第第頁第3講簡單的三角恒等變換一、知識梳理1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β；cos(α?β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±β，α，β均不為kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos__α；cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α，2α均不為kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).3.三角函數公式的關系常用結論四個必備結論(1)降冪公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(2)升冪公式：1＋cos2α＝2cos2α，1﹣cos2α＝2sin2α.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1±tanαtanβ)，1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1﹣sin2α＝(sinα﹣cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sin(α±eq\f(π,4)).(4)輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中tanφ＝eq\f(b,a).二、教材衍化1.若cosα＝﹣eq\f(4,5).α是第三象限的角，則sin(α+eq\f(π,4))＝________.解析：因為α是第三象限角，所以sinα＝﹣eq\r(1－cos2α)＝﹣eq\f(3,5)，所以sin(α+eq\f(π,4))＝﹣eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋(﹣eq\f(4,5))×eq\f(\r(2),2)＝﹣eq\f(7\r(2),10).答案：﹣eq\f(7\r(2),10).2.sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝________.解析：sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(﹣cos77°)·(﹣sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)3.化簡：eq\f(sin50°,sin65°·\r(1－cos50°))＝________.解析：原式＝eq\f(cos40°,cos25°\r(1－cos50°))＝eq\f(cos40°,cos25°·\r(2)sin25°)＝eq\f(cos40°,\f(\r(2),2)sin50°)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角.()(2)兩角和與差的正切公式中的角α，β是任意角.()(3)cos80°cos20°﹣sin80°sin20°＝cos(80°﹣20°)＝cos60°＝eq\f(1,2).()(4)公式tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)可以變形為tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1﹣tanαtanβ)，且對任意角α，β都成立.()(5)存在實數α，使tan2α＝2tanα.()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√二、易錯糾偏eq\a\vs4\al(常見,誤區)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())(1)不會用公式找不到思路；(2)不會合理配角出錯.1.sin15°＋sin75°的值是________.解析：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin(15°＋45°)＝eq\r(2)sin60°＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)2.若tanα＝3，tan(α﹣β)＝2，則tanβ＝________.解析：tanβ＝tan[α﹣(α﹣β)]＝eq\f(tanα－tan（α－β）,1＋tanα·tan（α－β）)＝eq\f(3－2,1＋3×2)＝eq\f(1,7).答案：eq\f(1,7)第1課時兩角和與差的正弦、余弦和正切公式考點一和差公式的直接應用(基礎型)復習指導eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())1.會用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式.2.能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯系.核心素養：邏輯推理、數學運算1.已知sinα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，tan(π﹣β)＝eq\f(1,2)，則tan(α﹣β)的值為()A.﹣eq\f(2,11)B.eq\f(2,11)C.eq\f(11,2)D.﹣eq\f(11,2)解析：選A.因為sinα＝eq\f(3,5)，α∈(eq\f(π,2)，π)，所以cosα＝﹣eq\r(1－sin2α)＝﹣eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝﹣eq\f(3,4).因為tan(π﹣β)＝eq\f(1,2)＝﹣tanβ，所以tanβ＝﹣eq\f(1,2)，則tan(α﹣β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝﹣eq\f(2,11).2.已知α∈(0,eq\f(π,2))，2sin2α＝cos2α＋1，則sinα＝()A.eq\f(1,5)B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2\r(5),5)解析：選B.由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1﹣2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1﹣sin2α.因為α∈(0,eq\f(π,2))，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)，所以2sinαeq\r(1－sin2α)＝1﹣sin2α，解得sinα＝eq\f(\r(5),5)，故選B.3.已知α∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(\r(5),5).(1)求sin(eq\f(π,4)＋α)的值；(2)求cos(eq\f(5π,6)﹣2α)的值.解：(1)因為α∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以cosα＝﹣eq\r(1－sin2α)＝﹣eq\f(2\r(5),5)，故sin(eq\f(π,4)＋α)＝sineq\f(π,4)cosα＋coseq\f(π,4)sinα＝eq\f(\r(2),2)×(﹣eq\f(2\r(5),5))＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝﹣eq\f(\r(10),10).(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(5),5)×(﹣eq\f(2\r(5),5))＝﹣eq\f(4,5)，cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×(eq\f(\r(5),5))2＝eq\f(3,5)，所以cos(eq\f(5π,6)﹣2α)＝coseq\f(5π,6)cos2α＋sineq\f(5π,6)sin2α＝(﹣eq\f(\r(3),2))×eq\f(3,5)＋eq\f(1,2)×(﹣eq\f(4,5))＝﹣eq\f(4＋3\r(3),10).eq\a\vs4\al()利用三角函數公式時應注意的問題(1)首先要注意公式的結構特點和符號變化規律.例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”.(2)應注意與同角三角函數基本關系、誘導公式的綜合應用.(3)應注意配方法、因式分解和整體代換思想的應用.考點二三角函數公式的逆用與變形應用(基礎型)eq\a\vs4\al(復習,指導)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())能運用三角函數公式進行簡單的恒等變換(包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).核心素養：數學運算(1)在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，則cosC的值為()A.﹣eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.﹣eq\f(1,2)(2)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________.【解析】(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝﹣1，即tan(A＋B)＝﹣1，又(A＋B)∈(0，π)，所以A＋B＝eq\f(3π,4)，則C＝eq\f(π,4)，cosC＝eq\f(\r(2),2).(2)因為sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1①，cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0②，①②兩式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1，所以sin(α＋β)＝﹣eq\f(1,2).【答案】(1)B(2)﹣eq\f(1,2)eq\a\vs4\al()(1)三角函數公式活用技巧①逆用公式應準確找出所給式子與公式的異同，創造條件逆用公式；②tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα﹣tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α﹣β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用.(2)三角函數公式逆用和變形使用應注意的問題①公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關系；②注意特殊角的應用，當式子中出現eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等這些數值時，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”以便構造適合公式的形式.1.(1﹣tan215°)cos215°的值等于()A.eq\f(1－\r(3),2)B.1C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(1,2)解析：選C.(1﹣tan215°)cos215°＝cos215°﹣sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).2.已知sin2α＝eq\f(1,3)，則cos2(α﹣eq\f(π,4))＝()A.﹣eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C.﹣eq\f(2,3)D.eq\f(2,3)解析：選D.cos2(α﹣eq\f(π,4))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).3.(一題多解)eq\r(3)cos15°﹣4sin215°cos15°＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.1D.eq\r(2)解析：選D.法一：eq\r(3)cos15°﹣4sin215°cos15°＝eq\r(3)cos15°﹣2sin15°·2sin15°cos15°＝eq\r(3)cos15°﹣2sin15°·sin30°＝eq\r(3)cos15°﹣sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝eq\r(2).故選D.法二：因為cos15°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)，所以eq\r(3)cos15°﹣4sin215°·cos15°＝eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)﹣4×(eq\f(\r(6)－\r(2),4))2×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)×(eq\r(3)﹣2＋eq\r(3))＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)×(2eq\r(3)﹣2)＝eq\r(2).故選D.考點三三角公式的靈活應用(綜合型)eq\a\vs4\al(復習,指導)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())三角公式的靈活應用實質是三角恒等變換，恒等變換前需清楚已知式中角的差異、函數名稱的差異、運算結構的差異，尋求聯系，實現轉化.角度一三角函數公式中變“角”已知α，β∈(eq\f(3π,4)，π)，sin(α＋β)＝﹣eq\f(3,5)，sin(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(24,25)，則cos(α＋eq\f(π,4))＝________.【解析】由題意知，α＋β∈(eq\f(3π,2)，2π)，sin(α＋β)＝﹣eq\f(3,5)<0，所以cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，因為β﹣eq\f(π,4)∈(eq\f(π,2),eq\f(3π,4))，所以cos(β﹣eq\f(π,4))＝﹣eq\f(7,25)，cos(α＋eq\f(π,4))＝cos[(α＋β)﹣(β﹣eq\f(π,4))]＝cos(α＋β)cos(β﹣eq\f(π,4))＋sin(α＋β)sin(β﹣eq\f(π,4))＝﹣eq\f(4,5).【答案】﹣eq\f(4,5)角度二三角函數公式中變“名”求值：eq\f(1＋cos20°,2sin20°)﹣sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan5°)－tan5°)).【解】原式＝eq\f(2cos210°,2×2sin10°cos10°)﹣sin10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos5°,sin5°)－\f(sin5°,cos5°)))＝eq\f(cos10°,2sin10°)﹣sin10°·eq\f(cos25°－sin25°,sin5°cos5°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)﹣sin10°·eq\f(cos10°,\f(1,2)sin10°)＝eq\f(cos10°,2sin10°)﹣2cos10°＝eq\f(cos10°－2sin20°,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2sin（30°－10°）,2sin10°)＝eq\f(cos10°－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),2sin10°)＝eq\f(\r(3)sin10°,2sin10°)＝eq\f(\r(3),2).eq\a\vs4\al()三角函數公式應用的解題思路(1)角的轉換：明確各個角之間的關系(包括非特殊角與特殊角、已知角與未知角)，熟悉角的變換技巧，及半角與倍角的相互轉化，如：2α＝(α＋β)＋(α﹣β)，α＝(α＋β)﹣β＝(α﹣β)＋β，40°＝60°﹣20°，(eq\f(π,4)+α)＋(eq\f(π,4)﹣α)＝eq\f(π,2)，eq\f(α,2)＝2×eq\f(α,4)等.(2)名的變換：明確各個三角函數名稱之間的聯系，常常用到同角關系、誘導公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦.[提醒]轉化思想是實施三角恒等變換的主導思想，恒等變換前需清楚已知式中角的差異、函數名稱的差異、運算結構的差異，尋求聯系，實現轉化.求4sin20°＋tan20°的值.解：原式＝4sin20°＋eq\f(sin20°,cos20°)＝eq\f(2sin40°＋sin20°,cos20°)＝eq\f(2sin（60°－20°）＋sin20°,cos20°)＝eq\f(\r(3)cos20°－sin20°＋sin20°,cos20°)＝eq\r(3).[基礎題組練]1.計算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的結果為()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)解析：選A.﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°＝﹣sin47°(﹣cos17°)﹣cos47°sin17°＝sin(47°﹣17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).2.已知cos(eq\f(π,4)﹣α)＝eq\f(4,5)，則sin2α＝()A.eq\f(1,5)B.﹣eq\f(1,5)C.eq\f(7,25)D.﹣eq\f(7,25)解析：選C.法一：因為cos(eq\f(π,4)﹣α)＝eq\f(4,5)，所以sin2α＝sin[eq\f(π,2)﹣2(eq\f(π,4)﹣α)]＝cos2(eq\f(π,4)﹣α)＝2cos2(eq\f(π,4)﹣α)﹣1＝2×(eq\f(4,5))2﹣1＝eq\f(7,25).故選C.法二：因為cos(eq\f(π,4)﹣α)＝eq\f(4,5)，所以eq\f(\r(2),2)(cosα＋sinα)＝eq\f(4,5)，所以cosα＋sinα＝eq\f(4\r(2),5)，平方得1＋sin2α＝eq\f(32,25)，得sin2α＝eq\f(7,25).故選C.3.已知eq\f(cosθ,sinθ)＝3cos(2π＋θ)，|θ|<eq\f(π,2)，則sin2θ＝()A.eq\f(8\r(2),9)B.eq\f(2\r(2),3)C.eq\f(4\r(2),9)D.eq\f(2\r(2),9)解析：選C.因為eq\f(cosθ,sinθ)＝3cos(2π＋θ)，所以eq\f(cosθ,sinθ)＝3cosθ.又|θ|<eq\f(π,2)，故sinθ＝eq\f(1,3)，cosθ＝eq\f(2\r(2),3)，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝2×eq\f(1,3)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(4\r(2),9)，故選C.4.已知cos(x﹣eq\f(π,6))＝eq\f(1,4)，則cosx＋cos(x﹣eq\f(π,3))＝()A.eq\f(\r(3),4)B.﹣eq\f(\r(3),4)C.eq\f(1,4)D.±eq\f(\r(3),4)解析：選A.因為coss(x﹣eq\f(π,6))＝eq\f(1,4)，所以cosx＋cos(x﹣eq\f(π,3))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\r(3)coss(x﹣eq\f(π,6))＝eq\r(3)×eq\f(1,4)＝eq\f(\r(3),4).故選A.5.已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq\f(1,3)，則logeq\r(5)(eq\f(tanα,tanβ))2等于()A.2B.3C.4D.5解析：選C.因為sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq\f(1,3)，所以sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2)，sinαcosβ﹣cosαsinβ＝eq\f(1,3)，所以sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，所以eq\f(tanα,tanβ)＝5，所以logeq\r(5)(eq\f(tanα,tanβ))2＝logeq\r(5)52＝4.故選C.6.已知sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),2)，則cos4α＝________.解析：由sinα＋cosα＝eq\f(\r(5),2)，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝eq\f(5,4)，所以sin2α＝eq\f(1,4)，從而cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×(eq\f(1,4))2＝eq\f(7,8).答案：eq\f(7,8)7.若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝﹣3，則tan(α＋β)＝________，tanα＝________.解析：因為tan(α＋2β)＝2，tanβ＝﹣3，所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β﹣β)＝eq\f(tan（α＋2β）－tanβ,1＋tan（α＋2β）tanβ)＝eq\f(2－（－3）,1＋2×（－3）)＝﹣1.tanα＝tan(α＋β﹣β)＝eq\f(－1－（－3）,1＋（－1）×（－3）)＝eq\f(1,2).答案：﹣1eq\f(1,2)8.已知sin(α﹣β)cosα﹣cos(β﹣α)sinα＝eq\f(3,5)，β是第三象限角，則sin(β＋eq\f(5π,4))＝________.解析：依題意可將已知條件變形為sin[(α﹣β)﹣α]＝﹣sinβ＝eq\f(3,5)，所以sinβ＝﹣eq\f(3,5).又β是第三象限角，因此有cosβ＝﹣eq\f(4,5)，所以sin(β＋eq\f(5π,4))＝﹣sin(β＋eq\f(π,4))＝﹣sinβcoseq\f(π,4)﹣cosβsineq\f(π,4)＝eq\f(7\r(2),10).答案：eq\f(7\r(2),10)9.已知tanα＝2.(1)求tan(α＋eq\f(π,4))的值；(2)求eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)的值.解：(1)tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq\f(2＋1,1－2×1)＝﹣3.(2)eq\f(sin2α,sin2α＋sinαcosα－cos2α－1)＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋sinαcosα－2cos2α)＝eq\f(2tanα,tan2α＋tanα－2)＝eq\f(2×2,4＋2－2)＝1.10.已知角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點P(﹣eq\f(3,5),﹣eq\f(4,5)).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋π))的值；(2)若角β滿足sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，求cosβ的值.解：(1)由角α的終邊過點P(﹣eq\f(3,5),﹣eq\f(4,5))，得sinα＝﹣eq\f(4,5)，所以sin(α＋π)＝﹣sinα＝eq\f(4,5).(2)由角α的終邊過點P(﹣eq\f(3,5),﹣eq\f(4,5))，得cosα＝﹣eq\f(3,5)，由sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，得cos(α＋β)＝±eq\f(12,13).由β＝(α＋β)﹣α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝﹣eq\f(56,65)或cosβ＝eq\f(16,65).[綜合題組練]1.已知α為第二象限角，且tanα＋taneq\f(π,12)＝2tanαtaneq\f(π,12)﹣2，則sin(α＋eq\f(5π,6))等于()A.﹣eq\f(\r(10),10)B.eq\f(\r(10),10)C.﹣eq\f(3\r(10),10)D.eq\f(3\r(10),10)解析：選C.tanα＋taneq\f(π,12)＝2tanαtaneq\f(π,12)﹣2?eq\f(tanα＋tan\f(π,12),1－tanαtan\f(π,12))＝﹣2?tan(α＋eq\f(π,12))＝﹣2，因為α為第二象限角，所以sin(α＋eq\f(π,12))＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α＋eq\f(π,12))＝﹣eq\f(\r(5),5)，則sin(α＋eq\f(5π,6))＝﹣sin(α﹣eq\f(π,6))＝﹣sin[(α＋eq\f(π,12))﹣eq\f(π,4)]＝cos(α＋eq\f(π,12))sineq\f(π,4)﹣sin(α＋eq\f(π,12))coseq\f(π,4)＝﹣eq\f(3\r(10),10).2.(創新型)公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發現了黃金分割約為0.618，這一數值也可以表示為m＝2sin18°，若m2＋n＝4，則eq\f(m\r(n),2cos227°－1)＝()A.8B.4C.2D.1解析：選C.因為m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4cos218°.所以eq\f(m\r(n),2cos227°－1)＝eq\f(2sin18°\r(4cos218°),2cos227°－1)＝eq\f(4sin18°cos18°,2cos227°－1)＝eq\f(2sin36°,cos54°)＝eq\f(2sin36°,sin36°)＝2.故選C.3.已知0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(3,5)，則tan(α＋eq\f(5π,4))＝________；eq\f(sin2α＋sin2α,cos2α＋cos2α)＝________.解析：因為0<α<eq\f(π,2)，且sinα＝eq\f(3,5)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4)，則tan(α＋eq\f(5π,4))＝tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝7.eq\f(sin2α＋sin2α,cos2α＋cos2α)＝eq\f(sin2α＋2sinαcosα,2cos2α－sin2α)＝eq\f(tan2α＋2tanα,2－tan2α)＝eq\f(33,23).答案：7eq\f(33,23).4.設α，β∈[0，π]，且滿足sinαcosβ﹣cosαsinβ＝1，則sin(2α﹣β)＋sin(α﹣2β)的取值范圍為________.解析：由sinαcosβ﹣cosαsinβ＝1，得sin(α﹣β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α﹣β＝eq\f(π,2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤α≤π，,0≤β＝α－\f(π,2)≤π，))即eq\f(π,2)≤α≤π，所以sin(2α﹣β)＋sin(α﹣2β)＝sin(2α﹣α＋eq\f(π,2))＋sin(α﹣2α＋π)＝cosα＋sinα＝eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4)).因為eq\f(π,2)≤α≤π，所以eq\f(3π,4)≤α＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，所以﹣1≤eq\r(2)sin(α＋eq\f(π,4))≤1，即取值范圍為[﹣1，1].答案：[﹣1，1]5.已知函數f(x)＝sin(x+eq\f(π,12))，x∈R.(1)求f(﹣eq\f(π,4))的值；(2)若cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈(0,eq\f(π,2))，求f(2θ﹣eq\f(π,3))的值.解：(1)f(﹣eq\f(π,4))＝sin(﹣eq\f(π,4)+eq\f(π,12))＝sin(﹣eq\f(π,6))＝﹣eq\f(1,2).(2)f(2θ﹣eq\f(π,3))＝sin(2θ﹣eq\f(π,3)+eq\f(π,12))＝sin(2θ﹣eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ﹣cos2θ).因為cosθ＝eq\f(4,5)，θ∈(0,eq\f(π,2))，所以sinθ＝eq\f(3,5)，所以sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(24,25)，cos2θ＝cos2θ﹣sin2θ＝eq\f(7,25)，所以f(2θ﹣eq\f(π,3))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ﹣cos2θ)＝eq\f(\r(2),2)×(eq\f(24,25)﹣eq\f(7,25))＝eq\f(17\r(2),50).6.已知sinα＋cosα＝eq\f(3\r(5),5)，α∈(0,eq\f(π,4))，sin(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，β∈(eq\f(π,4),eq\f(π,2)).(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值.解：(1)由題意得(sinα＋cosα)2＝eq\f(9,5)，即1＋sin2α＝eq\f(9,5)，所以sin2α＝eq\f(4,5).又2α∈(0,eq\f(π,2))，所以cos2α＝eq\r(1－sin22α)＝eq\f(3,5)，所以tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝eq\f(4,3).(2)因為β∈(eq\f(π,4),eq\f(π,2))，所以β﹣eq\f(π,4)∈(0,eq\f(π,4))，又sin(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(3,5)，所以cos(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(4,5)，于是sin2(β﹣eq\f(π,4))＝2sin(β﹣eq\f(π,4))·cos(β﹣eq\f(π,4))＝eq\f(24,25).又sin2(β﹣eq\f(π,4))＝﹣cos2β，所以cos2β＝﹣eq\f(24,25)，又2β∈(eq\f(π,2),π)，所以sin2β＝eq\f(7,25)，又cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)＝eq\f(4,5)，α∈(0,eq\f(π,4))，所以cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sinα＝eq\f(\r(5),5).所以cos(α＋2β)＝cosαcos2β﹣sinαsin2β＝eq\f(2\r(5),5)×(﹣eq\f(24,25))﹣eq\f(\r(5),5)×eq\f(7,25)＝﹣eq\f(11\r(5),25).第2課時簡單的三角恒等變換考點一三角函數式的化簡(基礎型)復習指導eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())三角函數式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪.在三角函數式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規律，根號中含有三角函數式時，一般需要升次.化簡：(1)sin(α＋β)cos(γ﹣β)﹣cos(β＋α)sin(β﹣γ)＝________；(2)計算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tanα·tan\f(α,2)))＝________.【解析】(1)sin(α＋β)cos(γ﹣β)﹣cos(β＋α)sin(β﹣γ)＝sin(α＋β)cos(β﹣γ)﹣cos(α＋β)sin(β﹣γ)＝sin[(α＋β)﹣(β﹣γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sinα,cosα)·\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))))＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2))·eq\f(cosαcos\f(α,2)＋sinαsin\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(cos\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2,sinα).【答案】(1)sin(α＋γ)(2)eq\f(2,sinα)eq\a\vs4\al()三角函數式的化簡要遵循“三看”原則1.化簡：eq\f(2sin（π－α）＋sin2α,cos2\f(α,2))＝________.解析：eq\f(2sin（π－α）＋sin2α,cos2\f(α,2))＝eq\f(2sinα＋2sinαcosα,\f(1,2)（1＋cosα）)＝eq\f(4sinα（1＋cosα）,1＋cosα)＝4sinα.答案：4sinα2.化簡：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))).解：原式＝eq\f(－2sin2xcos2x＋\f(1,2),\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))))＝eq\f(\f(1,2)（1－sin22x）,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(\f(1,2)cos22x,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)))＝eq\f(1,2)cos2x.考點二三角函數式的求值(綜合型)eq\a\vs4\al(復習,指導)eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())三角函數的求值包括給角求值、給值求值、給值求角三類.角度一給角求值計算eq\f(2cos10°－2\r(3)cos（－100°）,\r(1－sin10°))＝________.【解析】eq\f(2cos10°－2\r(3)cos（－100°）,\r(1－sin10°))＝eq\f(2cos10°＋2\r(3)sin10°,\r(1－sin10°))＝eq\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),\r(1－2sin5°cos5°))＝eq\f(4cos50°,cos5°－sin5°)＝eq\f(4cos50°,\r(2)cos50°)＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)eq\a\vs4\al()給角求值問題的解題策略在三角函數的給角求值問題中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角與特殊角總有一定關系.[基本思路]觀察所給角與特殊角之間的關系，利用和、差、倍角公式等將非特殊角的三角函數值轉化為：角度二給值求值已知α，β為銳角，tanα＝eq\f(4,3)，cos(α＋β)＝﹣eq\f(\r(5),5).(1)求cos2α的值；(2)求tan(α﹣β)的值.【解】(1)因為tanα＝eq\f(4,3)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)，所以sinα＝eq\f(4,3)cosα.因為sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝eq\f(9,25)，因此，cos2α＝2cos2α﹣1＝﹣eq\f(7,25).(2)因為α，β為銳角，所以α＋β∈(0，π).又因為cos(α＋β)＝﹣eq\f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2（α＋β）)＝eq\f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝﹣2.因為tanα＝eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝﹣eq\f(24,7)，因此，tan(α﹣β)＝tan[2α﹣(α＋β)]＝eq\f(tan2α－tan（α＋β）,1＋tan2αtan（α＋β）)＝﹣eq\f(2,11).eq\a\vs4\al()給值求值問題的解題策略已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值.解題關鍵：把“所求角”用“已知角”表示①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和、差或倍數關系，然后應用誘導公式、和差公式、倍角公式求解.角度三給值求角(一題多解)在平面直角坐標系xOy中，銳角α，β的頂點為坐標原點O，始邊為x軸的非負半軸，終邊與單位圓O的交點分別為P，Q.已知點P的橫坐標為eq\f(2\r(7),7)，點Q的縱坐標為eq\f(3\r(3),14)，則2α﹣β的值為________.【解析】法一：由已知可知cosα＝eq\f(2\r(7),7)，sinβ＝eq\f(3\r(3),14).又α，β為銳角，所以sinα＝eq\f(\r(21),7)，cosβ＝eq\f(13,14).因此cos2α＝2cos2α﹣1＝eq\f(1,7)，sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4\r(3),7)，所以sin(2α﹣β)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)﹣eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2).因為α為銳角，所以0＜2α＜π.又cos2α＞0，所以0＜2α＜eq\f(π,2)，又β為銳角，所以﹣eq\f(π,2)＜2α﹣β＜eq\f(π,2)，又sin(2α﹣β)＝eq\f(\r(3),2)，所以2α﹣β＝eq\f(π,3).法二：同法一得，cosβ＝eq\f(13,14)，sinα＝eq\f(\r(21),7).因為α，β為銳角，所以α﹣β∈(﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2)).所以sin(α﹣β)＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝eq\f(\r(21),7)×eq\f(13,14)﹣eq\f(2\r(7),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(21),14).所以sin(α﹣β)＞0，故α﹣β∈(0，eq\f(π,2))，故cos(α﹣β)＝eq\r(1－sin2（α－β）)＝eq\f(5\r(7),14).又α∈(0，eq\f(π,2))，所以2α﹣β＝α＋(α﹣β)∈(0，π).所以cos(2α﹣β)＝cos[α＋(α﹣β)]＝cosαcos(α﹣β)﹣sinα·sin(α﹣β)＝eq\f(2\r(7),7)×eq\f(5\r(7),14)﹣eq\f(\r(21),7)×eq\f(\r(21),14)＝eq\f(1,2).所以2α﹣β＝eq\f(π,3).【答案】eq\f(π,3)eq\a\vs4\al()(1)給值求角問題的解題策略①求相關角的某一個三角函數值.②由求得的三角函數值求角，如果根據求得的函數值無法唯一確定角的大小，應根據已知角的范圍和已知角的三角函數值把所求角的大小作相對精確的估計，以排除多余的解.(2)在選取函數時，遵照以下原則：①已知正切函數值，選正切函數；②已知正、余弦函數值，若角的范圍是(0，eq\f(π,2))，選正、余弦函數皆可；③已知正、余弦函數值，若角的范圍是(0，π)，選余弦函數；④已知正、余弦函數值，若角的范圍是(﹣eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，選正弦函數.1.已知tan(α+eq\f(π,4))＝eq\f(1,7)，且α為第二象限角，若β＝eq\f(π,8)，則sin(α﹣2β)cos2β﹣cos(α﹣2β)sin2β＝()A.﹣eq\f(3,5)B.eq\f(3,5)C.﹣eq\f(4,5)D.eq\f(4,5)解析：選D.tan(α+eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1,7)，所以tanα＝﹣eq\f(3,4)，又α為第二象限角，所以cosα＝﹣eq\f(4,5)，所以sin(α﹣2β)·cos2β﹣cos(α﹣2β)sin2β＝sin(α﹣4β)＝sin(α﹣eq\f(π,2))＝﹣cosα＝eq\f(4,5)，故選D.2.計算：eq\f(\r(3)tan12°－3,sin12°（4cos212°－2）)＝________.解析：原式＝eq\f(\r(3)×\f(sin12°,cos12°)－3,sin12°（4cos212°－2）)＝eq\f(\r(3)sin12°－3cos12°,2sin12°cos12°（2cos212°－1）)＝eq\f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin12°－\f(\r(3),2)cos12°)),sin24°cos24°)＝eq\f(2\r(3)sin（12°－60°）,\f(1,2)sin48°)＝﹣4eq\r(3).答案：﹣4eq\r(3)3.若α，β為銳角，且sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，則cos(α＋β)＝________，α＋β＝________.解析：因為α，β為銳角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，所以cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(3\r(10),10)，所以cos(α＋β)＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)﹣eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又0＜α＋β＜π，所以cos(α＋β)＝eq\f(\r(2),2)，α＋β＝eq\f(π,4).答案：eq\f(\r(2),2)eq\f(π,4)[基礎題組練]1.計算：eq\f(4tan\f(π,12),3tan2\f(π,12)－3)＝()A.eq\f(2\r(3),3)B.﹣eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(2\r(3),9)D.﹣eq\f(2\r(3),9)解析：選D.原式＝﹣eq\f(2,3)·eq\f(2tan\f(π,12),1－tan2\f(π,12))＝﹣eq\f(2,3)taneq\f(π,6)＝﹣eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),3)＝﹣eq\f(2\r(3),9).2.若tan(α＋80°)＝4sin420°，則tan(α＋20°)的值為()A.﹣eq\f(\r(3),5)B.eq\f(3\r(3),5)C.eq\f(\r(3),19)D.eq\f(\r(3),7)解析：選D.由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝2eq\r(3)，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)﹣60°]＝eq\f(tan（α＋80°）－tan60°,1＋tan（α＋80°）tan60°)＝eq\f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))＝eq\f(\r(3),7).故選D.3.已知cos(2α﹣eq\f(π,3))＝﹣eq\f(1,3)，則sin(α＋eq\f(π,6))﹣cosα＝()A.±eq\f(\r(3),3)B.﹣eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(6),3)D.±eq\f(\r(6),3)解析：選D.sin(α＋eq\f(π,6))﹣cosα＝sinαcoseq\f(π,6)＋cosαsineq\f(π,6)﹣cosα＝sin(α﹣eq\f(π,6))，而cos(2α﹣eq\f(π,3))＝1﹣2sin2(α﹣eq\f(π,6))＝﹣eq\f(1,3)，則sin(α﹣eq\f(π,6))＝±eq\f(\r(6),3)，所以sin(α＋eq\f(π,6))﹣cosα＝±eq\f(\r(6),3)，故選D.4.若eq\f(\r(2)cos2θ,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ)))＝eq\r(3)·sin2θ，則sin2θ＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.﹣eq\f(2,3)D.﹣eq\f(1,3)解析：選C.由題意知eq\f(2（cos2θ－sin2θ）,cosθ－sinθ)＝eq\r(3)sin2θ，所以2(cosθ＋sinθ)＝eq\r(3)sin2θ，則4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，因此sin2θ＝﹣eq\f(2,3)或sin2θ＝2(舍).5.已知3π≤θ≤4π，且eq\r(\f(1＋cosθ,2))＋eq\r(\f(1－cosθ,2))＝eq\f(\r(6),2)，則θ＝()A.eq\f(10π,3)或eq\f(11π,3)B.eq\f(37π,12)或eq\f(47π,12)C.eq\f(13π,4)或eq\f(15π,4)D.eq\f(19π,6)或eq\f(23π,6)解析：選D.因為3π≤θ≤4π，所以eq\f(3π,2)≤eq\f(θ,2)≤2π，所以coseq\f(θ,2)≥0，sineq\f(θ,2)≤0，則eq\r(\f(1＋cosθ,2))＋eq\r(\f(1－cosθ,2))＝eq\r(cos2\f(θ,2))＋eq\r(sin2\f(θ,2))＝coseq\f(θ,2)﹣sineq\f(θ,2)＝eq\r(2)cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(6),2)，所以cos(eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(3),2)，所以eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,6)＋2kπ或eq\f(θ,2)＋eq\f(π,4)＝﹣eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，即θ＝﹣eq\f(π,6)＋4kπ或θ＝﹣eq\f(5π,6)＋4kπ，k∈Z.因為3π≤θ≤4π，所以θ＝eq\f(19π,6)或eq\f(23π,6)，故選D.6.已知sinα＋3cosα＝﹣eq\r(10)，則tan2α＝________.解析：因為(sinα＋3cosα)2＝sin2α＋6sinαcosα＋9cos2α＝10(sin2α＋cos2α)，所以9sin2α﹣6sinαcosα＋cos2α＝0，則(3tanα﹣1)2＝0，即tanα＝eq\f(1,3).所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7.已知sinα＝﹣eq\f(4,5)(α∈[eq\f(3π,2)，2π])，若eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝2，則tan(α＋β)＝________.解析：因為sinα＝﹣eq\f(4,5)，α∈[eq\f(3π,2)，2π]，所以cosα＝eq\f(3,5).由eq\f(sin（α＋β）,cosβ)＝2，得sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)﹣α]，即eq\f(6,5)cos(α＋β)＝eq\f(13,5)sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝eq\f(6,13).答案：eq\f(6,13).8.tan70°·cos10°(eq\r(3)tan20°﹣1)等于________.解析：tan70°·cos10°(eq\r(3)tan20°﹣1)＝eq\f(sin70°,cos70°)·cos10°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)·\f(sin20°,cos20°)－1))＝eq\f(cos20°cos10°,sin20°)·eq\f(\r(3)sin20°－cos20°,cos20°)＝eq\f(cos10°·2sin（20°－30°）,sin20°)＝eq\f(－sin20°,sin20°)＝﹣1.答案：﹣19.已知tanα＝﹣eq\f(1,3)，cosβ＝eq\f(\r(5),5)，α∈(eq\f(π,2),π)，β∈(0,eq\f(π,2))，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.解：由cosβ＝eq\f(\r(5),5)，β∈(0,eq\f(π,2))，得sinβ＝eq\f(2\r(5),5)，tanβ＝2.所以tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝1.因為α∈(eq\f(π,2),π)，β∈(0,eq\f(π,2))，所以eq\f(π,2)<α＋β<eq\f(3π,2)，所以α＋β＝eq\f(5π,4).10.已知sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),10)，α∈(eq\f(π,2),π).求：(1)cosα的值；(2)sin(2α﹣eq\f(π,4))的值.解：(1)sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(2),10)，即sinαcoseq\f(π,4)＋cosαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),10)，化簡得sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，①又sin2α＋cos2α＝1，②由①②解得cosα＝﹣eq\f(3,5)或cosα＝eq\f(4,5)，因為α∈(eq\f(π,2),π).所以cosα＝﹣eq\f(3,5).(2)因為α∈(eq\f(π,2),π)，cosα＝﹣eq\f(3,5)，所以sinα＝eq\f(4,5)，則cos2α＝1﹣2sin2α＝﹣eq\f(7,25)，sin2α＝2sinαcosα＝﹣eq\f(24,25)，所以sin(2α﹣eq\f(π,4))＝sin2αcoseq\f(π,4)﹣cos2αsineq\f(π,4)＝﹣eq\f(17\r(2),50).[綜合題組練]1.設α∈(0，eq\f(π,2))，β∈(0，eq\f(π,4))，且tanα＝eq\f(1＋sin2β,cos2β)，則下列結論中正確的是()A.α﹣β＝eq\f(π,4)B.α＋β＝eq\f(π,4)C.2α﹣β＝eq\f(π,4)D.2α＋β＝eq\f(π,4)解析：選A.tanα＝eq\f(1＋sin2β,cos2β)＝eq\f(（sinβ＋cosβ）2,cos2β－sin2β)＝eq\f(cosβ＋sinβ,cosβ－sinβ)＝eq\f(1＋tanβ,1－tanβ)＝tan(β＋eq\f(π,4)).因為α∈(0，eq\f(π,2))，β＋eq\f(π,4)∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，所以α＝β＋eq\f(π,4)，即α﹣β＝eq\f(π,4).2.若sin2α＝eq\f(\r(5),5)，sin(β﹣α)＝eq\f(\r(10),10)，且α∈[eq\f(π,4),π]，β∈[π,eq\f(3π,2)]，則α＋β的值是()A.eq\f(7π,4)B.eq\f(9π,4)C.eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)D.eq\f(5π,4)或eq\f(9π,4)解析：選A.因為α∈[eq\f(π,4),π]，β∈[π,eq\f(3π,2)]，所以2α∈[eq\f(π,2),2π].又0<sin2α＝eq\f(\r(5),5)<eq\f(1,2)，