數學教學論鞍山師范學院數學系數學教育研究所數學教學論鞍山師范學院數學系112數學概念及其教學數學概念概述數學概念學習概念教學的基本要求和教學方法12數學概念及其教學數學概念概述2數學概念概述數學概念的意義

反映數學對象本質屬性的思維形式叫做“數學概念”。“屬性”與“本質屬性”；概念及其名稱和符號數學概念產生和發展的途徑（1）從現實模型直接得來；（2）經過多級抽象概括得來；（3）從數學內部需要產生出來；數量關系和空間形式數學概念概述數學概念的意義數量關系和空間形式3概念的內涵和外延

概念的內涵亦稱內包，指概念所反映的對象的特有屬性、本質屬性。概念的外延亦稱外包，指概念所反映的對象的總和。

例：“△ABC的頂點”內涵是指點的性質和其中任一點同在這個三角形兩邊之上這個性質；外延是指A、B、C三點的集合。注：（1）數學概念的內涵和外延是在一定的數學科學體系中來認識的。例如，角的概念在平面幾何中和在平面三角中的內涵和外延均不同。（2）概念的內涵和外延是發展的概念的內涵和外延4概念間的關系（概念外延間的同異關系）1、相容關系（1）同一關系（全同關系或重合關系）外延完全重合，內涵可以不同。例如：數0是擴大的自然數集中最小的數，又是正數與負數的分界數，在數的運算中它又是兩個相等數的差等；等腰三角形底邊上的高線、中線以及頂角的平分線的外延都是同一條線段，而內涵也各不相同。注：研究概念間的同一關系，可以對概念所反映的對象得到較深刻、較全面的認識。另外，在推理證明中具有全同關系的概念可以互相代換，使得論證簡明。概念間的關系（概念外延間的同異關系）5（2）從屬關系如果甲概念的外延真包含乙概念的外延，如下圖所示，那么，這兩個概念具有從屬關系。其中，外延較大的那個概念叫做屬概念，外延較小的那個概念叫做種概念。這兩個概念的外延和的關系可以寫成注：內涵和外延的反比關系正方形內涵矩形內涵平行四邊形內涵四邊形內涵正方形外延矩形外延平行四邊形外延四邊形外延（2）從屬關系注：內涵和外延的反比關系6（3）交叉關系如果兩個概念的外延有且只有部分重合，那么這兩個概念具有交叉關系或者叫做部分重合關系，如下圖。用集合符號表示概念的交叉關系，可設兩個概念的外延分別是集合和集合，如果是非空集合而且不是，那么這兩個概念具有交叉關系。例：（1）整數和整數（2）等腰三角形和直角三角形（3）交叉關系例：7（4）不相容關系（全異關系）如果兩個概念的外延間沒有任何一部分重合的關系，那么這兩個概念具有全異關系，這種關系又叫做“拳異關系”或“排斥關系”。全異關系又分為反對關系和矛盾關系。矛盾關系反對關系（4）不相容關系（全異關系）矛盾關系反對關系8（3）揭示外延的定義方式整數和分數統稱為有理數。（4）約定式定義我們規定“”。（3）揭示外延的定義方式9數學概念學習概念學習的基本形式1.概念的形成概念形成就是讓學生從大量同類事物的不同例證中獨立發現同類事物的本質屬性，從而形成概念。因此，數學概念的形成實質上是抽象出數學對象的共同本質特征的過程。可概括如下：（1）辨別各種刺激模式，通過比較，在知覺水平上進行分析、辨認，根據事物的外部特征進行概括。數學概念學習概念學習的基本形式10（2）分化出各種刺激模式的屬性。（3）抽象出各個刺激模式的共同屬性。（4）在特定的情境中檢驗假設，確認關鍵屬性。（5）概括，形成概念。（6）把新概念的共同關鍵屬性推廣到同類事物中去。（7）用習慣的形式符號表示新概念。（2）分化出各種刺激模式的屬性。11“函數”概念的形成過程：1、觀察實例，寫出變量間的關系表達式：（1）以每小時80千米的速度勻速行使的汽車，所駛過的路程和時間（2）由某一天氣溫變化的曲線所揭示的氣溫和時刻（3）用表格給出的某水庫的貯水量與水深。2、找出上例中兩變量之間關系的共同本質3、辨別正反例，找出本質屬性（一一對應）4、概括出函數定義5、練習鞏固成形“函數”概念的形成過程：12

教學過程中需注意：（1）提供的刺激模式應該是正例，而且數量要恰當；（2）注意選擇那些刺激強度適當、變化性大和新穎有趣的例子；（3）讓學生進行充分自主的活動，使他們經歷概念產生的過程，了解概念產生的條件，把握概念形成的規律；（4）在確認了事物的關鍵屬性，概括成概念以后，教師應采取適當措施，使學生認知結構中的新舊概念分化，以免造成新舊概念的混淆，新概念被舊概念所湮沒；教學過程中需注意：13（5）必須使新概念納入到已有的概念系統中去，使新概念與認知結構中已有的起固著點作用的相關概念建立起實質的和非人為的聯系；（6）教師的語言中介作用很大，因為教師的語言引導可以使學生更加有的放矢地對概念的具體事例進行分析、歸納和概括；（7）教師一定要扎扎實實地引導學生完成概念形成的每一個步驟。（5）必須使新概念納入到已有的概念系統中去，使新概念與認知結142.概念的同化概念同化的學習形式是利用學生認知結構中的原有概念，以定義的方式直接向學生揭示概念的本質屬性。由奧蘇伯爾的有意義接受學習理論可知，要使學生有意義地同化新概念，必須：第一，新概念具有邏輯意義；第二，學生的認知結構中具備同化新概念的適當知識；第三，學生積極主動地使這種具有潛在意義的新概念與他認知結構中的有關觀念發生相互作用，改造舊知識，使新概念與已有認知結構中的相關知識進一步分化和融會貫通。2.概念的同化15概念同化的階段（1）揭示概念的關鍵屬性，給出定義、名稱和符號；（2）對概念進行特殊的分類，討論這個概念所包含的各種特例，突出概念的本質特征；（3）使新概念與已有認知結構中的有關觀念建立聯系，把新觀念納入到已有概念體系中，同化新概念；（4）用肯定例證和否定例證讓學生辨認，使新概念與已有認知結構中的相關概念分化；（5）把新概念納入到相應的概念體系中，使有關概念融會貫通，組成一個整體。概念同化的階段16如“一次函數”的概念給出名稱、定義、符號：函數特例：等把一次函數與函數概念、一次多項式概念等作比較用肯定、否定例證讓學生辨認：如“一次函數”的概念17

教學過程中要注意：（1）同化方式學習概念，實際上是用演繹方式來理解和掌握概念。因為它是從抽象定義出發來學習的，所以應注意及時利用實例，使抽象概念獲得具體例證的支持；（2）學習中必須經過概念分類這一步，使學生從外延角度進一步對概念進行理解；（3）在引入概念的同時，要求學生掌握一定的智力動作，以防止出現知道概念的定義而不知如何將它用于解題的情況；教學過程中要注意：18（4）為學生及時提供應用概念進行推理、論證的機會，在應用中強化概念，以防止由于沒有經歷概念形成的原始過程而出現的概念加工不充分、理解不深刻的情況；（5）一定要將所學概念納入到已有認知結構中，形成概念系統。（4）為學生及時提供應用概念進行推理、論證的機會，在應用中強19概念教學的基本要求和教法探討概念的引入——概念的明確——概念的系統化——概念的運用1、概念的引入（1）原始概念一般采用描述法和抽象化法或用直觀說明或指明對象的方法來明確。“針尖刺木板”的痕跡引入“點”、用“拉緊的繩”或“小孔中射入的光線”來引入“直線”的方法是直觀說明法，“1，2，3，···叫做自然數”是指明對象法。概念教學的基本要求和教法探討概念的引入——概念的明確——概念20（2）對于用概念的形成來學習的概念一般可通過觀察實例，啟發學生抽象出本質屬性，師生共同進行討論，最后再準確定義。（3）對于用概念的同化來學習的概念（a）用屬加種差定義的概念新概念是已知概念的特例，新概念可以從認知結構中原有的具有較高概括性的概念中繁衍出來。（b）由概念的推廣引入的概念講清三點：推廣的目的和意義；推廣的合理性；推廣后更加廣泛的含義。（2）對于用概念的形成來學習的概念21（c）采用對比方法引入新概念當新概念與認知結構中已有概念不能產生從屬關系，但與已有的舊概念有相似之處時可采用此法。關鍵是講清不同之處，防止概念的負遷移。（d）根據逆反關系引入新概念多項式的乘法引入多項式的因式分解、由乘方引入開方、由指數引入對數等。關鍵是講清逆反關系。（c）采用對比方法引入新概念22(4)發生式定義通過觀察實例或引導學生思考，進行討論，自然得出構造過程，即揭示出定義的合理性。2、概念的明確定義的必要理解；表示概念的名稱或符號的正確使用；抓住掌握概念的關鍵；舉出肯定例證和否定例證；充分揭示概念的內涵；3、概念的系統化4、概念的運用和深化(4)發生式定義23設計問題：每包書有12冊，n包書有＿＿冊；溫度由t℃下降2℃后是＿＿℃，·····設一個正方形的邊長是x，那么它的面積是＿＿；如果買x平方米的地毯（每平方米a元），又付y立方米自來水費（每立方米b元），共花了多少錢？（3）對象階段，對代數式的形式化表述（4）圖式階段，建立綜合的心理圖式具體的實例（直觀的）、運算過程、字母表示一類數的數學思想、代數式的定義設計問題：24數學概念的一般教學原則

重視概念的引入——現實性原則揭示概念的內涵和外延——科學性原則講清概念的來龍去脈——系統性原則注意概念之間的對比——比較性原則加強概念的運用——應用性原則數學概念的一般教學原則重視概念的引入——現實性原則25數學概念的教學方法

1認識概念的重要性，切實加強概念教學2