(shù)0<L<1，使，都有。則對任意初值的迭代序列，，收斂于方程的唯一根。局部收斂性：當(dāng)，若有且連續(xù)收斂誤差：收斂速度(收斂階)：若存在實(shí)數(shù)P和非零常數(shù)C，使得，稱迭代序列是P階收斂。P=1，線性收斂；P>1，超線性收斂；P=2，平方收斂。定理：設(shè)是方程的根，如果迭代函數(shù)滿足產(chǎn)生的迭代序列是P階收斂。二．牛頓迭代法收斂性分析：牛頓迭代法具有局部收斂性，初值，產(chǎn)生迭代序列收斂。收斂定理：設(shè)f(x)在[a,b]上二階導(dǎo)數(shù)存在，若，在[a,b]上單調(diào)，在[a,b]上凹向不變（即在區(qū)間上不變號），初值滿足，則任意初值，有牛頓迭代法產(chǎn)生的收斂于方程的唯一根。簡化牛頓法：三．弦割法或割線法用差商代替導(dǎo)數(shù)第二節(jié)線性代數(shù)方程組迭代解法Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法SOR迭代法（）迭代法的收斂性：將迭代法用矩陣表示：，Jacobi迭代法：G-S迭代法：SOR迭代法：定理：，對產(chǎn)生的迭代序列收斂的充要條件是：或。推論1：若，則收斂；推論2：SOR方法收斂的必要條件是；推論3：設(shè)A是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣，則Jacobi，G-S，的SOR方法收斂；推論4：1)設(shè)A是對稱正定矩陣，則G-S方法收斂；2)設(shè)A是對稱正定矩陣，若2D-A也對稱正定，則Jacobi方法收斂；若2D-A不對稱正定，則Jacobi方法不收斂；3)設(shè)A是對稱正定矩陣，，則SOR方法收斂。